高中数学备课参考数学通报问题解答0311pdf

数学问题解答 2003年10月号问题解答 (解答由问题提供人给出) 1456 如图,在 O中,两弦AC、BD垂直于P.过 A、B、C、D分别作 O的切线,相交于E、F、G、 H,求证: AE AH = PB PD = CF CG ,或 BE BF = AP PC = DH DG (浙江三门中学 闵飞 317100) 证明 分三步证: )过H引FG的平行线 与AC交于X ,则 GCA= HXA 又因 GCA =HAC 所以 HXA =HAC 即得HA = HX 同样地,过H引EF的平行线与BD交于Y, 则有HD = HY 又因HA = HD 所以HX = HY 设AC与HF交于P1,则有 HP1 P1F = HX FC 又设BD与HF交 于P2,则 有 HP2 P2F = HY FB 又因在FB = FC 结合 、 、 、 得 HP1 P1F = HP2 P2F 于是P1与P2重合,因此AC、HF、BD三线交 于一点,同理AC、EG、BD也相交于同一点,即有 AC、BD、EG、FH四线相交于点P. )由 EAB =EBA = 1 2 AB GCD =GDC = 1 2 CD 及三角形内角和 AEB +EAB +EBA =180 CGD +GCD +GDC =180 知 AEB +CGD + AB + CD =360 又ACBD可知AB + CD =180 便知 AEB +CGD =180 从而E、F、G、H四点共圆. )由 、 中结论,可知 AHP =EHF =EGF =CGP,又 HAP =GCP 所以 HAP GCP 所以AH CG = PA PC 且因AH = DH, CG = DG 即有 DH DG = PA PC 同理, BE BF = PA PC 从而 BE BF = PA PC = DH DG 同理可得, AE AH = PB PD = CF CG. 1457 设a1, a2, an是实常数, x是实变数,且 f ( x) =sin ( a 1+ x) + 1 2 sin ( a 2+ x) + 1 4 sin ( a 3+ x) + 1 2n- 1sin ( a n+ x) .若f ( a) = f ( b) =0,求 a - b. (湖 南 省 常 德 英 语 实 验 中 学 李 晓 渊 415000) 解 首先证明 f ( x) 不恒为0. 事实上 ,f ( 2 - a1)1- 1 2 - 1 4 - 1 2 n-1 = 1 2 n 0,即 f ( x) 不恒为0. 然后求a -b. 因为f ( x) = n k =1 1 2 k-1(sinakcosx +cosaksin x) = ( n k =1 1 2 k-1sinak)cosx + ( n k =1 1 2 k-1cosak)sinx = Acosx + Bsin x. ( 其中A = n k =1 1 2k- 1sinak, B = n k =1 1 2 k-1cosak) 由 f ( x) 不恒为0即知,A、B不全为0, 再由f ( a) = f ( b) =0得: Acosa + Bsina =0 Acosb + Bsinb =0 有非零解,从而行列式 cosa sina cosb sinb 必为0, 所以sinacosb -cosasinb =0,即sin( a - b) = 0, 故a - b = m (m Z) 1458 实数x , y满足x + y =4, x6+ y6=2702,证 明对一切正整数n , xn+ yn为不能被3整除的正整 数. (湖北省洪湖市第三中学 廖明村 433218) 742003年 第11期 数学通报 解 由x + y =4, x , yR得 x2+ y2= (x + y) 2 -2xy =16-2xy 0 所以 xy 8 与 xy 6.于是,在()式中可知 ( x k-1 + yk- 1 ) - ( x k-2 + yk- 2) 也能被3整除. 若在()式中以k -1代k得 xk- 1 + yk- 1 =3 ( x k-2 + yk- 2) + ( xk-2 + yk- 2) - ( xk- 3 + yk- 3) 所以xk- 3 + yk- 3 =3 ( x k-2 + yk- 2) + ( xk-2 + yk- 2) - ( xk-1 + yk- 1) 这说明xk- 3 + yk- 3也能被3整除 ,这与k为使 xn+ yn能被3整除最小正整数的假设相矛盾,故 不存在自然数n使xn+ yn能被3整除. 