福建达标校高二数学暑期集训营六十二理PDF

2015 年福建省达标校暑期高二数学（理工农医类）集训营(62) 第七部分 【1】 2015 年福建省达标校暑期高二数学（理工农医类）集训营(62) 一一、选择题：选择题：本大题共本大题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，满分分，满分 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的。符合题目要求的。 1、已知集合5 , 1 , 0 , 2U，集合2 , 0A，则ACU（ ） A. B。2 , 0 C。5 , 1 D。5 , 1 , 0 , 2 2、已知复数z满足1)1 (iz（其中i为虚数单位） ，则z（ ） A. 2 1 i B。 2 1 i C。 2 1 i D。 2 1 i 3、若函数bay x 的部分图象如图 1 所示，则 A.01, 10ba B。10 , 10ba C.01, 1ba D。10 , 1ba 4、已知实数yx,满足不等式组 3 0 0 y x yx ，则yx2的最大值为（ ） A.3 B。4 C。6 D。9 5、已知直线ba,，平面,，且a，b，则“ba ”是“/”的（ ） A. 充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 6、执行如图 2 所示的程序框图，则输出 S 的值为（ ） A. 16 B。25 C。36 D。49 7 、 在ABC中 ，cba,分 别 为CBA,所 对 的 边 ， 若 函 数 1)( 3 1 )( 2223 xaccabxxxf有极值点，则B的范围是（ ） A.) 3 , 0( B。 3 , 0( C。, 3 D。), 3 ( 8、如果自然数a的各位数字之和等于 8，我们称a为“吉祥数” 。将所有“吉祥 数”从小到大排成一列 321 ,aaa，若2015 n a，则n（ ） A. 83 B。82 C。39 D。37 二、二、填填空题：本大题共空题：本大题共 7 小题，考生作答小题，考生作答 6 小题，每小题小题，每小题 5 分，满分分，满分 30 分。本大题分为必做题和选分。本大题分为必做题和选 做题两部分做题两部分 （一）必做题：第 9、10、11、12、13 题为必做题，每道试题考生必须做答。 O x y 图 1 1 -1 图 2 2015 年福建省达标校暑期高二数学（理工农医类）集训营(62) 第七部分 【2】 9、 4 ) 3 1 ( x x的展开式中常数项为 .（用数字表示） 10、 3 3 2 )sin2(dxxx 11、已知向量) 1 , 1 1 ( x a，) 1 , 1 ( y b )0, 0(yx，若ba ，则yx4的最小值为 12、已知圆 C：058 22 ayxyx经过抛物线 E：yx4 2 的焦点，则抛物线 E 的准线与圆 C 相交所得弦长 为 13、设 P 是函数xyln图象上的动点，则点 P 到直线xy 的距离的最小值为 （二）选做题：第 14、15 题为选做题，考生只能选做一题，两题全答的，只计算第一题的得分。 14、（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，曲线 1 C：2cos与曲线12cos: 2 2 C 相交于 A，B 两点，则AB 15、（几何证明选讲选做题）如图 3，在ABCRt中， 0 30A， 0 90C，D 是 AB 边上的一点，以 BD 为直径的O与 AC 相切于点 E。若 BC6，则 DE 的长为 三、解答题三、解答题 16、 （本小题满分 12 分） 函数 ( )2sin() 3 f xx（0）的最小正周期是 （1）求 5 () 12 f的值； （2）若 0 3 sin 3 x ，且 0 (0,) 2 x ，求 0 ()f x的值 17、 （本小题满分 12 分） 空气质量指数（简称 AQI）是定量描述空气质量状况的指数，其数值越大说明空气污染越严重， 为了及时了解空气质量状况，广东各城市都设置了实时监测站下表是某网站公布的广东省内 21 个 城市在 2014 年 12 月份某时刻实时监测到的数据： 城市城市 AQIAQI 数值数值 