高中数学备课参考数学通报问题解答0201pdf

数学问题解答 2001年12月号问题解答 (解答由问题提供人给出) 1346 已知:点P是 ABC内一点,PAB= PBC =PCA =. AB, BC, CA 分别过A , B , C三点,且分别垂直于PA , PB , PC.求证: SABC= SA BCsin2 (江西省宜丰县二中 龚浩生 336300) 证明 如图,过点C 作CDBP于D ,连结 CD. 因为 PAAB, PB BC 所以 A , B, B , P四 点共圆 所 以 DBB= PAB = 又显然, P, B , C, D , C五点在以PC 为直径 的圆上. 所以 PDC =PBC =DBB , 所以 CDBC, 所以 BCDC 是圆内接梯形,故BC = CD , 所以 BC BC= CD BC= sin. 同理: AB AB= AC AC= sin. 所以 ABC ABC,且相似比为sin, 所以 SABC= SABCsin2. 1347 若P在正三角形的内切圆内,则P到此正 三角形三边的距离必能构成三角形. (山 东 枣 庄 孟 庄 峨 山 口 学 校 李 成 銮 277100) 证明 设正三角形 ABC的 边 长 为a , P在 ABC的内切圆(圆心为 I ,半径为 r) 的内部. P到 BC, CA , AB的距离分别为 r1, r2, r3,易见a =2 3r = 2 3 3 ( r 1+ r2+ r3 ) . 设 I切BC于D ,延长AP交BC于F,作PE BC于E 由SAFBSAFC= r3r2, 则BFFC = r3r2,BF = r3 r2+ r3 a , 所以FD = BD - BF = a 2 - r3 r2+ r3 a = r2-r3 2 ( r 2+ r3) a. 由SBPCSABC= r1 ( r 1+ r2+ r3 ) , 则PFAF = r1 ( r 1+ r2+ r3 ) , 所以 DE DF = AP AF = r2+ r3 r1+ r2+ r3 , 所以DE = r2-r3 2 ( r 1+ r2+ r3) a = 3 3 ( r 2- r3 ) . 由勾股定理易见 PI2= 3 3 ( r 2- r3) 2 + ( r1- r) 2 = 3 3 ( r 2- r3) 2 +r1- 1 3 ( r 1+ r2+ r3) 2 = 4 9 ( r 2 1+ r22+ r23) - ( r1r2+ r1r3+ r2r3) 由PI2 4 9 ( r 2 1+ r22+ r23) - ( r1r2+ r1r3+ r2r3)- r21 -r22-r23+2r1r2+2r1r3+2r2r30. 分解因式,得 (r1+r2+r3) (r2+r3-r1) (r3 +r1-r2) (r1+r2-r3 ) 0. 由此知,必有 r2+r3-r10,r3+r1-r2 0,r1+r2-r30 (如若不然,比如r2+r3-r10,r3+r1 -r2r2,r1+ r2r3. 故知以r1,r2,r3为边必能构成三角形. 1348 证明函数f ( x) = a2-x2 | x + a | -a 是奇函数 的充要条件是a 0. 742002年 第1期 数学通报 (南昌大学附中 宋庆 330029) 证明 充分性: 若a 0,则 f (x) 的定义域为- a ,0)(0, a. 这时,f ( x) = a2-x2 x . 显然,f ( -x) = - f ( x) . 所以,f ( x) = a2-x2 | x + a | -a 是奇函数. 必要性: 若 f ( x) = a2-x2 | x + a | -a 是奇函数,则a 0(不然,函数 f ( x) 的定义域为空集 ) , 且由 a2-x2 | -x + a | -a = - a2-x2 | x + a | -a 可得 | x + a | +| x -a | =2a. 所以, a 0. 综上,f ( x) = a2-x2 | x + a | -a 是奇函数的充要 条件是a 0. 1349 单位圆内接正n边形Z1Z2Zn, P为圆上 任一点,求| PZ1| 2 +| PZ2| 2 +| PZn| 2 的值 ( n 3 ) . (山 东 日 照 市 三 庄 第 二 初 中 惠 智 华 277100) 解 建立如右图所示 的坐标系,设点P对应的复 数p , Z1, Z2, Zn对应的 复数z1, z2, zn,则 zk+1=cos 2k n +0+ isin 2k n +0 ( k =0,1, 2, n -1 ) . z1+ z2+ zn = ( cos0+isin0) 1+cos 2 n +isin 2 n +cos 2 ( n - 1) n +isin 2 ( n - 1) n = ( cos0+isin0) 1-cos 2 n +isin 2 n n 1-cos 2 n +isin 2 n =0 而|PZ1| 2 +|PZ2| 2 +|PZn| 2 =| z1-p | 2 +| z2-p | 2 +| zn-p | 2 = ( z1- p) ( z1-p) + ( z2- p) ( z2-p) + + ( zn-p) ( zn- p) = ( z1- p) ( z1- p) + ( z2- p) ( z2- p) + ( z n- p) ( zn- p) = ( z1z1+ pp - pz1- pz1) + ( z2z2+ pp - pz2 -pz2 ) + + ( znzn+ pp -p zn-pzn) = ( z1z1+ z2z2+ znzn) + npp - p( z1+ z2 + zn ) - p( z1+ z2+ zn) = | z1| 