高中数学备课参考数学通报问题解答0210pdf

数学问题解答 2002年9月号问题解答 (解答由问题提供人给出) 1391 已知实数a , b , c满足不等式| b -c | 3| a | , | c -a |3| b | , | a - b |3| c | ,求证: a + b + c =0. (南昌大学附中 宋庆 330029) 证明 因为a , b, cR , | b - c|3| a | , 所以( b - c) 2 3a2, 所以3a2-b2- c2+2bc0, 同理得3b2- c2-a2+2ca0, 3c2-a2-b2+2ab0, 以上三式相加,便得 a2+ b2+ c2+2bc +2ca +2ab0, 所以( a + b + c) 2 0, 所以a + b + c =0. 1392 数列 an中, an= n3 99 i =1 ( n 2 -i2) 2 , 求该数列前n项和Sn. (江阴市绿园新村40幢405室 徐世震 214400) 解 因为an= n3 99 i =1 ( n 2 -i2) 2 = ( n +99) 2 ( n + 98) 2 ( n + 1) 2 n3 ( n - 1) 2 ( n - 98) 2 ( n - 99) 2 = 1 400 ( n + 100) 2 - ( n - 100) 2 ( n + 99) 2 ( n + 98) 2 ( n + 1) 2 n2 ( n -1) 2 ( n - 98) 2 ( n - 99) 2. 所以Sn- Sn-1= 1 400 ( n + 100) 2 ( n + 99) 2 ( n +98) 2 ( n + 1) 2 n2 ( n - 1) 2 ( n - 98) 2 ( n - 99) 2 - 1 400 ( n + 99) 2( n + 98) 2 ( n + 1) 2 n2 ( n - 1) 2 ( n -98) 2 ( n -99) 2 ( n - 100) 2. 即得Sn- 1 400 ( n +100) 2( n + 99) 2( n + 98) 2 ( n + 1) 2 n2 ( n - 1) 2 ( n - 98) 2 ( n - 99) 2 = Sn-1- 1 400 ( n +99) 2( n +98)2 ( n +1) 2 n2 ( n - 1) 2 ( n - 98) 2 ( n - 99) 2 ( n - 100) 2 , 所以新数列Sn- 1 400( n + 100) 2( n + 99) 2( n + 98) 2 ( n + 1) 2 n2 ( n - 1) 2 ( n - 98) 2 ( n - 99) 2 是常数数列,其首项为S1- 1 400 0= 0-0=0. 所以Sn= 1 400 ( n + 100) 2 ( n + 99) 2 ( n + 98) 2 ( n + 1) 2 n2 ( n - 1) 2 ( n - 98) 2 ( n - 99) 2 即Sn= n2 400 ( n + 100) 2 99 i =1 ( n 2 -i2) 2. 1393 求函数y = x4-12x3+68x2-192x + 832 ( x R) 的最小值. (湖南长沙市明德中学 陈世明 410008) 解 y = x4-12x3+68x2-192x +832 = ( x2+42) ( x -6) 2 +42 构造点A ( x ,4) , B (0,0) , C(6,0 ) , 则 y =| AB | 2 | AC | 2 = (| AB | | AC | ) 2 (1) 于是求y的最小值转 化为:在 ABC中,已知 | BC |=6, BC边上的高 为4,求| AB | | AC|的最小 值(如图1所示) 又在 ABC中, SABC = 1 2 | AB | |AC |sinA , SABC= 1 2 64=12 所以 1 2 | AB | | AC |sinA =12 所以| AB | | AC | = 24 sinA 所以求| AB | | AC|的最小值,又只须求sinA 的最大值. 742002年 第10期 数学通报 1994-2008 China Academic Journal Electronic Publishing House. All rights reserved. (1)当x6时, kAB= 4 x , kAC= 4 x -6 所以tgA = kAC-kAB 1+ kACkAB = 4 x -6 - 4 x 1+ 16 x( x -6) = 24 x( x -6 ) + 16 = 24 ( x - 3) 2 +7 24 7 ,当且仅当 x =3时,等号成立. 又O A 所以O Aarctan 24 7 (2) (2)当x =6时,如图2 所示,则 tgA = 6 4 = 3 2 . 所以A =arctan 3 2 arctan 24 7 . 由(1) , (2)得O A arctan 24 7 ,当且仅当x = 3时等号成立. 所以O sinAsin arctan 24 7 = 24 25 ,当且仅 当x =3时,等号成立. 所以sinA的最大值为24 25. 于是由 得| AB | | AC | min= 24 24 25 =25 故由 知, y的最小值为ymin=252=625,此 时x =3. 1394 正方形A1A2A3A4的中心为O ,O在正方 形A1A2A3A4内部, P为 O上任一点, P至A1A2, A2A3,A3A4, A4A1的距离分别为d1, d2, d3, d4,则 d31+ d32+ d33+ d34对于给定的 O而言为定值. (江 苏 如 皋 市 教 师 进 修 学 校 徐 道 226500) 证明 1 先证 O恰为正方形A1A2A3A4 的内切圆时d1+ d2+ d3+ d4、d21+ d22+ d23+ d24、d31+ d32+ d33+ d34均为定值. 显然, d1+ d2+ d3+ d4 为定值. 我们设 O分别切 A1A2, A2A3, A3A4,A4A1于 E, F, G, H, P在A1A2,A2A3, A3A4, A4A1上的射影 分别为E, F, G, H,作 O的直径PM ,连结 PG, GM ,如图.