福建达标校高二数学暑期集训营三十一理PDF

2015 年福建省达标校暑期高二数学（理工农医类）集训营(31) 第四部分 【检测能力】 【1】 2015 年福建省达标校暑期高二数学（理工农医类）集训营 (31) 一、填空题:本大题共 14 小题，每小题 5 分，计 70 分 1计算： 3 8 2 8 CC = （用数字作答） 2二项式(3x x 2 ) 8的展开式中第 7 项的二项式系数为 （用数字作答） 3在矩阵 10 21 变换下，点 A（2，1）将会转换成 4已知向量), 5 , 2(),1, 0 ,( 2 tbta，若ba ，则 t= 5在极坐标系中，圆()的圆心的极坐标为 6已知矩阵 M= 22 63 ，则 M 的特征值为 7从 1，2，3，4，5，6 中选出 3 个不同的数组成 3 位数，并将这些三位数由小到大打排 列，则第 100 个数是 8将参数方程() 2() tt tt xee t yee 为参数化为普通方程，结果为 9已知随机变量 X 的概率分布如下表所示，且其数学期望 E（X）=2， X 0 1 2 3 P a b 则随机变量 X 的方差是 _ _ 10某小组有 4 名男生，3 名女生若从男，女生中各选 2 人，组成一个小合唱队，要 求站成一排且 2 名女生不相邻，共有 种不同的排法？ 11 55 5555除以 8 余数是 12一袋中装有 5 个白球，3 个红球，现从袋中往外取球，每次取出一个，取出后记下球 的颜色，然后放回，直到红球出现 10 次停止，设停止时,取球次数为随机变量 X,则 )12(XP （只需列式，不需计算结果） 13已知直线 1 1 3 :() 24 xt lt yt 为参数与直线 2:2 45lxy相交于点B，又点(1,2)A， 则AB 14已知数列 n a满足 1 1a ， 1 1 ( ) 2 n nn aa (2)n ， 2 12 222n nn Saaa ，类比课 本中推导等比数列前n项和公式的方法，可求得 1 32n nn Sa = 二、解答题:本大题共 6 小题，计 90 分解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步 骤. 2sin=02p，-2p2 均可以)； 91 ； 10 216； 11 6 ； 12 2109 11 ) 8 5 () 8 3 (C； 13 5 2 ；14 1n。 二、解答题: 15解： （1）曲线 C 的极坐标方程化为普通方程 x 2+y2-2x-2y=0 即(x-1)2+(y-1)2=2， 所以 C 是以(1,1)为圆心，半径为2的圆2 分 由直线的参数方程消去参数 t 得直线的普通方程为 y=2x+1；4 分 设圆心到直线 的距离为 d，则 d=2 5 52 12 | 112| 22 ,(或用判别式法) 6 分 所以直线 与曲线 C 相交。7 分 （2）联立 与 C 的方程得方程组 022 12 22 yxyx xy 解得 5 627 5 61 y x 或 5 627 5 61 y x 即 A( 5 61 , 5 627 )，B( 5 61 , 5 627 )10 分 所以PA=( 5 61 , 5 622 ),PB=( 5 61 , 5 622 )12 分 所以PBPA=( 5 61 , 5 622 )( 5 61 , 5 622 )= ) 5 1 (4 5 1 = -114 分 又解： （用参数方程直接求）将直线参数方程直接代入圆 C 的普通方程得 t 2+(2t+1)2-2t-2(2t+1)=0，化简得：5t2-2t-1=0，所以 t 1t2= 5 1 10 分 所以PBPA= 21 55tt =5t1t2= -1（或者用直线参数方程的标准形式）14 分 或者：过圆心 C 作 AB 的垂线交 AB 于 H，则 H 平分 AB，PBPA 所以PBPA=)()(HBPHHAPH=)()(HAPHHAPH= 22 HAPH = 22 HAPH=)( 222 HCRPH= 22 RPC = -1 l l l 2015 年福建省达标校暑期高二数学（理工农医类）集训营(31) 第四部分 【检测能力】 【5】 16解： （1）从 9 个自然数中，任取 3 个不同的数，共有=84 种等可能的结果2 分 由条件得最大的在中间，其它两个排两边，有 2 种排法，4 分 所以这样的三位数共有1682842 3 9 C个。6 分 （2）由题意得 X 的取值范围为 0，1，2，3，7 分 P（X=0）= 21 1 3 9 3 4 0 5 C CC ，P（X=1）=， P（X=2）= 21 10 3 9 1 4 2 5 C CC ，P（X=3）= 42 5 3 9 0 4 3 5 C CC ， 随机变量 X 的分布列为： X 0 1 2 3 P 21 1 14 5 21 10 42 5 11 分 （算对 1 个给 1 分，不列表格或只列表格照样给分） EX= 3 5 42 5 3 21 10 2 14 5 1 21 1 013 分 答： （1）略； （2）略。 