2 +| z2| 2 +| zn| 2 + n | p | 2 - p ( z 1+ z2+ zn) - p( z1+ z2+ zn) =2n 1350 若 整 数n用p进 制 数 表 示 为 ( a mam-1a1a0)p, p为素数,则C p na1( mod p) . (江 苏 如 皋 市 教 师 进 修 学 校 徐 道 226500) 证明 显然n = ampm+ am-1pm- 1 + + a1p + a0, a0=0,1,2, p -1. n( n -1) ( n -2) ( n - p +1) = ( ampm + am-1pm- 1 + a1p + a0) ( a mp m + am-1pm- 1 + a1p + a0-1) ( a m pm+ am-1pm- 1 + a1p +1) ( a mp m + am-1pm- 1 + a1 p) ( a mp m + am-1 pm- 1 + a1p -1 ) ( a mp m + am-1pm- 1 + + a1p -2) ampm+ am-1pm- 1 + + a1p - ( p -a0-1 ) = ampm+ am-1pm- 1 + ( a1+1 ) p - ( p - a0) amp m + am-1pm- 1 + ( a1+1 ) p - ( p - a0+1 ) ampm+ am-1pm- 1 + + ( a1+1) p - ( p -1 ) p ampm- 1 + am-1 pm- 2 + a2p + a1( ampm+ am-1pm- 1 + a1p -1 ) ( a mp m + am-1pm- 1 + a1p -2) ampm+ am-1pm- 1 + a1p - ( p -a0-1 ) 令 f1( p)= ampm+ am-1pm- 1 + ( a1+1 ) p , f2( p) = ampm- 1 + am-1pm- 2 + a2p , f3( p) = ampm+ am-1pm- 1 + a1p. 则n( n -1) ( n -2) ( n - p +1) = pf1( p) - ( p -a0) f1( p) - ( p -a0+1 ) f1( p)- ( p - 1 ) f 2( p) + a1 f3( p)- 1 f3( p) -2f3( p) - ( p -a0-1 ) = pf ( p) + a1 ( p - 1) !(f ( p)为各项均有p 因子的整系数多项式) 而 f ( p) 0( mod p) 842002年 第1期 数学通报 所以 f ( p) + a1 ( p - 1 ) ! a1 (p - 1) !(mod p) 因为 p为素数 所以 ( p , p -i) =1, i =1,2, p -1. 故( p , ( p -1) !) =1 于是 f ( p) + a1 ( p - 1 ) ! ( p - 1 ) ! a1( mod p) 即 p f ( p) + a1 ( p - 1 ) ! p ! a1( mod p) 所以 Cpna1( mod p) 注:此结论表明:若p为素数,则数列 Cpn-1 的第1至第p项除以p的余数均为0,第 ( p + 1)项 至第2p项除以p的余数均为1,第(2p +1)至第3p 项除以p的余数均为2,第 ( p 2 - p +1)至第p2 项除以p的余数均为 ( p - 1 ) ; 接着的第 ( p 2 +1)至 第2p2项又重复第1至p2项的这一性质.如此循 环,周而复始. 2002年1月号问题 (来稿请注明出处 编者) 1351 求证:20022000+1为合数. (山东聊城三中 王章琪 252000) 1352 如图,在直径为 AB的半圆中,半径CO AB于O ,以OC为直 径作 O1,AE切 O1 于E, AE交半圆于F,交 OC的延长线于D , BF 交OD于M ,交CE于N , 求证: EN = NC. (四川内江市中区永安镇初中 邱力争 641101) 1353 已知:点E, D1, D2在 ABC的边BC 上, ABAC,BAD1 =CAD2, EF1AD1 交AB于F1,又与CA的 延长线交于G1, EF2 AD2交AB于F2,又与 CA的延长线交于G2,求证: BE2 CE2 = BF1BF2 CG1CG2 (北京市朝阳区教研中心 郭璋 100028) 1354 有一条宽为10km东西流向的河,一只船从 南岸A点出发,在垂直于北岸的方向上以10km/ h 的速度行进,同时河水向东流,流速为 1 2 d/ h ,d是 水流与岸边的距离. (1)求船到北岸的位置; (2)求船实际航行的轨迹. (江苏泰州市寺巷中学 张金仁 225316) 1355 a , b , c为三角形三边长,求证: a2b + b2c + c2a 1 12 ( a + b + c) 3 + 3 4 ( b + c -a) ( c + a -b) ( a + b - c) . (江 西 省 宁 都 县 固 厚 中 学 张 树 生 342814) (上接46页) 编号菜名N(kc) Z(g) D(g) 5辣豆腐2582019 6鸡蛋西红柿2312010 7香菇油菜2281312 8辣子鸡丁2161613 9鱼香肉片2041611 10香菇菜花1921221 11炒三丁164122 12韭菜豆芽131153 13香菜冬瓜126121 根据学生营养需求,学生需要从每餐午饭菜 肴中获取的能量不低于700kc,脂肪在35g55g 之间,每餐午饭要由三种不同的菜肴来搭配.请你 做以下工作. (1)计算可以搭配出多少种合格的午餐菜肴 来. (2)为配餐中心设计五至七种配餐的方案, 使得学