江苏高考数学一轮复习突破140必备02讨论含有参数的函数的单调性学案

1 专题专题 0202 讨论含有参数的函数的单调性讨论含有参数的函数的单调性 一、一、导数可以用来判断函数的单调性，在某个区间D内，如果0)( xf，那么函数)(xf在这个区间内单 调递增；如果0)( xf，那么函数)(xf在这个区间内单调递减； 注：注：常数的导函数0)( xf 函数)(xf在D内单调递增，则0)( xf恒成立，)(xf在D内单调递减，则0)( xf恒成立， 0)( xf是)(xf在D内单调递增的充分不必要条件. 二、二、求解某函数单调区间的步骤：（1）确定函数定义域，对函数)(xf求导；（2）令导函数0)( xf解 根（要在定义域内） ；（3）根据)( xf零点将定义域分成若干个区间，判断每个区间导函数的符号，若 0)( xf，则)(xf单调递增，反之，)(xf单调递减； 对于求含有参数的函数的单调区间或者讨论含有参数的函数的单调性解题思路与没有参数基本一致： （1）确定函数定义域，对函数)(xf求导；（2）令导函数0)( xf解根，此时可能解出的根含有参数或 者参数在分母上，就要对参数进行分类讨论，若在分母上，先讨论是否等于零，再讨论是否在定义域内， 不在定义域内说明原函数单调，若在，分区间判定导函数符号，如果有一个根有参数另一个根没有，还要 比较两者大小（3）最后总结，写出参数范围下函数)(xf的单调区间。 例例 1 1、 （20152015 江苏高考江苏高考 1919）已知函数),()( 23 Rbabaxxxf （1）试讨论)(xf的单调性； 解：解：（1）axxxf23)( 2 令0)( xf，可得0x或 3 2a x 0a时，0)( xf，)(xf在R上单调递增； 0a时，), 0() 3 2 ,( a x时，0)( xf，) 0 , 3 2 ( a x时，0)( xf， 函数)(xf在) 3 2 ,( a ，), 0( 上单调递增，在) 0 , 3 2 ( a 上单调递减； 0a时，), 3 2 ()0 ,( a x时，0)( xf，) 3 2 , 0( a x时，0)( xf， 2 函数)(xf在) 0 , (，), 3 2 ( a 上单调递增，在) 3 2 , 0( a 上单调递减； 例例 2 2、 （20172017 扬州高三上期末扬州高三上期末 2020）已知函数)()()(xhxgxf，其中函数 x exg)(， aaxxxh 2 )( （2）当20 a时，求函数)(xf在aax,2上的最大值； 分析：分析：要求函数)(xf在aax,2上的最大值即要研究函数)(xf的单调性 例例 3 3、 （20172017 南京盐城高三一模）南京盐城高三一模）设函数( )lnf xx， 1 ( )3 a g xax x （aR）. （2）求函数( )( )( )xf xg x的单调增区间； 解：解：（2）因为 1 ( )( )( )ln3(0) a xf xg xxaxx x ， 所以 2 222 11(1)(1)(1) ( ) aaxxaaxax xa xxxx （0 x ） 当0a 时，由( )0 x，解得0 x ； 3 当1a 时，由( )0 x，解得 1a x a ； 当01a时，由( )0 x，解得0 x ； 当1a 时，由( )0 x，解得0 x ； 当0a 时，由( )0 x，解得 1 0 a x a . 综上所述，当0a 时，( )x的增区间为 1 (0,) a a ； 当01a时，( )x的增区间为(0,)； 1a 时，( )x的增区间为 1 (,) a a . 例例 4 4、 （20162016 盐城高三三模盐城高三三模 1919）已知函数( )lnf xmx（mR）. （2）设函数xmmxxfxg)2()()( 22 ，试求)(xg的单调区间； 综上所述，( )g x的单调区间如下： 当0m 时，函数( )g x在(0,)上单调递增； 当2m 时，函数( )g x在(0,)上单调递减； 4 当20m时，函数( )g x的增区间为 1 (, 2 m m ），减区间为0 2 m （，）与 1 + m （，）； 当2m 时，函数( )g x的增区间为 1 (, 2 m m ），减区间为 1 0 m （，）与+ 2 m （，）. 例例 5 5、 （20172017 南京高三期末南京高三期末 2020）已知函数xbxaxxfln)( 2 ，Rba, （2）当12 ab时，讨论函数)(xf的单调性； （2） 0, ) 1)(12(1 ) 12(2)( x x xax x aaxxf 当0a时，0 1 )( x x xf解得1x ) 1 , 0(x时，0)( xf，)(xf单调递增；), 1 ( x时，0)( xf，)(xf单调递减； 当0a，0 ) 1)(12( )( x xax xf解得1x ) 1 , 0(x时，0)( xf，)(xf单调递增；), 1 ( x，0)( xf，)(xf单调递减； 当 2 1 a时，0 ) 1( )( 2 x x xf恒成立，故)(xf在), 0( 上单调递增； 当 2 1 0 a时，0 ) 1)(12( )( x xax xf解得1x或 a x 2 1 且 a2 1 1 ) 1 , 0(x时，0)( xf，)(xf单调递增；) 2 1 , 1 ( a x时，0)( xf，)(xf单调递减； ), 2 1 ( a x时，0)( xf，)(xf单调递增； 当 2 1 a时，0 ) 1)(12( )( x