特殊平面的法向量及应用

教学参考 特殊平面的法向量及应用 ( 浙江省东阳中学 3 2 2 1 0 0 ) 蒋晓东 高中数学新教材立体几何( B)中引入 了空间 向量坐标运算这 一内容， 使得解决立体几何 中平 行、 垂直、 夹角、 距 离等问题时更加程序化 ： 只需要 代入公式进行代数运算 即可 但向量方法 的计算 运算量大， 计算容易 出错 优化计算的方法是建立 适 当的坐标系， 选取特殊平面， 尽可能使所需点在 坐标轴上或由坐标系确定的平面上； 巧妙利用特 殊平面的法向量求解 本文试归纳特殊平面的法 ( 0， 0， f 则 一 ( 一a ， 6 ， 0 ) ， 一 ( 一口 ， 0 ， c ) ， 设 平 面 A B C 的法 向量 为 m ： ( z， Y ， ) ， 由f A B _ 。 得 ： f 一 船+ by 由 A C m o得 。 i 一 + 一 0 令z 一 ，得 一 ， 一 所 以 m ： ( ， _ 1 ， ) 的 事实上通过作 图( 图略)不难发现， 当 X= 1 时， Y： x +1与 Y= 2 x这两个函数 图像正好相 切 ， 但显然此时这个切 点所对应 的函数值 2并不 是最小值 ， 因为当 0 z 1时， 显然有 2 +1 2 ， 并且事实上在这里其最小值并不存在 ! 经过类 比推理不难得到上例 中的错 因： 2 L2 2 ( 口 +b ) 实际上不过是 + 和 2 CO l n Z 厂 ； 相等时的数值 ，而这个值未必是 V cOS x s i n x 函数的最小值 经过与同学们 的交流 ， 绝大多数 同学 比授课 时更加深入地理解其 中的错因 综上可见 ， 在高中数学教学中， 我们教师不但 要善于利用类比， 而且要有意识地对学生进行类 比训练 ， 促使学生在生活和社会 实践 中对遇到的 不仅能拓展其思维的领域， 而且有 助于发展学生 的创造性思维和能力 当然， 正如引文所述， 类推 法有时也是一把“ 双刃剑” ， 但 只要我们在运用类 推法时 ， 周 密思考 ， 不要牵强附会 ， 对 在解题 的行 动序列中出现类 比的负迁 移作用保 持高 度的警 惕， 我们就能够促使问题解决获得“ 圆满成功” 参考文献 1 普通高中数学课程标准( 实验) M 北京： 人民教育出 版社 ， 2 0 0 3 2 唐慧琳， 刘昌 类 比推理的影响因素及脑生理基础研 究 刀 心理科学进 展 ， 2 0 0 4 ( 1 2 ) 3 王亚同 认知心理学关于类 比推 理的研 究 J 青海 师 范大学学 报( 哲学社会科学版) ， 1 9 9 1 ( 1 ) 4 波利亚 李心灿等译 数学与猜想 ( 一、 二卷) M 北 京 ： 科学 出版社 ， 1 9 8 4 维普资讯 所 以 P( O o 所以平面 AB P 的法向量为： m c 学， _ z ，学 平 面 D B P 的 法 向 量 = ( 学，号 ， ) 所 以 c 。 s 一 3 、 1 0 5 所以所成的二面角大小为 丌 一a r c c o s 圭 1 0 5 图 2 图 3 例 2( 2 0 0 6 年重庆高考试题) 如图3 ， 在正四 棱柱 A BC DA1 B 1 C 1 D1 中， A B一 1 ， B B1 一 3 + 1 ， E为B B 上使 B E一 1 的点 平面 C 交 DD 于 F， 交 A D 的延长线于 G 求二面角 AC G A 的正切值 解 ： 如图 3 ， 延长 A E交A B 于 M， 连接 MG， 则 MC G三点共线 ， 由已知得 ： A( O， 0 ， 1+ ) ，M ( 1+ ， 0 ， 0 ) o 又因为 A F E C1 ， 所以 E B 一 D F= 1 所以 G( 0 ， 1 + 3 ， 0 ) 所以平面 A C G的法 向量为 m ： ( ， 一 1 一 1、 一 一 平面 A C l G的法向量为 n一 ( 0 ， 0 ， 1 ) 一 1 所以 c 。 s 一 = = = 亍 2= 广 ( 二面角为锐角) ， 所 以 t a n 2 教学参考 说明： 一些平面原来和坐标轴没有交点 ， 我们 可以通过做延长线的方法找到坐标轴与平 面的交 点， 从而利用定理 1快速的求 出法向量 定理 2 若 z轴 平面 A BC D， 平面 A BC D 截 x轴、 Y轴的截距分别为 n， b ， 则平 面 A BC D 的 一 个法向量为( ， ， 0 ) 证明 ： 如图4 ， 由已知A( a ， 0 ， 0 ) ， B( O ， b ， 0 ) 则 一 ( 一 n ， 6， 0 ) ， 显然平面 A BC D 的法向量与平面x a y平行， 所以设平 