高中数学备课参考数学通报问题解答0008pdf

数学问题解答 2000年7月号问题解答 (解答由问题提供人给出) 1261 0是单位圆,正方形ABCD的一边AB是 0的弦.试确定OD的最大值与最小值. 黄全福(安徽怀宁江镇中学) 图1 解 (1)见图1,作OMAB于M ,记 OAM=, 易知AB= 2AM. AD=AB= 2AM= 2cos. 于是 OD2=OA2+AD2-OAADcos(90+) =12+(2cos)2- 21(2cos)cos(90+) = 1 + 4cos2+ 4cos cos(90-) = 1 + 4cos2+ 4sin cos = 1 + 4cos2+ 2sin2 cos2= 2cos2- 1 4cos2= 2(cos2+ 1) 代入上式: OD2= 1 + 2(cos2+ 1)+ 2sin2 = 2(sin2+ cos2)+ 3. sin2+ cos2=2(sin2cos45+ sin45 cos2) = 2sin(2+ 45) 2 OD22 2 + 3 =(2 + 1) 2 OD2 + 1.此时易得= 2230. (2) 见图2,作OMCD、ONAD , M、N都 是垂足.记 OAN=, AD=CD= 2DM= 2ON= 2sin. OD2=AD2+OA2- 2ADOAcos = 4sin2+ 1 - 2(2sin)cos = 4 - 4cos2+ 1 - 2sin2 = 5 - 2(cos2+ 1)- 2sin2 = 3 - 2(sin2+ cos2) = 3 - 22sin(2+ 45) 3 - 2 2 =(2 - 1) 2 , 图2 OD2 - 1,此时易得= 2230. 综合二者, OD最大值为2 + 1, OD的最小值 为2 - 1. 1262 ABC中,角A , B , C的对边分别为a , b , c ,若A+C= 2B ,试求最大的自然数n ,使an+cn 2bn对任何一个这样的三角形都成立. 杨晓晖 (湖南湘潭电机厂中学 411101) 解 只须注意到,当n5时,在 ABC中,取 A= 6 , B= 3 , C= 2 ,但 an+cncn 而2bn= 2 ( c sin 3 ) n = 2cn( 3 2 ) n 2cn( 3 2 ) 5 =cn 9 3 16 cn. n 5. 下面证明nmax= 4,即在 ABC中,若A+C= 2B , 则a4+c42b4. 由A+B+C=,A+C= 2B B= 3 b2=a2+c2- 2accosB=a2+c2-acac 又a4+c4= ( a 2 +c2) 2 - 2a2c2 = ( a 2 +c2+ 2ac) ( a2+c2-2 ac) = b2+(2 + 1 ) ac b2-(2 - 1 ) ac = -a2c2+ 2acb2+b4 = - ( ac -b2) 2 + 2b4 742000年 第8期 数学通报 a4+c42b4 当且仅当a=c , ac=b2即 ABC为正三角 形时等号成立. 综上,所求最大的自然数n= 4. (注:实际上,对n= 1,2,3, a+c2b a2+c22b2 a3+c32b3 三式均成立 . ) 1263 已知A、B、C, A 、B 、C 分别为 ABC和 ABC 的内角,求证: cos (A - sinA)+ cos ( B - sinB)+ cos ( C - sinC) 3cos( 3 - 3 2 ) 党庆寿(江苏江都市大桥高中 225211) 证明 注意到,若-+k+ 1,则由题给条件得 f (f ( k+ 1) )= ( k + 1) 2 f ( k+ 1) ( k + 1) 2 k+ 1 =k+ 1,再利用 得:f ( k+ 1)k ,但这又与 矛盾! 故必有f ( k+ 1)=k+ 1. 由数学归纳法原理知:f ( n)= n ( nN) , 本题只有这个函数解 :( 检验是显然的 ) . 1265 P为素数nN ,求证: Cp - 1 n 0 ( modp) , nqp- 1, qN ; 1 ( modp) , n=qp- 1, qN. 徐 道 (江苏如皋市教师进修学校) 解 p= 2时,易知结论成立.下面证p为大于 2的素数时结论也正确. 