高中数学备课参考数学通报问题解答0011pdf

数学问题解答 2000年10月号问题解答 (解答由问题提供人给出) 1276 设I为 ABC的内心, K、L、M分别为 ABC的内切圆在BC, CA , AB上的切点.过B且 与MK平行的直线分别与直线LM及LK交于R及 S ,点J在BI上,试证明:RJS是锐角,当且仅当 BJ 1 2 (AB + BC - AC) . (山东枣庄市立新学校 孔令恩 277102) 证明 如图所示, IBMK RSMK IBRS ABI =CBI RBM =SBK RMB =AML =90- A 2 BSK =MK L =90- A 2 RMB =BSK RBM SBK BR BK = BM BS BM = BKBK2= BRBS. 在直线BI上取一点P,使BP = BK,则BP2 = BRBS ,由射影定理之逆知,RPS =90. 当BJ 1 2 (AB + BC - AC) = BK = BP时, 知J在BP的延长线上.RJS=RJB + SJB 0 求证 x2y y + z + y2z z + x + z2x x + y 1 2 ( x 2 + y2 + z2) (湖北省潜江艺师 杨文党 433100) 证明 令A = x2y y + z + y2z z + x + z2x x + y B = x2z y + z + y2x z + x + z2y x + y 显然:A + B = x2+ y2+ z2 (1) 下证:AB. A - B = x2y y + z + y2z z + x + z2x x + y - x2z y + z + y2x z + x + x2y x + y = x2( y - z) y + z + y2 ( z - x) z + x + z2 ( x - y) x + y = x2( y - z) y + z + z2 ( x - y) x + y - y2 ( x - y) z + x - y2( y - z) z + x = ( y - z) x2 y + z - y2 z + x + ( x - y) z2 x + y - y2 z + x = ( y - z) ( x - y) x2+ y2+ xy + yz + zx ( x + z) ( y + z) - ( x -y) ( y - z) z2+ y2+ xy + yz + zx ( x + y) ( x + z) = ( x -y) ( y - z) x2+ y2+ xy + yz + zx ( x + z) ( y + z) - z2+ y2+ xy + yz + zx ( x + y) ( x + z) ( x - y) ( y - z) x2+ y2+ xy + yz + zx ( x + z) ( x + y) - z2+ y2+ xy + yz + zx ( x + y) ( x + z) = ( x - y) ( y - z) ( x + y) ( x + z) x2- z2= ( x - y) ( y - z) ( x - z) ( x + y) xyz 0 A - B0 即AB. 又 2AA + B = x2+ y2+ z2 故有:A 1 2 ( x 2 + y2+ z2 ) . 642000年 第11期 数学通报 1994-2008 China Academic Journal Electronic Publishing House. All rights reserved. 即: x2y y + z + y2z z + x + z2x x + y 1 2 ( x 2 + y2+ z2 ) . 1278 若a、b、c0且a + b + c =1, 0,求 证: 2 3 + 3 +1 3 a + 3 b + 3 c + 3 27+9 其中前者等号仅当a、b、c中一个取1,另两 个都取零时成立;后者等号仅当a = b = c = 1 3 时成立. (甘肃省徽县一中 李宗奇 742300) 证 明 上 界 不 等 式 利 用 均 值 不 等 式 x3+ y3+ z3 3 x + y + z 3 3 , ( x , y , z 0)可得 证,此处从略.下面只证明下界不等式.利用放缩 法;0a1,aa2a3.令x 0满足条 件. 3 a += 3 x3a +3x2a 3 +3xa 3 2 + 3 ( xa) 3 +3( xa) 2 3 +3( xa) 3 2 += xa + 3 . 由x3+3x2 3 +3x 3 2 =1得 ( x + 3 ) 3 = 1+ x = 3 +1- 3 于是 3 a + ( 3 +1- 3 ) a + 3 (1) 等号仅当a =0或a =1时成立. 同理可得: 3 b + ( 3 +1- 3 ) b + 3 (2) 3 c + ( 3 +1- 3 ) c + 3 (3) 将(1)、(2)、(3)式相加利用a + b + c =1得: 3 a + 3 b + 3 c + 2 3 + 3 +1(3) (3)式成立时仅当a , b , c中一个取1,另两 个都取零. 