设 GPM =,O的半径为r,则 d3=2rcos2, d4=2rcos2 4 -, d2=2rcos2 4 +, d1=2rcos2 2 -, 则d21+ d22+ d23+ d24 =4r2cos4 2 -+4r2cos4 4 +4r2cos4 +4r2cos4 4 - = r21+cos(-2) 2 +1+cos 2 +2 2 +1+cos2 2 +1+cos 2 -2 2 = r24+2 cos(-2 ) + cos 2 +2+cos2 +cos 2 -2+cos2(-2) +cos2 2 +2+cos22+cos2 2 -2 =4r2+ r2 2 1+cos(2-4) + 1+cos(+ 4) + 1+cos4 + 1+cos(-4 ) =6r2,为定值. d31+ d32+ d33+ d34 =8r3cos6 2 -+cos6 4 +cos6 +cos6 4 - = r31+cos(-2 ) 3 +1+cos 2 +2 3 + 1+cos23+1+cos 2 -2 3 = r3 5 2 + 15 4 cos(-2 ) + 3 2 cos(2-4) + 1 4 cos(3-6)+ 5 2 + 15 4 cos 2 +2 + 3 2 cos(+4 ) + 1 4 cos 3 2 +6 + 5 2 + 15 4 cos2+ 3 2 cos4+ 1 4 cos6 + 5 2 + 15 4 cos 2 -2+ 3 2 cos(-4) + 1 4 cos 3 2 -6 =10r3为定值. 2 再证 O不是正方形A1A2A3A4的内切 842002年 第10期 数学通报 1994-2008 China Academic Journal Electronic Publishing House. All rights reserved. 圆时结论也成立. 作 O的外切正方形A 1A2A3A4,使A1A2 A1A2, A 2A3A2A3,A3A4A3A4, A4A1 A4A1,设P至A 1A2, A2A3, A3A4, A4A1的距 离分别为d 1, d2, d3, d4,则 d1- d 1= d2- d2= d3- d3= d4- d4= a( 为常数) 故d1= d 1+ a , d2= d2+ a , d3= d3+ a , d4= d 4+ a ,于是 d31+ d32+ d33+ d34= ( d 1 + a) 3 + ( d 2 + a) 3 + ( d 3+ a) 3 + ( d 4+ a) 3 = ( d 3 1+ d 3 2+ d 3 3+ d 3 4 ) + 3a( d 2 1+ d 2 2+ d 2 3+ d 2 4 ) + 3a2 ( d 1+ d2+ d3+ d4 ) + 4a3 由1, d 1+ d2+ d3+ d4, d 2 1+ d 2 2+ d 2 3+ d 2 4, d 3 1+ d 3 2+ d 3 3+ d 3 4均为定值,所以d31+ d32 + d33+ d34也为定值. 1395 设n为任意正整数,求10 n +5 n除以6的余 数,并证明自己的结论. (福建厦门九中 陈四川 361004) 解 n =1 , ( 10 n +5 n) 除以6的余数为3; n =2 , ( 10 n +5 n) 除以6的余数为5; n =3 , ( 10 n +5 n) 除以6的余数为3; n =4 , ( 10 n +5 n) 除以6的余数为5; 猜想: (1 ) n 为奇数时 ,( 10n+5n)除以6的余数为3, (2 ) n 为偶数时 ,( 10n+5n)除以6的余数为5. 猜想的证明: (1)当n为奇数,设n =2k -1 ( k Z+ ) . () k =1时,101+51=15,15除以6的余数 为3. ()设k=k ( k Z+)时 , ( 102k -1 + 52k -1) 除以6的余数为3,即(102k -1 +52k -1 -3) 能被6整除. 当k = k+1时, 102 ( k +1) +52 ( k +1 ) - 1 -3=10(2k -1 ) + 2 + 5(2k -1 ) + 2 -3=52(102k -1 +52k -1 -3 ) + 75 102k -1 +72 =52(102k -1 +52k -1 -3 ) + 72(102k -1 +1 ) + 3 102k -1 (3) 因为 3 式的3个多项式都能被6整除,故 102 ( k +1 ) - 1 +52 ( k +1 ) - 1 -3能被6整除,即 102 ( k +1 ) - 1 +52 ( k +1 ) - 1 除以6的余数为3. 综合()、()知,当n为奇数时 , ( 10 n +5 n) 除以6的余数为3. (2)当n为偶数时,设n =2k( kZ+) () k =1时,102+52=125,125除以6的余 数为5. 设当k = k ( k Z+)时 , ( 102k+52k)除以 6的余数为5,即(102k+52k-5)能被6整除. 当k = k+1时, 102 ( k +1 ) - 1 +52 ( k +1) -5=102k +2 +52k +2 -5 =52(102k+52k-5 ) + 75102k+120(3 3) 因为(3 3)式的3个多项式都能被6整除, 故(102 ( k +1) +52 ( k +1) -5能被6整除,即 (102 ( k +1) +52 ( k +1) 除以6的余数为5. 综合()、()知,当n为偶数时 , ( 10 n +5 n) 除以6的余数为5. 由(1)、(2)知:10 n +5 n ( n Z+ ) 除以6的 余数为3 ( n 为奇数时)或5 ( n 为偶数时 ) . 2002年10月号问题 来稿请注明出处 编者 1396 O是 ABC的内切圆, D、E、F是BC、 CA、AB上的切点, DD, EE, FF 是 O的直径, 求证:直线AD, BE, CF 共点. (安徽怀宁江镇中学 黄全福 246142) 1397 已知a , b , c分别是 ABC的三个内角A、 B、C的对边边长, ab ,求证: c a -b 2 =1+ b a 成立的充要条件是B =3A 或B =3A -2. (江西南昌大学附中 宋庆 龚浩生 330029) 1398 设a , b , c , d , nN , SR , oS 2n +3,且n2+ Sa b c d ( n + 1) 2 + S , 求证: adbc. (湖南吉首大学数学与计算机科学系 彭明 海 416000) 1399 设