高中数学备课参考数学通报问题解答0607pdf

数学问题解答 2006年6月号问题解答 (解答由问题提供人给出) 1616 如 图,O半 径 为 10cm, P是直径AB上一点, 弦CD过P点, CD =16cm, 过点A和B向CD引垂线AE 和BF,垂足分别为E, F,求 | AE - BF |的值. (安徽省肥西中学 刘运宜 231200) 解 过O点作OMCD于M ,再连OD. 在RtDOM中,由勾股定理,得, OM =OD2-DM2=102-82=6 设OP = xcm,则PA = (10 + x) cm BP = (10- x) cm 因为AECD , OMCD 所以OMAE 所以 AE OM = PA OP 即AE 6 = 10+ x x 所以AE = 6(10 + x) x 同理:BF = 6(10- x) x 4 利用正方体的棱与棱的位置关系 4:存在几条两两异面的直线,使得没有任何直 线能与之同时相交? 对于三条两两异面的 直线存在无数条直线与之 相 交.如 图 在 正 方 体 ABCDA1B1C1D1中, AA1、 BC、C1D1两 两 异 面.在 C1D1上 取 一 点F,连 结 A1F,过A点作A1F的平行线交BC于E,连结EF.直 线EF与AA1所在直线必相交.由F的任意性可知, 和AA1、BC、C1D1都相交的直线有无数条,且无数条 直线也异面. 对于4条两两异面的直线则不存在直线与之都 相交.取正方体ABCDA1B1C1D1,则直线AB、 A1C、D1D、B1C1两 两 成 异 面直线,假设存在一条直线 l与直线AB交于E,与直线 A1C交于F,与直线D1D交 于G,与直线B1C1交于H. 现将整个图形绕A1C 旋转120(如图 ) , 由于A1C 面AB1D1且通过正AB1D1的中心,故点A变为 点B1,点B1变为点D1,点D1变为点A;同样点B变 为点C1,点C1变为点D ,点D变为点B ,即直线AB 变为直线B1C1,直线B1C1变为直线D1D ,直线D1D 变为直线AB ,在空间中四条直线所占的位置没有 任何变化,只是字母循环了一圈记号.这时,空间过 F的直线l绕A1C旋转120 不能与自身l重合,记为 l1;进而点G在AB上的新位置G1不能与E重合,否 则由两点确定一条直线知 , l( 就是 EF) 与l1(就是 FG1)重合,矛盾.同样,点H在D1D上的新位置H1 与G不重合,于是相交于F的共面直线l , l1与AB交 于E, G1,与D1D交于G, H1得E, G1, G, H1四点共 面,亦即直线AB与D1D为共面直线,这与AB、D1D 成异面直线矛盾. 所以与AB、A1C、D1D、B1C1均相交的直线l不 存在. 这种通过构造正方体解决数学问题的方法,不 仅为学生提供了一种解数学题的新思路,而且也进 一步完善了学生的数学认知结构,培养了学生的创 造性思维能力. 参考文献 1 王国平.例说构造辅助正方形的思维策略.中学数学教学参 考,2000,8 362006年 第45卷 第7期数学通报 所以AE - BF = 6(10 + x) x - 6(10- x) x = 6(10+ x) -6(10- x) x = 6 ( 10+ x) - (10-x) x = 62x x =12(cm) 1617 已知x , y都在区间 ( - m , m)内,且mn , xy = -1,求函数 u = m2 m2-x2 + n2 n2-y2 的最小值. (山东省惠民师范学校 胡斌 251700) 解 设a = x m , b = - y n ,则由条件知, a , b ( - 1, 1) , ab = 1 mn , u = 1 1-a2 + 1 1-b2 .所以 ( 1- a2 ) + (1-b2 ) u 2(1-a2) (1-b2)2 1 (1-a2) (1-b2) =4. 所以u 4 2- ( a2+ b2) 4 2-2ab = 2mn mn -1. 所以u 2mn mn -1. 当且仅当a = b,即 x m = - y n ,亦即x = m n , y = - n m 或x = - m n , y = n m 时取等号,故 umin= 2mn mn -1 1618 设 ABC的三边长分别为a , b, c ,求证: 20,因为(1+ 1 2 x) 2 1+ x ,所以 1+ x 0, x , y , z的几何意义是 ABC的内切圆切 ABC 的三边所得到的三切点分别到三顶点A , B , C的距 离 ) , 于是 a +b +c a + b + c = y + z +z + x +x + y 2( x + y + z) = 1 2 ( y + z x + y + z + z + x x + y + z + x + y x + y + z) = 1 2 ( 1 1+ x y + z + 1 1+ y z + x + 1 1+ z x + y ) 1 2 ( 1 1+ 1 2 x y + z + 1 1+ 1 2 y z + x + 1 1+ 1 2 z x + y ) (应用(3)式) = 1 2 ( y + z y + z + 1 2 x + z + x z + x + 1 2 y + x + y x + y + 1 2 z ) 1 2 ( y + z x + y + z + z + x x + y + z + x + y x + y + z) =2. 1619 设 f ( x) 、 g( x) 都是定义在自然数集上的增 函数,且对任意的kN3,都有 f ( k +1) + g(0) f ( k) + g( k -1 ) , 数列 an 是集合M = f ( t) + g( s) |0s f ( k) + g( k -1 ) , 所以,在上述数表中,第k行共有k个数自左到右依 次为 ak( k-1) 2 +1 = f ( k) + g(0 ) , a k( k-1) 2 +2= f ( k) + g(1 ) , , ak( k-1) 2 +i= f ( k) + g( i -1 ) , , ak( k-1) 2 + k= f ( k) + g( k -1) 46数学通报 2006年 第45卷 第7期 设an在数表的第k行,因为ak( k-1) 2 +i= f ( k) + g( i -1 ) , 所以当 k( k -1) 2 +1n k( k +1) 2 +1 ( k N)时 an= f ( k) + g( n -1- k( k -1) 2 ) . 由 k( k -1) 2 +1n 0 , 解得: -1+8n -7 2 k 1+8n -7 2 且1 +8n -7 2 - -1+8n -7 2 =1,所以 k = 1 +8n -7 2 . 故an= f ( k) + g( n -1- k( k -1) 2 ) , 其中 k = 1 +8n -7 2 . 1620 设点A1, A2, A3, A20分别是正方体的 顶点或棱的中点,试问: )上述20个点可以确定几个平面? )在同一平面上的四点组 ( A i,Aj, Ak, Al) (1 i j c ,求证: ( b - c)tan2 A 2 + ( c - a) tan2 B 2 + ( a - b)tan2 C 2 3 ( b - c)tan A 2 + ( c - a) tan B 2 + ( a - b) tan C 2 (安徽省五河县第三中学 李明 233300) 1624 若a1, a2, anR+,且a1+ a2+ an= S ,求证: 1 a31 ( a 2+ a3+ an) + 1 a32 ( a 1+ a3+ an) + 1 a3