面 A BC D 的法 向量为 m 一 ( ， Y， 0 ) ， 由 m = 0得 一 衄 + b y一 0 令 一 丢 得 一 丢 ， 所 以 垅 一 ( ， 百1 ，o ) 从上述定理还可得到如下推论 ： 推论 1 若 Y轴 平面 AB C D， 平面 A BC D 截 X轴、 z 轴的截距分别为n， c ， 则平面A BC D的一 个法向量为( 三， 0 ， 三) 推论 2 若 X轴 平面 A BC D， 平面 A BC D 截 轴、 z 轴的截距分别为b ， c ， 则平面AB c D的一 个法向量为( O ， ， 二) 总 第 ( o 期 图 4 图 5 例 3 ( 2 0 0 4 年全国高考试题 ) 如图 5 ， 直三棱 柱 A BCA1 B 1 C 1中， AAC B = 9 0 。 ， AC一 1 ， C B 一 ， 侧棱 AA 一 1 ， 侧面、 A A Bl B的两条对 角线交点为 D， 求平面 B B D与平面 C BD所成二 面角的大小 解 ： 如图 5 ， 建立空间直角坐标系 ， 则 A ( 0 ， 0 ， 1 ) ， B 1 ( 0 ， 2 ， 0 ) ， C ( 1 ， 0 ， 0 ) ， 因为面 B B D 轴 ， 面 B C D X轴 ， 所以面 B B D的法向量为 m ： ( o ， ， 1 ) ， 面 B C D 的法 向量为 n= ( 1 ， 0 ， 1 ) 剥 一 维普资讯 教学参考 所 以 c o 一 = 一 c 又 3 因为所求二面角为钝角) 所以所求二面角大小为 7 f a r c c o s v_ to o 说 明： 本题两个平 面和坐标轴分别平行 ， 我们 可以通过延展平 面， 找到平面与坐标轴 的另两个 交点， 从而利用定理 2快速的求出法向量 定理 3 已知平面 A O B D， 0是原点 ， A在 z 轴上， B( e ， f， O ) ， 1 1 则平面A O B D的一个法向量为( 一 ， ， o ) 证 明 ：如 图 6 ，设 面 A 0 B D 的法 向量 = ( ， y， O ) ， 则 茁一 ( e ， ， ， o ) ， 由 萄 m：0 得 +d y= 0令 7 C =一 得 = ， 图 所 以 m 一 ( 一 k ， 1 ，O ) 。 J 由定理 3还可得到如下推论 ： 推论 1 已知平面 A O B D， 0是原点， A在X 轴上 ， B( O ， f， g ) ， 则平面 A O BD 的一个法 向量为 ( o ， 一 1 ，上) J g 推论 2 已知平面 A OB D， 0是原点， A在 Y 轴上 ， B( ， 0 ， g ) ， 则平 面 A O B D 的一个法 向量为 ( 一 k ，0 ， ) P g 例 4 ( 2 0 0 5 年湖南高考试题) 如图 7 ( 1 ) ， 已 知 A B C D是上、 下底边长分别为 2和 6 ， 高为 3的 等腰梯形， 将它沿对称轴 ( 3 9 折成直二面角 ， 如图 7 ( 2 ) 求二面角 OA C一0 1 的大小 D q C 图 7 y 解 ： 如图， 建立空间直角坐标系 ， 则 A( 3 ， 0 ， o ) ， O t ( o ， 0 ， 4 g ) ， C ( 0 ， 1 ， 3 ) ， 因为 平面 A C O z轴 ， 平面 A C O过 Y轴 ， 所 以 平 面 A C o 的 法 向 量 m 一 ( 丢 ，o ，譬 ) ， 平 面 A C O 的法 向量 一 ( o ， 一 1 ， ) 1 所 以 co s 一 = 去： - 丁 所 求 二 面 角0 一 A C 一 0 1 大 小 为a r c c o s 掣 例 5 ( 2 0 0 6 年浙江高考试题) 如图 8 ， 在 四棱 锥 PA B C D 中， 底 面为直 角梯形 ， AD B C， B AD 一 9 0 。 ， P A 上 底 面 AB C D， P A AD = AB一2 B C， M、 N分别为P c、 P B的中点 求 C D与 平面 A DMN 所成的角 解 ： 如图， 建立 空间直 角坐标系 ， 设 AB= 2 a ， 则 A( O ， 0 ， O ) ，C( 2 a， a， O ) ， D( 0 ， 2 a， 0 ) ， N( ， 0， ) 因为平 面 ADMN 过 z 轴 ， 所 以平面 A DMN 的法 图8 向 量 m _ ( 0 ， 一 譬 ， 又 因为 D C ： ( 2 a ， 一a， O ) ， 所 n 一 J j= 所 以所求线面角大小为 i n 参考文献 1 黄利娜 空间向量 ， 夹角与距离 数学通讯 ， 2 0 0 6 (