城市城市 AQIAQI 数值数值 城市城市 AQIAQI 数值数值 城市城市 AQIAQI 数值数值 城市城市 AQIAQI 数值数值 城市城市 AQIAQI 数值数值 城市城市 AQIAQI 数值数值 广州 118 东莞 137 中山 95 江门 78 云浮 76 茂名 107 揭阳 80 图 3 2015 年福建省达标校暑期高二数学（理工农医类）集训营(62) 第七部分 【3】 深圳 94 珠海 95 湛江 75 潮州 94 河源 124 肇庆 48 清远 47 佛山 160 惠州 113 汕头 88 汕尾 74 阳江 112 韶关 68 梅州 84 （1）请根据上表中的数据，完成下列表格： 空气质量 优质 良好 轻度污染 中度污染 AQI 值范围 0,50) 50，100） 100,150) 150,200) 城市个数 （2）统计部门从空气质量“良好”和“轻度污染”的两类城市中采用分层抽样的方式抽取6个城 市，省环保部门再从中随机选取3个城市组织专家进行调研，记省环保部门“选到空气质量“良好” 的城市个数为” ，求的分布列和数学期望 18、 （本小题满分 14 分） 在三棱锥PABC中，已知平面PBC 平面ABC，AB是底面ABC最长的边三棱锥 PABC的三视图如图 5 所示，其中侧视图和俯视图均为直角三角形 （1）请在图 6 中，用斜二测画法，把三棱锥PABC的直观图补充完整（其中点P 在 xOz平面内） ，并指出三棱锥PABC的哪些面是直角三角形； （2）求二面角BPA C的正切值； （3）求点C到面PAB的距离 19、 （本小题满分 14 分） 已知首项大于0的等差数列 n a的公差1d ，且 1223 112 3a aa a （1）求数列 n a的通项公式； 侧视图 正视图 图 5 俯视图 4 2 3 22 z 图 6 O P y x 2015 年福建省达标校暑期高二数学（理工农医类）集训营(62) 第七部分 【4】 （2）若数列满足：，其中 求数列的通项； 是否存在实数， 使得数列 n b为等比数列？若存在， 求出的值； 若不存在， 请说明理由 20、 （本小题满分 14 分） 已知椭圆:E 22 22 1 (0) xy ab ab 的离心率为 2 2 ，过左焦点倾斜角为45的直线被椭圆截 得的弦长为 4 2 3 （1）求椭圆E的方程； （2） 若动直线l与椭圆E有且只有一个公共点， 过点1, 0M作l的垂线垂足为Q， 求点Q的轨 迹方程 21、 （本小题满分 14 分） 已知定义在2,2上的奇函数)(xf满足：当2,0(x时，)2()(xxxf （1）求)(xf的解析式和值域； （2）设aaxxxg2)2ln()(，其中常数0a 试指出函数)()(xfgxF的零点个数； 若当 1 1 k 是函数)()(xfgxF的一个零点时， 相应的常数a记为 k a， 其中1,2,kn 证明： 12 7 6 n aaa（ * Nn） n b 1 1b 2 b 1 1 1( 1)n nn n n bb na 2n n b n b 2015 年福建省达标校暑期高二数学（理工农医类）集训营(62) 第七部分 【5】 2015 年福建省达标校暑期高二数学（理工农医类）集训营(62) 参 考 答 案 一、选择题：本大题每小题一、选择题：本大题每小题 5 5 分，满分分，满分 4040 分分 1 2 3 4 5 6 7 8 C D A C B C D A 二、填空题：本大题每小题二、填空题：本大题每小题 5 5 分，满分分，满分 3030 分分 9 2 3 ； 10 18； 119； 124 6； 13 2 2 ； 142； 15 4 三、解答题三、解答题 16解： （1）( )f x的周期T ，即 2 ， 1 分 2， 由0，得2，即 ( )2sin(2) 3 f xx 3 分 57 ()2sin2sin()2sin1 12666 f 5 分 （2）由 0 3 sin 3 x 得 2 00 1 cos21 2sin 3 xx ， 7 分 又 0 (0,) 2 x ， 0 2(0,)x ， 8 分 2 00 2 2 sin21 cos 2 3 xx， 9 分 000 2sin(2)2sin2cos2cos2sin 333 xxx 2 21132 23 