高中数学备课参考数学通报问题解答0605pdf

数学问题解答 2006年4月号问题解答 (解答由问题提供人给出) 1606 已 知 凸 六 边 形 ABCDEF中, AB=AF, BC = CD , DE = EF,过B作BG AC,过D作DGCE,设 BG与DG交点G在 ACE 内.求证: FGAE. (安徽省五河县第三中学 李明 233300) 证明 连结AG、CG、EG,设BG与AC、DG与 CE、FG与AE分别交于P、Q、R.令 ARF =,在 RtABP和RtAGP中,由勾股定理得: AB2= BP2+ AP2, AP2+ PG2= AG2 所以AB2= BP2+ AG2-PG2 在 AFR和 AGR中,由余弦定理得: AF2= FR2+ AR2-2ARFRcos AG2= AR2+ RG2-2ARRGcos(180-) = AR2+ RG2+2ARRGcos 所以AF2= FR2+ AG2-RG2-2ARFGcos 同理可得:BC2= BP2+ CG2-PG2 CD2= DQ2+ CG2-QG2 DE2= DQ2+ EG2-QG2 EF2= FR2+ EG2-RG2+2REFGcos 又AB = AF, BC = CD , DE = EF,所以 由 、 得: BP2+ RG2-PG2-FR2+2ARFGcos=0 由 、 得: BP2-PG2-DQ2+ QG2=0 由 、 得: DQ2+ RG2-QG2-FR2-2REFGcos=0 由 、 、 得: 2AEFGcos=0. 所以cos=0,因此=90,即FGAE. 1607 设a , b, c , d , x , yR,试计算 min a, d max x 2+y2 =1 ( ax + by) 2 + ( cx + dy) 2 1 2 (山东省烟台市东海里东33-5 曹向东 264001) 解 设x =cos, y =sin,是实数,则 ( ax + by) 2 + ( cx + dy) 2 = ( acos+ bsin) 2 + ( ccos+ dsin) 2 = ( a2+ c2)cos2+2( ab + cd)cossin+ ( b2+ d2)sin2 = ( a2+ c2) 1+cos2 2 + ( ab + cd)sin2+ ( b2+ d2) 1-cos2 2 = 1 2 ( a 2 + b2+ c2+ d2 ) + a2+ c2-b2-d2 2 cos2+ ( ab + cd)sin2 = 1 2 ( a 2 + b2+ c2+ d2 ) + 1 4 ( a 2 + c2- b2-d2) 2 + ( ab + cd) 2sin(2+ ) 其中 =arctan 1 2 a2+ c2-b2-d2 ab + cd ,若ab + cd0;若ab + cd =0,则取= 2 . 于是 max( ax + by) 2 + ( cx + dy) 2 = 1 2 ( a 2 + b2+ c2+ d2) + 1 4 ( a 2 + c2-b2-d2) + ( ab + cd) 2 注意到 ( a 2 + c2-b2-d2) 2 +4( ab + cd) 2 = ( a2+ c2- b2- d2+2( ab + cd)i ) ( a 2 + c2- b2- d2-2( ab + cd)i) = ( ( a + bi) 2 + ( c + di) 2) ( ( a - bi) 2 + ( c -di) 2) = ( a + bi+ ( c + di)i) ( a + bi- ( c + di)i) ( a - bi + ( c -di)i) ( a -bi- ( c -di)i) = ( a -d + ( b + c)i) ( a + d + ( b - c)i) ( a + d - ( b - c)i) ( a -d - ( b + c)i) = ( ( a - d) 2 + ( b + c) 2) ( ( a + d)2 + ( b - c) 2) 以及 1 2 ( a 2 + b2+ c2+ d2 ) = 1 4 ( ( a + d) 2 + ( b - c) 2 362006年 第45卷 第5期数学通报 + ( a - d) 2 + ( b + c) 2) 故有 max x 2+ y2 =1( ( ax + by) 2 + ( cx + dy) 2) 1 2 = 1 2 ( a + d) 2 + ( b - c) 2 + ( a - d) 2 + ( b + c) 2) 1 2 (| b - c | +| b + c | ) =max| b | , | c | 且 “=” 在a = d =0时取得,故 min a, d max x 2+ y2 =1 ( ax + by) 2 + ( cx + dy) 2 1 2 =max| b | , | c | . 1608 已知: x , y , zR+,且xyz( x + y + z) =1,求 ( x + y) ( y + z) ( z + x)的最小值. (山东省单县第二中学数学组 李峦方 274300) 解 由xyz( x + y + z) = x2yz + xyz( y + z) = 1得: x2+ x( y + z) = 1 yz 所以( x + y) ( y + z) ( z + x) = ( x2+ xz + yz + xy) ( y + z) = x2+ x( y + z) + yz( y + z) = ( 1 yz + yz) ( y + z) = 1 z + 1 y + y2z + yz2 = 1 3y + 1 3y + 1 3y + 1 3z + 1 3z + 1 3z + y2z + yz2 8 8 ( 1 3y) 3(1 3z) 3 ( y 2z) ( yz2) =8 8 ( 1 3 ) 6 = 8 3 4 3 当且仅当y2z = z2y = 1 3y = 1 3z 时 “=” 成立. 所以y = z = 4 1 3 ,由已知可得: x = y = z = 4 1 3 . 