高中数学备课参考数学通报问题解答0611pdf

数学问题解答 2006年10月号问题解答 (解答由问题提供人给出) 1636 四边形ABCD内接于 O ,设四边形的一组对边 AB , CD相交于P,记 ABC, BCD的内心分别为O1, O2,直线O1O2与AB , CD分 别交于E, F. 求证: PE = PF. (山东费县新桥中学 赵永灵 273407) 证明 连接BO1, CO2, BO2, CO1. 因为O1为 ABC的内心, 所以 BO1C =180-1/2(ABC +ACB) =180-1/2(180-BAC) =90+1/2BAC 同理 BO2C =90+1/2BDC 由 BAC =BDC, 有 BO1C =BO2C, 所以B , C, O2, O1四点共圆, PEF =ABO1+BO1E =ABO1+BCO2 =1/2(ABC +DCB) , 同理 PFE =1/2(ABC +DCB) , 所以 PEF =PFE, 即PE = PF. 1637 P是正三角形A1A2A3的内切圆 O上任一 点, P至A1A2, A2A3,A3A1的距离分别为d1, d2, d3, 问当P点位置变动时, d21+ d22+ d23是否为定值. d41 + d42+ d43是否为定值?说明理由. (湖北省黄石二中 杨志明 435003) 解 设 O切A1A2A3 的A1A2,A2A3, A3A1于D , E, F.不妨设P在劣弧FD 上,连接PD , PE, PF, MD , ME, MF,设PM=2r, PMF =,则 PMD =60-, PME =60+,则 d1= PDsin(60- ) = 2rsin2(60-) = r1-cos(120-2 ) , d2= PEsin(60+ ) = 2rsin2(60+) = r1-cos(120+2 ) , d3= PFsin=2rsin2 = r( 1-cos2 ) . 因为cos(120-2 ) + cos2+cos(120+2) =2cos120cos2+cos2= -cos2+cos2=0, 所以d1+ d2+ d3= r1-cos(120-2 ) + 1- cos2+1-cos(120+2) =3r. 由cos(120-2 ) + cos2+cos(120+2 ) 2 =0, 有cos(120-2)cos2+cos2cos(120+2 ) + cos(120+2)cos(120-2) = - 1 2 cos2(120-2 ) + cos22+cos2(120+ 2 ) = - 1 4 1-cos(240-4 ) + 1-cos4+1- cos(240+4 ) = - 3 4 + 1 4 cos(120-4 ) + cos4+cos(120 +4) = - 3 4 所以d1d2+ d2d3+ d3d1= r2 1-cos(120- 2) (1-cos2) + (1-cos2 ) 1-cos(120+2 ) + 1-cos(120+2 ) 1-cos(120-2 ) = r23- cos(120-2 ) + cos2+cos(120+ 2) +cos(120-2)cos2+cos2cos(120 +2 ) + cos(120+2)cos(120-2 ) = r23-0- 3 4 = 9 4 r2. 所以d21+ d22+ d23= ( d1+ d2+ d3) 2 -2 ( d 1d2 + d2d3+ d3d1 ) = 9r2-29 4 r2= 9 2 r2为定值. 又因为cos(120-2)cos2cos(120+2) = 1 4 4cos2cos(60-2)cos(60+2 ) = 1 4 cos6 所以d1d2d3=r31-cos(120-2) (1- 26数学通报 2006年 第45卷 第11期 cos2 ) 1-cos(120+2 ) = r31- cos(120-2 ) + cos2 +cos(120+2) +cos(120-2)cos2 +cos2cos(120+2 ) + cos(120+2)cos(120-2) -cos(120-2)cos2+cos(120+2 ) = r31-0- 3 4 - 1 4 cos6 = 1 4 (1-cos6 ) = 1 2 r3sin23. d41+ d42+ d43= ( d21+ d22+ d23) 2 -2 ( d 2 1d 2 2+ d 2 2d 2 3 + d23d21) = ( d21+ d22+ d23) 2 -2 ( d 1d2+ d2d3+ d3d1) 2 + 4d1d2d3 ( d 1+ d2+ d3) = 9 2 r2 2 -2 9 4 r2 2 +4 1 2 r3sin3 3r = 1 8 r4(81+48sin23)不为定值. 1638 设AD是 ABC中 BAC的平分线, I1, I2分 别是 ABD和 ACD的内心.直线I1I2分别交AC, AB于E, F.试证:AD , BE, CF交于一点. (四川成都实验外国语学校 宿晓阳 610031) 证明 设EF与AD相交于G,ABD的内切圆 半径为r1,则 SAFG SABD = 1 2 ( AF + AG) r1 1 2 ( AB + AD + BD) r1 = 1 2 AFAGsinBAD 1 2 ABADsinBAD 所以 AF + AG AB + AD + BD = AFAG ABAD 所以 1 AF + 1 AG = AB + AD + BD ABAD (1) 同理 1 AE + 1 AG = AC + AD + CD ACAD (2) 由(1) - (2)并注意到BD AB = CD AC , 即得 1 AF - 1 AE = 1 AB - 1 AC , 1 AF - 1 AB = 1 AE - 1 AC , AB - AF AFAB = AC - AE AEAC . BF AFAB = CE AEAC. 