由 )命题得证. 1459 已知a3,且m n 1, m、nN+, 求证: a n m - ( a - 1) n m n 1,且m , nN ,不妨 设m = n + k , ( kN ,且k1) 所以 a a -1 n m =111 k个 a a -1 1 m a a -1 1 m a a -1 1 m n个 k + na a -1 m 同理: a -2 a -1 n m k + n( a -2) a -1 m 两式 相 加,得 a a -1 n m + a -2 a -1 n m 2k +2n m =2 所以a n m+ ( a -2) n m 2 ( a - 1) n m(1) 类似地有: ( a -1) n m + ( a -3) n m 2( a - 2) n m(2) (1) + (2 ) , 即a n m- ( a -1) n m ( a -2) n m- ( a -3) n m. 证毕 1460 设mN+, x、y、zR + ,且xyz =1, 求证: xm (1+ y) (1 + z) + ym (1+ z) (1 + x) + zm (1+ x) (1 + y) 3 4 . 证明 (1)当m =1时,令t = x + y + z ,则 x2+ y2+ z2 1 3 ( x + y + z) 2 = 1 3 t2 xy + yz + zx 1 3 ( x + y + z) 2 = 1 3 t2 所 以 等 式 左 边= x (1+ y) (1 + z) + y (1+ z) (1 + x) + z (1+ x) (1 + y) = ( x + y + z) + ( x2+ y2+ z2) 1+ ( x + y + z) + ( xy + yz + zx) + xyz t + 1 3 t2 2+ t + 1 3 t2 = 1 1+ 6 t2+3t 设f ( t) =1 / ( 1+ 6 t2+3t ) , 易知 f ( t) 在3, 842003年 第11期 数学通报 +)上是增函数,由xyz =1,得t = x + y + z 3 3 xyz =3,所以等式左边 f ( t) f ( 3 ) = 3 4 . (2)当m =2时,设 u = (1+ y) (1+ z) + (1 + z) (1+ x) + (1+ x) ( 1 + y) 则 u =3+2( x + y + z) + ( xy + yz + zx) 由(1)得 u3+2t + 1 3 t2 ( t 3) 所以等式左边= 1 u u x2 (1+ y) (1 + z) + y2 (1+ z) (1 + x) + z2 (1+ x) (1 + y) 1 u ( x + y + z) 2 = t2 u t2 / ( 3+2t + 1 3 t2 ) = 3/ 9 t2 + 6 t +1 设g( t) =3/ 9 t2 + 6 t +1,易知 g( t) 在3, +上是增函数.由t3,得 等式左边 g( t) g( 3 ) = 3 4 . (3)当m3时,由均值不等式得 xm (1+ y) (1 + z) + 1+ y 8 + 1+ z 8 + ( m -3)1 4 m m xm (1+ y) (1 + z) 1+ y 8 1+ z 8 1 4 m-3 = m 4 x 所以 xm (1+ y) (1 + z) 2mx - ( y + z) 8 - m -2 4 同理 有: ym (1+ z) (1 + x) 2my - ( z + x) 8 - m -2 4 zm (1+ x) (1 + y) 2 mz - ( x + y) 8 - m -2 4 所以等式左边 ( m - 1) ( x + y + z) 4 - 3 ( m - 2) 4 ( m - 1)3 3 xyz 4 - 3 ( m - 2) 4 = 3 4 2003年11月号问题解答 (来稿请注明出处 编者) 1461 如图,四面体D - ABC中,ABC是边长 为1的正三角形,面DAB 面ABC,面ADC面 BDC.求四面体体积的 最大值. (泰州市第四中学 高中部 陈稳胜 225300) 1462 已知:等腰 ABC中,BAC =90,在CA 延长线上有D1,在AC延长线上有D2, AD1= CD2.过点A分别作BD1, BD2的垂线AE1, AE2,垂 足分别为E1, E2.直线AE1交BC的延长线于F1, AE2交BC于F2.求证: CF2 BF2 - CF1 BF1 =1 (北 京 朝 阳 区 教 育 研 究 中 心 郭 璋 100028) 1463 在 ABC与 ABC 中,求证: cotA +cotB +cotc 3 3 sinA sinA + sinB sinB + sinC sinC (南昌大学附中 宋 庆 330029) 1464 已知a , b , cR , a + b + c =1.求证: 7 5 a + b +2b + c +3c + a 119 10 (四川省邻水二中 张启凡 甘立斌 638500) 1465 试求出所有适合条件aa- bb= aa- 1 bb- 1 + a + b的正整数对( a , b) . (广 州 大 学 理 学 院 数 学 系 吴 伟 朝 510405) (上接第37页) 后分别通过求和、 消项、 放缩,均可获证,有兴趣者 不仿