1609 求内切圆半径等于1 的三角形面积的最小值. (安徽安庆一中 罗志 强 246000) 解 如图,设 ABC的 内切圆半径为1, O是三角形 的内心,连结OA、OB、OC,则OA、OB、OC分别是 ABC三个内角的角平分线.于是有: c = AB =cot A 2 +cot B 2 , b = AC =cot A 2 +cot C 2 , 所以SABC= 1 2 (cot A 2 +cot B 2 ) (cot A 2 +cot C 2 ) sinA = cos A 2 cos B 2 cos C 2 sin A 2 sin B 2 sin C 2 = 1 tan A 2 tan B 2 tan C 2 . 又由于A + B + C = A + B 2 = 2 - C 2 tan( A 2 + B 2 ) = tan( 2 - C 2 ) = 1 tan C 2 tan A 2 +tan B 2 1-tan A 2 tan B 2 = 1 tan C 2 tan A 2 tan B 2 +tan B 2 tan C 2 +tan C 2 tan A 2 =1. 又tan A 2 、tan B 2 、tan C 2 均为正数,由平均值不等 式可得: 1 3 = tan A 2 tan B 2 +tan B 2 tan C 2 +tan C 2 tan A 2 3 3 (tan A 2 tan B 2 tan C 2 ) 2 tan A 2 tan B 2 tan C 2 3 9 1 tan A 2 tan B 2 tan C 2 3 3. 上式当且仅当 tan A 2 tan B 2 =tan B 2 tan C 2 =tan C 2 tan A 2 tan A 2 =tan B 2 =tan C 2 A = B = C = 3 时, SABC取最小值3 3. 故当三角形为正三角形时面积最小,最小值为 3 3. 1610 有n枚同形同样的壹元硬币,其中有一部分 假币,另一部分为真币,且真币比假币重,证明使用 天平不超过 n +1 2 +1次可确定出其中所有假币 的数量(此处 n +1 2 表示最大整数不超过 n +1 2 ) . (湖北省洪湖市第三中学 廖明村 433218) 46数学通报 2006年 第45卷 第5期 证明 i)当n为偶数等于2m( mN ) , 先在 2m枚硬币中随意取出两枚放在天平的两边,则可 能出现以下两种情况: 不等.在称第一次时,发现有一枚比另一枚 重,显然,一枚轻的为假币.然后,我们把这两枚硬 币放在天平的一边,作为 “基码对”,而将其余的 2 ( m - 1)枚分为 ( m - 1)对,并分别放在天平的另一 边与 “基码对”比较.如果后者中某对比 “基码对” 重,则说明这一对皆为真币;如果某对比 “基码对” 轻,则说明这一对中皆为假币,如果某对同 “基码 对” 一样重,则说明这一对中有一枚为真币,有一枚 为假币.这样我们经过使用1+ ( m -1)= m = n +1 2 次天平,就能确定出其中所有假币的数量. 相等.在称第一次时发现两枚的重量相等, 则这一对硬币可能是真币,也可能是假币.然后将 这一对硬币作为 “基码对” 放在天平的一边,而将其 余的2( m -1)枚分为 ( m - 1)对,并分别放在天平 的另一边与 “基码对”比较.假设前k对硬币均与 “基码对” 的重量相等,当第k +1对比 “基码对” 重 (用同样的方法我们也可以证明当第k +1对比 “基 码对” 轻的情况 ) , 则第一对 “基码对” 和后来与 “基 码对” 重量相同的k对,一定都是假币,也就是说在 我们1+ ( k +1) = k +2次使用天平时会发现有k +1对假币.现在我们把天平上的 “基码对” 拿下放 在一旁不混,然后将最后称的那一对,即第k +2次 称的那一对分别放在天平的两边(即为称第k +3 次 ) . 如果此二枚相等,则均为真币(第一对 “基码 对” 就为假币 ) , 如果此二枚不等,则有一枚为真币, 有一枚为假币,那么经过这次检验后,我们可以找 出一枚真币和一枚假币作为新的 “基码对”,然后用 的检验方法将剩下的2m -2( k +2 ) = 2 ( m - k -2)枚分为( m - k -2)对称( m - k -2)次确定其 中假币的数量,这样我们在 中使用天平的总数为 ( k + 3) + ( m - k -2) = m +1= n +1 2 +1次. ii)当n为奇数等于2m -1 ( m N ) , 我们用i) 的检验方法将2m -1枚中的2m -2枚硬币使用天 平不超过 2m -2+1 2 +1= m次得出假币的数 量.然后在上法中可找到一枚真币(或假币)与2m -1枚中所余下的一枚硬币在天平上称量得其结 果,就是说在ii)中所使用天平总数为m +1= 2m 2 +1= 2m -1+1 2 +1= n +1 2 +1次. 由 i) 、 ii) 命题得证. 2006年5月号问题 (来稿请注明出处 编者) 1611 已知:O1,O2相交于A , B两点,且 O2 过 O1的圆心O1,由B引 O2的弦BC,连结AC 交 O1于点F,求证:BC = CF. (安徽省肥西中学 刘运宜 231200) 1612 用 g( x) 表示log2x( xN+)的整数部分,记 h( n) = g(1) + g(2 ) + + g(2 n ) , 对一切y , z N,非负整数函数f ( y , z)满足 :( 1) f (0, z) = z +1; (2) f ( y +1,0) = f ( y ,1) ; (3) f ( y +1, z +1) = f y , f ( y +1, z) .求证:当n 10时, h( n) - f (3 , n) n -10 1+2 n. (重庆第八中学 曾昌涛 400030) 1613 设a , b, cR+, 0,求证: a2+b2 a + b2+c2 b + c2+a2 c 31+ (陕西武功县绿野高中 贺中杰 712203) 1614 设正数a, b,c