福建达标校高二数学暑期集训营二十九理PDF

2015 年福建省达标校暑期高二数学（理工农医类）集训营(29) 第三部分 【提升拓展】 【1】 2015 年福建省达标校暑期高二数学（理工农医类）集训营 (29) 一、填空题： （本题共 14 小题，每小题 5 分，共 70 分.) 1、命题“ 2 0,10 xxx ”的否定是 2、直线310 xy 的倾斜角为 . 3、曲线2lnyxx在点（1，2）处的切线方程是 4、直线 1: 240lxy与 2: (2)10lmxm y 平行,则实数m _ _. 5、已知圆柱的底面半径为 1，体积为2，则这个圆柱的表面积是 6、以双曲线 2 2 1 3 y x 的右焦点为焦点的抛物线标准方程是 7、如图，在边长为a的正方体 ABCD-A1B1C1D1中，E 是棱 AB 上一点， M 是棱 D1C1上一点， 则三棱锥 M-DEC 的体积是 8、下列有关命题的说法中，正确 的是 (填所有正确答案的序号) 命题“若 2 10 x ，则1 x”的逆否命题为“若1 x， 则 2 10 x ” ； 已知命题:11p xy且，命题:2q xy，则命题p是命题 q的必要不充分条件。 命题 22 :1 14 xy p mm 表示椭圆为真命题，则实数m的取值范围是14m 9、设双曲线 2 2 22 10,0 y x ab ab 的实轴长为 2，焦点到渐近线的距离为2，则双曲线 的渐近线方程为 . 10、设,为两两不重合的平面，nml,为两两不重合的直线，给出下列四个命题： 若，则/； 若/，l，则/l； 若m，n，/m，/n，则/； 若, /,ll则 其中命题正确的是 （填序号） D C 1 A 1 B 1 C 1 D . E BA M. （第 7 题） 2015 年福建省达标校暑期高二数学（理工农医类）集训营(29) 第三部分 【提升拓展】 【2】 11、在平面直角坐标系xOy中,设点P为圆o: 22 20 xyx上的任意一点,点(2 ,3)Qa a (aR),则线段PQ长度的最小值为_ _. 12、在平面直角坐标系xOy中，已知射线 :0(0),:20(0)OA xyxOB xyx， 过点(2,0)P作直线分别交射线OA、OB于点E、F，若EPPF uuruuu r ，则直线EF的斜率 为 _ 13、在平面直角坐标系xOy中，点M是椭圆x 2 a 2y 2 b 21（ab0）上的点，以M为圆心的 圆与x轴相切于椭圆的焦点F，圆M与y轴相交于P，Q两点若PQM是锐角三角 形，则该椭圆离心率的取值范围是 14、在平面直角坐标系xOy中，直线yxb是曲线lnyax的切线，则当a0 时，实数 b的最小值是 二、 解答题 （本大题共 6 小题， 计 90 分.解答应写出必要的文字说明， 证明过程或演算步骤） 15 （本题满分 14 分） 已知函数 32 1 ( )3 3 f xxxxaaR （1）求函数( )f x的单调增区间； （2）若函数( )f x在区间4,4上的最大值为26，求a的值 16 （本小题满分 14 分） 如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，平面PAD平面ABCD. 求证：ABPD； 若M为PC的中点，求证：PA平面BDM. P AB CD M 2015 年福建省达标校暑期高二数学（理工农医类）集训营(29) 第三部分 【提升拓展】 【3】 17、 （本题满分 15 分） 已知点(2,0)P，圆C的圆心在直线50 xy上且与y轴切于点(0, 2)M， （1）求圆 C 的方程； （2）若直线l过点P且被圆C截得的弦长为4 2，求直线l的方程； （3） 设直线10axy 与圆C交于A，B两点， 过点(2,0)P的直线 2 l垂直平分弦AB， 这样的实数a是否存在，若存在，求出实数a的值；若不存在，请说明理由 18 （本题满分 15 分） 经销商用一辆 A 型卡车将某种水果从果园运送(满载)到相距 400 km 的水果批发市场据测 算，A 型卡车满载行驶时，每 100 km 所消耗的燃油量u(单位：L)与速度v(单位：km/h)， 的关系近似地满足u 100 v 23，0v50， v 2 50020，v50. ，除燃油费外，人工工资、车损等其他 费用平均每小时 300 元已知燃油价格为每升(L)7.5 元 (1)设运送这车水果的费用为y(元)(不计返程费用)，将y表示成速度v的函数关系式； (2) 该卡车以怎样的速度行驶，才能使运送这车水果的费用最少？ 