14 分 17解： （1）建立如图所示的空间直角坐标系.则 (2,0,0)A, (0,1,0)F,(0,2,0)C,(2,1,2)E (2, 1,2)CE ，( 2,1,0)AF 2分 所以32) 1(2 222 CE4分 （2）所以 22222 4 15 cos, 3 ( 2)12( 1)2 AF CE 6分 故直线EC与AF所成角的余弦值为 5 3 . 8 分 (如果把向量的夹角当成直线的夹角，扣 1 分) （3）平面ABCD的一个法向量为) 1 , 0 , 0( 1 n9 分 设平面AEF的一个法向量为),( 2 zyxn , 因为)0 , 1 , 2(AF,)2 , 1 , 0(AE ，所以 02 02 zy yx 令1x,则1, 2zy) 1, 2 , 1 ( 2 n ,10 分 则 6 6 141 1 ,cos 21 21 21 nn nn nn 12 分 由图知二面角BAFE为锐二面角, 其余弦值为 6 6 . 14 分 A B C D A1 B1 C1D1 E F A B C D A1 B1 C1D1 E F 第 17 题图 x y z 2015 年福建省达标校暑期高二数学（理工农医类）集训营(31) 第四部分 【检测能力】 【6】 (如果把向量的夹角当成二面角的平面角，扣 2 分) 18解： （1）10 2 a，将 n=1 代入已知等式得3 1 a， 同法可得21 3 a，36 4 a 。 3 分 （2）313 1 a，5210 2 a，73 3 a，94 4 a， 由此猜想(21) n ann 。5 分 下面用数学归纳法证明。 当 n=1 和 2 时猜想成立； 假设当 n=k（k2）时猜想成立，即(21) k akk， 那么，当 n=k+1 时，因为 1 1 3 3 kk kk aa aa k ， 所以 1 33(1)3(1)(1) (21) 11 k k kkakkkk a kk =(k+1)(2k+3) 这就是说当 n=k+1 时猜想也成立。因此(21) n ann成立9 分 （3）假设存在常数 c 使数列 cn an 成等差数列，则有 c a c a c a c a 2312 2312 11 分 把3 1 a，10 2 a，21 3 a代入得 2 1 0cc或 。 当0c时，数列 cn an 即为2n+1是公差为 2 的等差数列；13 分 当 2 1 c时，数列 cn an 即为2n是公差为 2 的等差数列。15 分 存在常数 2 1 0cc或使数列 cn an 成等差数列。 16 分 (求出 c 值后一定要代入检验，说明是等差数列，否则只给 2 分； 当然也可用定义求解，相应给分) 19解： （1） 29 (1)(1)xx 2091827364554637289 9999999999 (1)()xC xC xC xC xC xC xC xC xC xC， 则 97 299 37aCC 4 分 （2）展开式中的系数中，数值为正数的系数为 8 19 9aC， 68 399 93aCC， 46 599 210aCC， 24 799 162aCC， 02 999 37aCC， 0 119 1aC，故展开式中系数最大的项为 5 210 x 10 分 （3）对 29211 01211 (1)(1)xxaa xa xa x两边同时求导得 28210 12311 (1129)(1)2311xxxaa xa xa x，12 分 令1x ，得 12341011 23410110aaaaaa， 所以 22 13112410 (311)(2410)aaaaaa 1234101112341011 (2341011)(2341011)0aaaaaaaaaaaa 20解： （1）设 dc ba M , 则 , dc ba 3 1 3 1 1 3 1 3 3 1 1 3 1 1 dc ba 2015 年福建省达标校暑期高二数学（理工农医类）集训营(31) 第四部分 【检测能力】 【7】 4 分 （2）设 P(x0,y0)是l上任意一点，它在 M 作用下的对应点 P /(x/,y/)，则有 / / 0 0 y x y x M 即 / / 0 0 03 12 y x y x 6 分 所以得 / 0 / 00 3 2 yx xyx 解得 3 2 3 / / 0 / 0 y xy y x 8 分 因为 P(x0,y0)在l上，所以 y0=2x0-1 即 1 3 2 3 2 / / yy x 化简得：3x /-4y/+3=0 所以所求直线l /的方程为 3x-4y+3=010 分 （3）设特征值 1 =-1 时，对应特征向量 1 e ，