即 AE CE AC AB BF AF =1. 又因为AC AB = CD BD .所以AE CE CD BD BF AF =1. 故由塞瓦定理,知AD , BE, CF三线共点. 1639 试求出所有实数a ,使得关于x的一元三次 方程x3-x2- ( a2+ a -1 ) x - a -1=0 的各个根均为整数. (湖南省邵阳市二中 孙伯友 422000) 解 易知原方程无零根,否则a = -1,此时方 程即为x3-x2+ x =0,而x2-x +1=0无实根, 这与原方程的各个根均为整数相矛盾. 设x1, x2, x3为原方程的三个根,由韦达定理, 知x1x2x3= a +1.由x1, x2, x3为整数,知a为整数, 把 整理为关于a的二次方程 xa2+ ( x +1) a + ( x2-x3-x +1 ) = 0 设a1, a2为 的两根,由韦达定理,得 a1+ a2= - x +1 x = -1- 1 x , a1a2= x2-x3-x +1 x = x -x2-1+ 1 x . 因为x1, a1, a2均为整数, 所以x =1或x = -1. 当x =1时,即为a2+2a =0,从而a = -2 或a =0. 当x = -1时,即为a2-4=0,从而a = -2 或a =2. 把a的值代入 ,知a =0不满足条件. 故所求a的值只有两个,即a =2. 1640 i0, 2 ( i = 1,2,3, n , n2 ) , 且 n i =1sin i = a( 正常数 ) , 求 n i =1sin i的最大值. (浙江衢州市教育局教研室 李世杰 324002) 解 记xi=sini,则cosi=1-x2i ( i = 1, 2,3, n) , n i =1xi = a , ( n i =1cos i) 2 = a n i =1 1 xi -xi 由于 n n i =1 1 xi -xi n i =1 1 xi 1 n n i =1 1 xi -xi 1 xi , n n i =1xi n i =1 1 xi 1 n n i =1 xi 1 xi ,所以 n n i =1 1 xi -xi n i =1 1 xi + n n i =1xi n i =1 1 xi 1, 362006年 第45卷 第11期数学通报 即 n n i =1 1 xi -xi n n i =1 1 xi - n n i =1xi 1 n a - n a 故 n i =1cos i= a n i =1 1 xi -xia 1 n a - n a n 等号当且仅当 xi 1 xi = c1(常数 ) , 1 xi -xi 1 xi = c2(常数) ( i =1,2,3,) 即x1= x2= x3= xn时成立,相当于1=2 =3=n, 所以 n i =1cos i的最大值是 a 1 n a - n a n . 2006年11月号问题 (来稿请注明出处 编者) 1641 BC是半圆O的直径, ACBC于C, AD切半 圆于D ,设圆的半径为r, BD + OA = 9 2 r,求AD. (安徽省肥西中学 刘运宜 231200) 1642 求证:tan5+18tan10+4tan20+8tan40= tan85 (安徽省五河县第三中学 李明 233300) 1643 设x1, x2, xn0,且x1+ x2+ xn= 1,求证: x21x2+ x22x3+ x2nx1+ x1x2xn 4 27 . ( n 3, nN+) (四川蓬安中学 蒋明斌 637800) 1644 已知kN,且k 2,求证: 21+ 1 2 ( k - 1) k . (安徽师范大学数学系 郭要红 241000) 1645 从数1,2,3,14,15,16中,按由小到大的顺 序取出a1, a2, a3, a4,满足a2- a12, a3- a23, a4-a34.所有符合这些要求的不同取法有多少 种? (上海市高东中学 刘飞才 200137) 来稿须知 本刊衷心欢迎以下投稿: 11 以高观点、 新方法、 新角度讲解数学知识的 文章;介绍适合于教师及学生的有关数学新知识的 内容; 21 有关新课标、 新课程讲解、 争鸣、 反思、 调研 及解读的文章; 31 有关数学教育理论、 数学研究、 教法研究、 教 材研究、 优秀课例、 解题教学方在的文章; 41 高考研究总结与复习方面的文章,内容切实 有助于学生提高数学能力,掌握数学知识,理解数 学思想及方法; 51 初等数学研究、 数学竞赛方面的文章,应以 有助于学生提高数学能力,掌握数学知识,理解数 学思想及方法; 61 有关国外数学、 数学家、 数学史、 数学与文化 等方面的文章,注重趣味性与背景说明; 71 有关数学应用、 研究性学习等方面的文章; 81 青年教师新作,教育技术,读刊随笔,各种教 科研成果、 会议等的报道与综述,读者建议与意见 等; 91 来稿请附作者简介,可通过邮局或电子邮件 (E - mail :shxtb )投送,并注意以下事 项: (1)用E - mail投稿者,请在主题拦写明文章名 及作者姓名.正文请用5号字,并请写明作者姓名、 详细通讯地址、 单位、 邮编、e -