2015 年福建省达标校暑期高二数学（理工农医类）集训营(29) 第三部分 【提升拓展】 【4】 19 （本题满分 16 分） 在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆E： 22 22 1(0) xy ab ab 的左、右焦点分别为 12 ,F F，上、下顶点分别为 M,N若椭圆离心率为 2 2 ，短轴长为 2. (1)求椭圆E的方程； （2）若直线 2 MF与椭圆交于另一点 E，求 1 MFE的面积； (3) ( , )Q m n是单位圆 22 1xy上任一点，设, ,P A B是椭圆E上异于顶点的三点且 满足OPmOAnOB求证：直线OA与OB的斜率之积为定值。 20 （本题满分 16 分） 已知函数axxaxf(ln)( 2 为实常数)。 (1)若函数)(xf在), 1 ( 上是增函数，求a的取值范围； (2)求函数)(xf在, 1 e上的最小值； (3)若存在, 1 ex，使得xaxf)2()(成立，求实数a的取值范围。 2015 年福建省达标校暑期高二数学（理工农医类）集训营(29) 第三部分 【提升拓展】 【5】 2015 年福建省达标校暑期高二数学（理工农医类）集训营 (29) 参 考 答 案 1、 2 0,10 xxx 2、 6 3、10 xy 4、 2 3 5、6 6、 2 8yx 7、 3 1 6 a 8、 9、2yx 10、 11、51 12、2 13、 （ 6 2 2 ，1） 14、-1 15、 （1）因为 32 1 ( )3 3 f xxxxa ，所以 2 ( )23,fxxx 3 分 令( )0fx，即 2 230 xx，解得13x ，5 分 所以函数( )f x的单调减区间为( 1,3).7 分 （2）由函数在区间4,4内的列表可知： x 4 ( 4, 1) 1 ( 1,3) 3 (3,4) 4 ( )fx 0 + 0 ( )f x 函数( )f x在( 4, 1)和(3,4)上分别是减函数，在( 1,3)上是增函数. 9 分 又因为 76 ( 4), (3)9 3 fafa，所以( 4)(3)ff， 所以( 4)f 是( )f x在 4,4上的最大值，11 分 所以 76 26 3 a ，即 2 . 3 a 14 分 16、证明： (1)因为ABCD为矩形，所以ABAD. 2 分 又平面PAD平面ABCD， 平面PAD平面ABCDAD， 所以AB平面PAD， 5 分 因为PD平面PAD，故ABPD. 7 分 (2)连接AC交BD于点O，连接OM. 因为ABCD为矩形，所以O为AC的中点 9 分 又M为PC的中点，所以MOPA. 11 分 因为MO平面BDM，PA 平面BDM， 所以PA平面BDM. 14 分 17、解：（1）由题意圆心(3, 2)C，半径3,r 故圆的方程为 22 (3)(2)9xy 2015 年福建省达标校暑期高二数学（理工农医类）集训营(29) 第三部分 【提升拓展】 【6】 即 22 6440 xyxy4 分 （2）设直线l的斜率为k（k存在）则方程为0(2)yk x. 又圆C的圆心为(3, 2)，半径3r ，由弦长为4 2，故弦心距1d 5 分 由 2 322 1 1 kk k ， 解得 3 4 k . 所以直线方程为 3 (2) 4 yx ， 即 3460 xy. 7 分 当l的斜率不存在时，l的方程为2x ，经验证2x 也满足条件. l的方程为3460 xy或2x 9 分 （3）把直线10axy 即1yax代入圆C的方程， 消去y，整理得 22 (1)6(1)90axax 由于直线10axy 交圆C于,A B两点， 故 22 36(1)36(1)0aa，即20a，解得0a 11 分 设符合条件的实数a存在， 由于 2 l垂直平分弦AB，故圆心(3, 2)C必在 2 l上 所以 2 l的斜率2 PC k，而 1 AB PC ka k ，所以 1 2 a 由于 1 (, 0) 2 ， 故不存在实数a，使得过点(2, 0)P的直线 2 l垂直平分弦AB15 分 （注：*其他解法（如：几何解法）相应给分） 18、解 (1)由题意，当 0v50 时，y7.5400 100u300 400 v 30 100 v 23 300400 v 123 000 v 690，3 分 当v50 时，y7.5400 100u300 400 v 30 v 2 50020 300 400 v 3v 2 50 120 000 v 600，6 分 2015 年福建省达标校暑期高二数学（理工农医类）集训营(29) 第三部分 【提升拓展】 【7】 所以y 123 000 v 690，0v50， 3v 2 50 120 000 v 600，v50. 7 分 (2)当 0v50 时，y123 000 v 690 是单调减函数， 故v50 时，y取得最小值ymin123 000 50 6903 150；10 分 当v50 时，y3v 2 50 120 000 v 600(v50) 由y3v 25 120 000 v 23 v 3106 25v 20，得v100 当 50v100 时，y0，函数y3v 2 50 120 000 v 600 单调递减 所以当v100 时，y取得最小值ymin3100 2 50 120 000 100 6002 40013 分 由于 3 1502 400，所以当v100 时，y取得最小值 答：当卡车以 100 km/h 的速度驶时，运送这车水果的费用最少15 分 19、解：(1)由椭圆的离心率为 2 2 ，得 2 2 c a ，22b ，由及 222 abc可解 得： 222 2,1abc， 故椭圆E的方程是 2 2 1 2 x y 4 分 （2）直线 2 MF的方程为1yx ，与椭圆 2 2 1 2 x y联立解得 41 ( ,) 33 E6 分 故 1 114 2 (1) 233 MF E S .10 分 （*其他解法相应给分） (3) 设( , )P x y，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 2 21 1 1 2 x y， 2 22 2 1 2 x y， 又 22 1mn，因OPmOAnOB，故 12 12 , . xmxnx ymyny 因P在椭圆上，故 2 212 12 () ()1 2 mxnx myny 12 分 整理得 22 22221212 1212 ()()2()1 222 xxx x y my ny y mn 将代入上式，并注意点( , )Q m n的任意性，得： 12 12 0 2 x x y y 所以， 12 12 1 2 OAOB y y k k x x 为定值 16 分 2015 年福建省达标校暑期高二数学（理工农医类）集训营(29) 第三部分 【提升拓展】 【8】 20、解 （1） 2 ( )lnf xxax，所以 2 2 ( )2 axa fxx xx 1 分 由题意), 1 ( x， 2 2 ( )0 xa fx x 恒成立， 即 2 20 xa对), 1 ( x恒成立，故2a 4 分 （2）)0( 2 )( 2 x x ax xf，当, 1 ex，2, 22 22 eaaax 若2a，)(x f 在, 1 e上非负（仅当2a，x=1 时，0)( x f） ，故函数)(xf在 , 1 e上是增函数，此时 min )(xf1) 1 (f 5 分 若22 2 ae，当 2 a x 时，0)( x f；当 2 1 a x 时，0)( x f，此时 )(xf是 减 函 数 ； 当ex a 2 时 ，0)( x f， 此 时)(xf是 增 函 数 故 min )(xf) 2 ( a f 2 ) 2 ln( 2 aaa 7 分 若 2 2ea，)(x f 在, 1 e上非正（仅当 2 e2a，x=e 时，0)( x f） ，故函数)(xf 在, 1 e上是减函数，此时)()( min efxf 2 ea 9 分 综上可知，当2a时，)(xf的最小值为 1； 当22 2 ae时，)(xf的最小值为 2 ) 2 ln( 2 aaa ； 当 2 2ea时，)(xf的最小值为 2 ea ，10 分 （3