1 nqp- 1 n( n- 1 ) ( n - 2) ( n -p+ 2)的 ( p - 1)个因式的 乘式中必有一个是p的整数倍,则可设n ( n- 1) ( n - 2) ( n -p+ 2)= spA ( 其中A是其它 ( p - 2)个因式之积, S为整数) Cp - 1 n Z ( p - 1 ) ! |SPA 又p为素数 故 ( p , i)= 1, i= 1,2, p- 1. ( p , ( p- 1) !)= 1 ( p - 1 ) ! |SA 所以 p| SPA ( p - 1 ) ! 因而 Cp - 1 n 0( modp) 2 n=qp- 1 n( n- 1 ) ( n - 2) ( n -p+ 2) = ( qp - 1) ( qp- 2) qp- ( p - 1 ) =f ( qp)+ ( p - 1) ! (其中f ( qp)是各项均含 842000年 第8期 数学通报 有因子qp的多项式) 于是Cp - 1 n = f ( qp)+ ( p - 1 ) ! ( p - 1 ) ! = pf( q) ( p - 1 ) ! + 1 ( f ( q)是f ( qp)除 以p的商式) 显然 pf( q) ( p - 1 ) ! Z 即 ( p - 1 ) ! |pf( q) 又 ( p , ( p- 1) !)= 1 ( p - 1 ) ! |f( q) p| pf( q) ( p - 1 ) ! 所以 Cp - 1 n 1( modp) 2000年8月号问题 (解答由问题提供人给出) 1266 ABC中,ABC= 70,ACB= 10, D为 BC上一点,DAC= 20 求证: BA DA = BD CD (黑龙江绥化地区教育学院 田永海供 152054) 1267 试确定实数a0的取值范围,使得由递推式 an+1= - 3an+ 2 n ( n = 0,1,2,)决定的数列 an 为严格递增数列. (上海市东华模范中学 钱雪华 200040) 1268 给定两个实数a , b试求所有函数fRR 使得对所有x , yR都有f ( x+f ( y) )=a( x+ y) f ( x- y) +b (广州师范学院数学系 吴伟朝 5104025) 1269 ABC中, ma, mb, mc, ha, hb, hc,分别为 BC, CA ,AB边的中线和高线,求证: hb+hc ma + hc+ha mb + ha+hb mc 6 (山东广铙一中 侯良田 257300) 1270 设、 、 为锐角,cos2+ cos2+ cos2= 1,试证: ctgctg+ctgctg+ctgctg 3 2 (浙江湖州市双林中学 李建潮 313012) (上接22页) 上述处理,实实在在地保证了三角函数主要内容 的学习时间.一方面,让教师能集中精力思考试验 本的教学过程,“把教学的重点放在发展学生自主 性、 积极性、 创造性、 能动性的追求上”,另一方面, 又让学生腾出时间 “认真阅读课文,及时进行和总 结,把所学知识系统化”. 2 “三角函数” 章的教学 当我们理顺教学内容和教学要求后,在实际 教学过程中,要遵循新大纲,根据试验本实施教 学. 试验本三角函数的教学内容内涵丰富,它在 结构上有别于旧课本,更具有科学性和系统性.教 材上各类练习、 习题、 复习参考题的配备,适合了 不同层次学生的要求.教材上的例题与定理的讲 解,更便于教学.因此,在教学时,要尽可能教好规 定的教学内容,并达到教学目标.一般说来,不要 扩充教科书以外的内容,以免造成学习上的困难, 如本章4116节,对于两角和与差的正弦、 余弦、 正 切公式推导体系及余弦的和角公式的证明,只要 求了解,不要求记忆. 其次,试验本的施教,应注意 “学为主体、 教为 主导、 练为主线”.训练中,试验本上的练习和习题 大都是按正文和例题配备的,要求学生模仿教科 书上的解题格式去完成.对于稍难的问题,可作些 必要的提示,以免找不到正确、 迅捷的方法.在讲 练中让学生达到了解、 理解、 掌握、 灵活运用等四 个层次的教学目标,使面向全体学生得到落实. 再次,在教学中,应掌握对于三角变换的要 求.大量的三角函数问题的演绎和变换,纵横交 错,灵活多变,使不少学生深感变幻莫测,难以把 握.由于和差化积、 积化和差公式已被近几年的各 种训练与考试炒得远远超过其本身价值,因此在 变换中,受这种炒作的影响,会不自觉地拨高对于 三角变换的要求.实际上,三角公式多,但基本公 式却是体系清楚,主干和分枝明显.这些公式的基 础是两角和的余弦函数