高中数学备课参考数学通报问题解答0105pdf

数学问题解答 2001年4月号问题解答 (解答由问题提供人给出) 1306 ABC中,ABC =70,A CB =30, P 为形内一点,PBC =40,PCB =20. 求证: CAABB P A PPCCB =1 (黑龙江绥化教育学院 田永梅 152054) 证明 如图1,以AB为一边在 ABC内作 正 DAB ,连DP, DC.在A C上取一点E ,使EC = DC ,连PE. 由 ACB =30,可知D为 ABC的外心, 有 DCB =DBC =10. 由 DCP =10=A CP,可知E与D关于 PC对称,有 PDC =PEC , PE = PD. 由 PBA =30,可知BP为AD的中垂线,有 PA = PD.于是PA = PE.得 PAE =PEA. 由 PAC +PDC =PEA +PEC = 180,可知A、P、D、C四点共圆,有 PAD = PCD =10. 所以 PAB =50,PA C =30. 显然 PAD DBC ,可知 PA BD = AD BC . 代换其中的AD = BD = AB ,得 PA AB = AB BC . ( 1) 如图2,设 BAC的平分线交BC于F,连 PF,以A C为一边,在 ABC内作正 GCA ,连 GP、GF.有 A FC =10. 由 ACB =30,可知BC为A G的中垂线, 有 FGA =FA G =20. 由 PAC =30,可知AP为GC的中垂线,有 PGA =PCA =10.于是 PGF =FGA - PGA =10=PAF,得A、G、F、P四点共圆. 所以 PFA=PGA=10,PFC= 100. 在 PFC中,易知 FPC =60,有PF平分 B PC.于是 PB PC = B F FC = AB A C ,即 PB PC = AB A C . ( 2) 由(1)、(2)可得 CAABB P A PPCCB =1. 1307 设a1, a2, a3, a4, a5N , a5 a4 a3 a2 a1. P1= (a2, a3, a4, a5) P2= (a1, a3, a4, a5) P3= (a1, a2, a4, a5) P4= (a1, a2, a3, a5) P5= (a1, a2, a3, a4) ( a 1, a2, a3, a4, a5 ) = 1 其中P1, P2, P3, P4, P5是互异的素数. (1)证明存在无穷多组数a1, a2, a3, a4, a5 满足题设条件. (2)求出合乎题设条件的a5的最小值. (湖南吉首大学数学与计算机科学系 彭明 海 416000) 解 先证存在性:任取五个互异的素数: P1 P2 P3 P4 P5. 记= P1P2P3P4 P5. 令ai= Pi i =1,2,3,4,5. 显然aiN ( i =1,2,3,4,5 ) . a 5 a4 a3 a2a1.设di= ( a 2, a3, a4, a5) = P2 , P3 , P4 , P5 ai|,知d1只可能是P1, P2, P3, P4, P5中某 些数之积或d1=1.P1| Pj j =2,3,4,5. 所以,存在S1N ,使得d1= P1S1 742001年 第5期 数学通报 又 Pj8 Pj j =2,3,4,5 Pj8dj j =2,3,4,5 S1=1 即 a1= P1 同理可证P2= ( a 1, a3, a4, a5 ) , P3= ( a 1, a2, a4, a5) P4= ( a1, a2, a3, a5 ) , P5= ( a1, a2, a3, a4) 又 ( a 1, a2, a3, a4, a5) = ( ( a1, a2, a3, a4 ) , a 5 ) = P5, P5 =1 这样构造的a1, a2, a3, a4, a5满足题设条 件,下证无穷性. 由于素数有无穷多个.从这无穷多素数中,任 取互异的五个作成一组,有无穷多组,不同的互异 的五个素数组,每五个素数组如上构作出五个数 a1, a2, a3, a4, a5,显然是无穷多组. 或者,因为大于a1的素数有无穷多个,任取 这样的一个素数P作a1= Pa1代替a1,其余a2, a3, a4, a5不变,显然, a1, a2, a3, a4, a5合乎题设 条件,这样的数组有无穷多. 1 获证. 2 取 P1=2, P2=3, P3=5, P4=7, P5 =11是N中前五个素数. 仿1 作出五个数: a1=35711, a2=25711, a3=23711, a4=23511, a5=2357. 这样的a1, a2, a3, a4, a5合乎题设条件. a5=2357=210. 我们证明210是合乎题设条件的a5的最小 值. 由题设条件知P1| a5, P2| a5, P3| a5, P4| a5 a5= P1P2P3P4S SN . (注意, P1, P2, P3, P4互异的素数) 假定 P1 P20. 若yn+ z n -x n 0,则(3)显然成立. 若yn+ z n -x n 0,设A = x n + yn-z n , B = yn+ z n -x n , C = z n + x n - yn, A , B , C 0,则 x n = C + A 2 , yn= A + B 2 , z n = B + C 2 ,此 时(3)等价于8ABC( A + B) ( B + C) ( C + A) 由2ABA + B ,2BCB + C ,2CA C + A知上式成立,于是(3)成立,原命题正 确.说明:当n =1时,即为第41届IMO第2题: 设a , b , c是正实数,且满足abc =1.证明: a -1+ 1 b b -1+ 1 c c -1+ 1 a 1. 2001年5月号数学问题 (来稿请注明出处 编者) 1311 AB是 O中非直径的弦,半径OCAB 于M , D为OB中点, E在劣弧BC上,A ED = A CO , A E交BC于F,交CO于N ,求证: SFCN SDMO = CN MO (重庆市合川太和中学 陈开龙 401555) 1312 设 函 数( x)=x2+1- x2-2x +2问: 1)能否沿x轴方向适当平移该函数的图象, 使平移后的图象关于原点成中心对称? 2)能否沿x轴方向适当平移该函数的图象, 使平移后的图象关于y轴对称? (江苏江都市大桥高级中学 党庆寿 225211) 1313 ABC中,求证:对任何nN ,有 cosA +cos2 nB + cos2 nC 1+ r R +2(1- 2 n) 1 2n 2n 2n-1 , 当且仅当cosB =cosC = 2n-1 1 2n 时等号成立 , ( 其 中R , r分别为三角形的外接圆,内切圆半径) (四川富顺高级中学 李显权 643200) 1314 设a1, a2, a3, a