xax xf解得1x或 a x 2 1 且 a2 1 1 ) 2 1 , 0( a x时，0)( xf，)(xf单调递增；) 1 , 2 1 ( a x时，0)( xf，)(xf单调递减； ), 1 ( x时，0)( xf，)(xf单调递增； 综上所述：当0a时，函数)(xf在) 1 , 0(上单调递增，在), 1 ( 上单调递减； 当 2 1 a时，函数)(xf在), 0( 上单调递增； 当 2 1 0 a时，函数)(xf在) 1 , 0(和), 2 1 ( a 上单调递增，在) 2 1 , 1 ( a 上单调递减； 当 2 1 a时，函数)(xf在) 2 1 , 0( a 和), 1 ( 上单调递增，在) 1 , 2 1 ( a 上单调递减； 注：注：含有参数的函数的单调性讨论是必须要熟练掌握的，因为在后面极值、最值、零点、恒成立的诸多问 题都会涉及函数单调性，零点、极值点、恒成立专题中都会含有参数的函数单调性讨论，只有在准确的得 5 到单调性的基础上才能进一步研究函数的零点、最值等问题。如果掌握不好分类讨论的思想，后面在做函 数与导数的大题时将会举步维艰。 巩固练习：巩固练习： 1 1、 （20152015 苏北四市高三三模苏北四市高三三模 2020）已知函数bxaxxxf 23 3 1 )(，其中ba,为常数. 讨论函数)(xf在区间),(a上单调性； 2 2、 （20162016 上饶校级二模变式）上饶校级二模变式）已知函数 x exf)(，1)( 2 axxxg，Ra 记函数)()()(xgxfxF，求)(xF的单调增区间； 3 3、 （20172017 江西袁州区高三上期中）江西袁州区高三上期中）已知a为实常数，函数1ln)(axxxf 讨论函数)(xf的单调性； 4 4、 （20152015 南通一中高考前模拟）南通一中高考前模拟）已知函数1ln) 1()( 2 axxaxf，讨论函数)(xf的单调性； 5 5、 （20152015 无锡高三上期中变式）无锡高三上期中变式）已知函数1 1 ln)( x a axxxf，Ra,讨论)(xf的单调性 巩固练习答案解析：巩固练习答案解析： 1 1、解：、解：12)( 2 axxxf，对称轴为ax，044 2 a 当 0)( af aa ，即 3 3 a时 0)( xf在),(a上恒成立，故)(xf在区间),(a单调递增； 当0)( af，即 3 3 3 3 a时，0)( xf在),(a上有一解为aax1 2 当)1,( 2 aaax时，0)( xf，)(xf单调递减 当),1( 2 aax，0)( xf，)(xf单调递增 当 0)( af aa ，即 3 3 a时，0)( xf在),(a上有两解为aax1 2 当)1,( 2 aaax，0)( xf，)(xf单调递增 6 当)1,1( 22 aaaax，0)( xf，)(xf单调递减 当)1( 2 ，aax，0)( xf，)(xf单调递增 综上所述：当 3 3 a时，)(xf在区间),(a单调递增； 当 3 3 3 3 a时，)(xf在)1,( 2 aaa上单调递减，在),1( 2 aa上单调递增； 当 3 3 a时，)(xf在)1,( 2 aaa和)1( 2 ，aa上单调递增，在 )1,1( 22 aaaa上单调递减； 7 3 3、解：、解：)(xf的定义域为), 0( ， x ax a x xf 11 )( 当0a时，0 1 )( x xf恒成立，)(xf在), 0( 上单调递增； 当0a时，0)( xf恒成立，)(xf在), 0( 上单调递增； 当0a时，0 1 )( x ax xf解得 a x 1 ) 1 , 0( a x时，0)( xf，)(xf单调递增；), 1 ( a x，0)( xf，)(xf单调递减 综上所述：当0a时，)(xf在), 0( 上单调递增； 当0a时，)(xf在) 1 , 0( a 上单调递增，在), 1 ( a 上单调递减 4 4、分析：、分析：)(xf的定义域为), 0( ，0 ) 1(2 2 1 )( 2 x aax ax x a xf，先考虑0a，当 0a时，0)( xf得 a a x 2 1 2 ，若0 2 1 a a ，说明0)( xf有解，若0 2 1 a a ，0)( xf无 解，即)(xf就是单调的。 解：解：)(xf的定义域为), 0( ， x aax ax x a xf ) 1(2 2 1 )( 2 当0a，0 1 )( x xf恒成立，)(xf在), 0( 上单调递增； 当0 2 1 a a ，即0a或1a 0a时，0)( xf恒成立，)(xf在), 0( 上单调递增； 1a时，0)( xf恒成立，)(xf在), 0( 上单调递减； 当0 2 1 a a ，即01a，0)( xf解得 a a x 2 1 ) 2 1 , 0( a a x ，0)( xf，)(xf单调递增 ), 2 1 ( a a x，0)( xf，)(xf单调递减 综上所述：当0a时，)(xf在), 0( 上单调递增； 8 当1a时，)(xf在), 0( 上单调递减； 当01a时，)(xf在) 2 1 , 0( a a 上单调递增，在), 2 1 ( a a 上单调递减 当1 1 a a ，即 2 1 0 a，0)( xf解得1x或 a a x 1 ) 1 , 0(x，0)( xf，)(xf单调递减 ) 1 , 1 ( a a x ，0)( xf，)(xf单调递增 ), 1 ( a a x，0)( xf，)(xf单调递