22 32323 00 2 23 ()2sin(2) 33 f xx 12 分 【说明】 本小题主要考查了三角函数)sin()(xAxf的图象与性质， 同角三角函数的关系式， 诱导公式，两角和与差和二倍角的三角函数公式，考查了简单的数学运算能力 17、解:（1）根据数据，完成表格如下： 2 分 （ 2 ） 按 分 层 抽 样 的 方 法 ， 从 “ 良 好 ” 类 城 市 中 抽 取 1 12 64 126 n 个， 3 分 空气质量 优质 良好 轻度污染 中度污染 AQI 值范围 0,50) 50，100） 100,150) 150,200) 城市频数 2 12 6 1 2015 年福建省达标校暑期高二数学（理工农医类）集训营(62) 第七部分 【6】 E F H A z 图 2 O(B) P y C x 从“轻度污染”类城市中抽取 2 6 62 126 n 个， 4 分 所以抽出的“良好”类城市为4个，抽出的“轻度污染”类城市为2个 根据题意的所有可能取值为：1, 2,3 12 42 3 6 1 (1) 5 C C P C , 21 42 3 6 3 (2) 5 C C P C ， 30 42 3 6 1 (3) 5 C C P C 8 分 的分布列为： 1 5 3 5 1 5 所以 131 1232 555 E 11 分 答：的数学期望为2个 12 分 【说明】本题主要考察读图表、分层抽样、概率、随机变量分布列以及数学期望等基础知识，考查 运用概率统计知识解决简单实际问题的能力，数据处理能力 18、解： （1）三棱锥PABC直观图如图 1 所示； 由三视图知ABC和PCA是直角三角形 3 分 （2） （法一） ：如图 2，过P作PHBC交BC于点H， 由三视图知PBC为等腰三角形， 4BC ，2 3PH ， 4PBPCBC， 取PC的中点E，过E作EFPA且交PA 于点F，连接BE，BF， 因为BEPC，由三视图知AC 面PBC， 且BE面PBC，所以ACBE， 又由ACPCC，所以BE 面PAC， 由PA面PAC，所以BEPA， BEEFE，所以PA面BEF， 由BF 面BEF，所以PABF， 所以BFE是二面角BPA C的平面角6 分 PEFPAC， PEEF PAAC ， 2,4,4 2PEACPA，2EF， 8 分 在直角CFE中，有tan6 BE BFE EF 123 P A z 图 1 O(B) P y C x 2015 年福建省达标校暑期高二数学（理工农医类）集训营(62) 第七部分 【7】 H A z 图 3 O(B) P y C x 所以，二面角BPA C的正切值为6 9 分 （法二） ：如图 3，过P作PHBC交BC于点H，由三视图知PBC为等腰三角形， 4BC ，2 3PH ， 由图 3 所示的坐标系，及三视图中的数据得： (0,0,0)B，(4,0,0)C，(2,0,2 3)P，(4,4,0)A， 则(4,4,0)BA，(2,0,2 3)BP ，(0,4,0)CA， ( 2,0,2 3)CP , 设平面PAB、平面PAC的法向量分别为m、n 设 111 ( ,)x y zm，由0BAm，0BPm，得 11 11 440 22 30 xy xz ， 令 1 1z ， 得 1 3x ， 1 3y ，即(3, 3,1) m 6 分 设 222 (,)x y zn，由0CAn，0PAn，得 2 22 40 22 30 y xz ， 令 2 1z， 得 2 3x ， 2 0y ，即( 3,0,1)n 7 分 27 cos, 72 7 m n m n m n ，tan,6m n 8 分 而二面角BPA C的大小为锐角，所以二面角BPA C的正切值为69 分 （3）（法一） ：记C到面PAB的距离为h，由（1） 、 （2）知4 2,4PAABPB， 4 7 PAB S， 14 7 33 C PABPAB VShh ， 12 分 三棱锥PABC的体积 116 3 33 P ABCABC VSPH， 13 分 由 P ABCC PAB VV ，可得： 4 21 7 h 14 分 （法二） ：由（2）知，平面PAB的法向量(3, 3,1) m，(0,4,0)CA 记C到面PAB的距离为h， 2015 年福建省达标校暑期高二数学（理工农医类）集训营(62) 