综上所述,问题得证. 1279 四边形A1A2A3A4是一个既有内切圆又有 外接圆的四边形, A1A2, A2A3,A3A4, A4A1分别切 O于B1, B2, B3, B4,求证: A1A2 B1B2 2 + A2A3 B2B3 2 + A3A4 B3B4 2 A4A1 B4B1 2 8 (甘肃金昌一中 张 737100) 证明 记四边形A1A2A3A4的外接圆、 内切 圆半径分别为R , r,则 B1B22= r2+ r2-2rrcosB1OB2 OB1A1A2, OB2A2A3 B1OB2+A2=180 cosB1OB2= -cosA2 即B1B22=2r2+2r2cosA2=2r2(1+cosA2 ) = 2r22cos2 A2 2 =4r2cos2 A2 2 同理 B2B23=4r2cos2 A3 2 , B3B24=4r2cos2 A4 2 , B4B21=4r2cos2 A1 2 . 那么 A1A2 B1B2 2 = A1A22 4r2cos2 A2 2 , A2A3 B2B3 2 = A2A23 4r2cos2 A3 2 , A3A4 B3B4 2 = A3A24 4r2cos2 A4 2 , A4A1 B4B1 2 = A4A21 4r2cos2 A1 2 , 四边形A1A2A3A4是双圆四边形, A1+ A3=180, A2+ A4=180, cos2 A3 2 =sin2 A1 2 ,cos2 A4 2 =sin2 A2 2 , 由常见不等式 n k =1 x2k yk n k =1 xk2/ n k =1 yk2 ( x kR , ykR + , k = 1,2, , n) 得 A1A2 B1B2 2 + A2A3 B2B3 2 + A3A4 B3B4 2 + A4A1 B4B1 2 1 4r2 . (A 1A2+ A2A3+ A3A4+ A4A1) 2 cos2 A2 2 +cos2 A3 2 +cos2 A4 2 +cos2 A1 2 = 1 4r2 . A1A2+ A2A3+ A3A4+ A4A1) 2 cos2 A2 2 +sin2 A1 2 sin2 A2 2 cos2 A1 2 = 1 8r2 (A 1A2 + A2A3+ A3A4+ A4A1) 2 由文1得 2 8 (A 1A2+ A2A3+ A3A4+ A4A1)2r (A 1A2+ A2A3+ A3A4+ A4A1) 2 64r2 742000年 第11期 数学通报 1994-2008 China Academic Journal Electronic Publishing House. All rights reserved. 即 A1A2 B1B2 2 + A2A3 B2B3 2 + A3A4 B3B4 2 + A4A1 B4B1 2 8 1280 过椭圆 x2 a2 + y2 b2 =1( a b 0)的中心O 任作两条互相垂直的射线交椭圆于A、B两点,求 证: 2ab a2+ b2 | AB |a2+ b2. (山东安丘一中 邹 明 262100) 证 明 如 图,记OB的倾斜 角为,| OA | = r1, |OB | = r2, 则A ( -r1sin, r1cos ) , B ( r2cos, r2sin ) , 代入椭 圆方程得 b2sin2+ a2cos2= a2b2 r21 b2cos2+ a2sin2= a2b2 r22 由 + 得: 1 r21 + 1 r22 = a2+ b2 a2b2 . 1 r21 + 1 r22 ( r 2 1+ r 2 2)4,| AB | 2 = r21 + r22 4a2b2 a2+ b2 , AB 2ab a2+ b2 ,即左端不等式成 立. 由 、 可 得|AB| 2 =r21+r22= a2b2 b2sin2+ a2cos2 + a2b2 b2cos2+ a2sin2 = a2b2 ( a 2 + b2) a2b2 a2-b2 2 2 sin22 a2+ b2,| AB | a2+ b2,即右端不等式成立. 2000年11月号问题 (来稿请注明出处:编者) 1281 ABC中,ABC =ACB =50, P、Q为 形内两点,PCA=QBC=10,PAC= QCB =20,求证:BP = BQ. (黑龙江省绥化地区教育学院 田永海 152054) 1282 设a , b, c为三角形三边长,令P = a b + b c + c a -3, Q = b a + c b + a c -3,求证:2QP 1 2 Q. (江 苏 省 吴 县 市 外 贸 公 司 褚 小 光 215128) 1283 P是正三角形外接圆上任一点, P到三边 的距离分别为d1, d2, d3.问:当P点变动位置时, d21+ d22+ d23是否为定值?d41+ d42+ d43是否为定 值?证明你的结论. (江苏省如皋市石庄镇石南中学 薛锦芳 226531) 1284 已知实数a 1, b 1, c 1,求证: a3 b2-1 + b3 c2-1 + c3 a2-1 9 2 3. (浙 江 省 湖 州 市 双 林 中 学 李 建 潮 313012) 1285 四面体A1A2A3A4内一点P到顶点