第七部分 【8】 CA h m m 4 3 7 4 21 7 14 分 【说明】本题主要考察空间点、线、面位置关系，三视图及几何体的直观图，二面角，三棱锥的 体积，空间坐标系等基础知识，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，考查用向量方法解 决数学问题的能力 19、解： （1） （法一） ：数列 n a的首项 1 0a ，公差1d ， 1 (1) n aan， 11 111 nnnn a aaa ， 2 分 12231223 111111 ()() a aa aaaaa 1311 11112 23aaaa ， 3 分 整理得 2 11 230aa 解得 1 1a 或 1 3a （舍去） 4 分 因此，数列 n a的通项 n an 5 分 （法二） ：由题意得 13 1223123 112 3 aa a aa aa a a ， 1 分 数列 n a是等差数列， 132 2aaa ， 2 分 2 123 22 3 a a a a ，即 1 3 3aa 3 分 又 1 0,1ad， 11 (2)3a a ， 解得 1 1a 或 1 3a （舍 去） 4 分 因此，数列 n a的通项 n an 5 分 （2）， 6 分 令，则有， 当时， 8 分 因此，数列的通项 9 分 ， 10 分 若 数 列为 等 比 数 列 ， 则 有， 即， 解 得或 11 分 1 1 1( 1)n nn n bb nn 1 1 (1 1 ( 1)( 1) nn nn nbnb ） (1 ( 1) n n n nb c ） 2 c 1 1 nn cc (2)n 2n 2 (2)2 n ccnn (2 1 n n n b n )(-1) n b 1, 1, (2 ,(2). 1 n n n b n n n )(-1) 1 1b 2 b 3 1 2 b n b 2 21 3 bbb 2 1 ( 1)() 2 1 1 2 2015 年福建省达标校暑期高二数学（理工农医类）集训营(62) 第七部分 【9】 当时，不是常数，数列不是等比数列， 当时，数列为等比数列 所以，存在实数使得数列为等比数列 14 分 【说明】考查了等差数列的基本量的计算、递推数列的通项公式、数列裂项求和公式、等比数列 的定义，考查了学生的运算能力，以及化归与转化的思想 20、解： （1）因为椭圆E的离心率为 2 2 ，所以 22 2 2 ab a ，解得 22 2ab， 故椭圆E的方程可设为 22 22 1 2 xy bb ， 则椭圆E的右焦点坐标为,0b， 过右焦点倾斜角为45 的直线方程为:lyxb 2 分 设直线 l 与椭圆E的交点记为,A B，由 22 22 1, 2 , xy bb yxb 消去y，得 2 340 xbx， 解得 12 4 0, 3 b xx， 因为 2 12 4 24 2 1 1 33 b ABxx，解得1b 故椭圆E的方程为 2 2 1 2 x y 4 分 （2） （法一） （i）当切线l的斜率存在且不为0时，设l的方程为ykxm， 联立直线l和椭圆E的方程，得 2 2 1 2 ykxm x y ， 5 分 消去y并整理，得 222 214220kxkmxm， 6 分 因为直线l和椭圆E有且仅有一个交点， 2222 164 21220k mkm ， 7 分 化简并整理，得 22 21mk 8 分 因为直线MQ与l垂直，所以直线MQ的方程为： 1 1yx k ， 联立 1 1 , , yx k ykxm 解得 2 2 1 , 1 , 1 km x k km y k 9 分 222222222 22 2222222 (1)()1(1)(1)1 (1)(1)(1)1 kmkmk mkmkmm xy kkkk ，把 22 21mk代入上式得 22 2xy 11 分 （ii）当切线l的斜率为0时，此时(1,1)Q，符合式 12 分 （iii）当切线l的斜率不存在时，此时( 2,0)Q 或(2,0)，符合式 13 分 综上所述，点Q的轨迹方程为 22 2xy 14 分 （法二） ：设点Q的坐标为 00 (,)Q x y， 1 2 (25 2) 21 n n n bn n )(-1)（ （） +1n n b b n b 1 1 1b ( 1) (2) n n bn n b 1 n b 2015 年福建省达标校暑期高二数学（理工农医类）集训营(62) 第七部分 【10】 （i）当切线l的斜率存在且不为0时，设l的方程为ykxm， 同解法一，得 22 210km ， 8 分 因为直线MQ与l垂直，所以直线MQ的方程为： 1 1yx k ， 联立 1 1 , , yx k ykxm 解得 0 0 22 000 0 1 , , x k y xxy m y 9 分 代入并整理，有 42222 0000000 2212120yxxyxxx，10 分 即 2222 00000 2210yxyxx， 由点Q与点M不重合， 2 222 00000 2110yxxyx ， 22 00 20 xy， 11 分 （ii）当切线l的斜率为0时，此时(1,1)Q，符合式 12 分 （iii）当切线l的斜率不存在时，此时( 2,0)Q 或(2,0)，符合式 13 分 综上所述，点Q的轨迹方程为 22 2xy 14 分 （法三） ：设点Q的坐标为 00 (,)Q x y， （i）当切线l的斜率存在且不为0时，设l的方程为 00 ()yyk xx，整理，得l的方程为 00 ykxkxy，5 分 联立直线l和椭圆E的方程，得 00 2 2 1 2 ykxkxy x y ， 消去y并整理， 得 2 22 0000 214220kxk ykxxykx， 6 分 因为直线l和椭圆E有且仅有一个交点， 22 22 0000 168 2110 kykxkykx， 7 分 化简并整理，得 222 0000 2210 yxkx yk， 8 分 因为MQ与直线l垂直，有 0 0 1 x k y ， 9 分 代入并整理，有 42222 0000000 2212120yxxyxxx，10 分 即 2222 00000 2210yxyxx， 点Q与点M不重合， 2 222 00000 2110yxxyx ， 22 00 20 xy， 11 分 （ii）当切线l的斜率为0时，此时(1,1)Q，符合式 12 分 （iii）当切线l的斜率不存在时，此时( 2,0)Q 或(2,0)，符合式 13 分 综上所述，点Q的轨迹方程为 22 2xy 14 分 【说明】本题主要考查轨迹方程和椭圆的定义、直线方程、直线与椭圆相切的位置关系，弦长问 题，考查学生运算能力、推理论证以及分析问题、解决问题的能力，考查数形结合、化归与转化思 想 21、解： （1）( )f x为奇函数，(0)0f 2015 年福建省达标校暑期高二数学（理工农医类）集训营(62) 第七部分 【11】 2 y o 2 1 1 11 图 a 当时，则( )()()(2)(2)f xfxxxx x ， 2 分 0,2x时， ( )f x的值域为 3 分 （2）函数( )f x的图象如图a所示，当0t 时，方程 有三个实根；当1t 或1t 时，方程只有一个实 根；当(0,1)t或( 1,0)t 时，方程有两个实根 （法一） ：由( )0g x ，解得 ln(2) 2 x a x ， ( )f x的值域为，只需研究函数 ln(2) 2 x y x 在上的图象特征 设 ln(2) ( )( 1,1) 2 x h xx x ，( 1)0h ， 2 1 ln(2) ( ) (2) x h x x ， 令( )0h x，得e2(0,1)x ， 1 (e2) e h 当1e2x 时，( )0h x，当e21x时，( )0h x， 又 32 ln2ln3，即 ln2ln3 23 ，由 ln2 (0) 2 h， ln3 (1) 3 h，得(0)(1)hh， ( )h x的大致图象如图b所示 根据图象b可知，当 ln2 ln2ln31 0 223 aaa e 、时， 直线ya与函数( )yh x的图像仅有一个交点，则函数( )g x 在 1,1上仅有一个零点，记零点为t，则t分别在区间( 1,0)、 (0,1)、(0,1)上，根据图像a，方程( )f xt有两个交点，因此 函数( )( ( )F xg f x有两个零点 5 分 类似地，当 ln2 2 a 时，函数( )g x在 1,1上仅有零点0，因此函数( )F x有1、0、1这三个 零点 6 分 当时，函数( )g x在 1,1上有两个零点，一个零点是1，另一个零点在(0,1)内，因此 函数( )F x有三个零点 7 分 当时，函数( )g x在 1,1上有两个零点，且这两个零点均在(0,1)内，因此函数 ( )F x有四个零点 8 分 当时，函数( )g x在上没有零点，因此函数( )F x没有零点 9 分 （法二） ： 1 ( ) 2 g xa x ，令 0 ()0g x，得 0 1 2x a ， 0a ， 0 2,x 当 1 ( 1,2)x a 时，当 1 (2,)x a 时， 2,0 x 0,2x (2)0,2 , ( ) (2)2,0 , x xx f x x xx ( )1,0f x 2,0 x ( )0,1f x 1,1 ( )f xt ( )f xt ( )f xt 1,11,1 ln3 3 a ln31 3e a 1 e a 1,1 ( )0g x( )0g x 图 b x y o ln2 2 11 1 e 2015 年福建省达标校暑期高二数学（理工农医类）集训营(62) 第七部分 【12】 当 0 xx时，( )g x取得极大值 0 1 ()ln1g x a （）当( )g x的极大值，即时，函数在区间上无零点，因此函数 无零点 （）当( )g x的极大值，即时， 0 2(0,1)xe ，函数的图像如图c所示，函数( )g x有零点2e 由图a可知方程有两不等的实根，因此函数有两个零点 （）当( )g x的极大值且 0 1 21x a ， 即时 ，( )g x在 1,1上 单 调 递 增 ， 因 为， ， 函数的图像如图d所示， 函 数在存在唯一零点 1 t，其中 由图a可知方程有两不等的实根，因此函数有两个 零点 （）当( )g x的极大值且 0 1 21x a ，即时： 由(0)ln220ga，得 ln2 2 a ，由(1)ln3 30ga，得 ln3 3 a ， 根据法一中的证明有 1ln2ln31 323e （）当 1ln2 32 a时，(0)ln220ga， (1)ln3 30ga，函数的图像如图e所示， 函数在区间 1,1有唯一零点 2 t，其中 2 ( 1,0)t 由图a可知方程 2 ( )f xt有两不等的实根，因此 函数有两个零点 （）当 ln2 2 a 时，(0)ln220ga， (1)ln3 30ga，函数的图像如图f所示， 函数在区间 1,1有唯一零点0 由图a可知方程( )0f x 有三个不等的实根，因此函数有三个零点 （）当 ln2ln3 23 a时，(0)ln220ga，(1)ln3 30ga，函数的 图像如图g所示，函数在区间 1,1有唯一零点 3 t，其中 3 (0,1)t 由图a可知方程 3 ( )f xt有两个不等的实根，因此函数 有两个零点 （）当 ln3 3 a 时，(0)0g，(1)ln3 30ga， 1 ln10 a 1 e a ( )g x1,1 ( )( ( )F xg f x 1 ln10 a 1 e a ( )g x ( )e2f x ( )( ( )F xg f x 1 ln10 a 1 0 3 a10ga 222 22 (0)ln22ln2lnln10 33e3 ga( )g x ( )g x1,1 1 ( 1,0)t 1 ( )f xt( )( ( )F xg f x 1 ln10 a 11 3e a ( )g x ( )g x ( )( ( )F xg f x ( )g x ( )g x ( )( ( )F xg f x ( )g x ( )g x ( )( ( )F xg f x 图 e 2x y o 1 1 11 0 x 2 y o 2 1 1 11 图 c 0 x 图 d 2x y o 2 1 1 11 0 x 图 f 2x y o 1 1 11 0 x 图 g 2x y o 1 1 11 0 x 2015 年福建省达标校暑期高二数学（理工农医类）集训营(62) 第七部分 【13】 函数的图像如图h所示，函数在区间 1,1有 两个零点，分别是1和 4 t，其中 4 (0,1)t 由图a可知方程( )1f x 有一个实根1，方程 4 ( )f xt 有两个非1的不等实根，因此函数有三个零点 （）当时，(0)0g，(1)ln3 30ga， 函数的图像如图i所示，函数在区间 1,1有两个