新新学案系列高中数学3.2直线的方程学案pdf新人教A必修2

新新学案高中数学必修（ 人教实验版） 学 习 札记 跟踪练习 已知直线的倾斜角为 ， 直线， 则直线 的斜率为 探究三 两直线平行与垂直的应用 想一想： 如何判定两直线的平行与垂直？ 议一议： 在判定两直线平行与垂直时， 应注意什么问题？ 提升总结： 若两直线的斜率都存在且不重合， （） ； （） 否则， 要考虑斜率不存在的情形， 可通过图形来进行验证 例 已知（，） ，（，） ，（，） ， 求点的坐标， 使 四边形 为直角梯形（ 、按逆时针方向排列） 分 析 根据直角梯形的定义求解 跟踪练习 下列说法正确的是（ ） 若直线， 则与斜率相等 若直线， 则 若直线、的斜率不存在， 则 若两条直线的斜率不相等， 则两直线不平行 已知 的三个顶点坐标为（ ，） ，（，） ， （，） ， 设 边上的高为， 求点坐标 反思感悟 两条直线平行的条件是什么？使用时应注意哪些问题？ （ ） 设和是两条不重合的直线， 则 （） 注意 的前提是： 和是两条不重合的直线； 和的斜率都存在 两个前提条件少了任何一个都会导致结论有误 两条直线垂直的条件是什么？使用时应注意哪些问题？ （） 或一条直线的斜率为， 另一条直 线的斜率不存在； （） 注意 的前提是：与都有斜 率， 若忽略此前提条件， 容易导致错误结论 在证明两直线平行时， 要区分平行与重合， 必须强调 不共线才能确定平行， 因为斜 率 相 等 也 可 能 推 出 两 直 线 重合 在判断或证明两直线的位置关系时， 若点的坐标中含 有字母参数， 要注意对字母参数分类讨论 直 直线线的的方方程程 直线的点斜式方程 学习目标 能够根据确定直线的几何元素， 推导出直线的点斜式 方程 要注意点斜式方程适用的范围 掌握点斜式方程的特例 斜截式方程 能够熟练地运用两种方程和待定系数法求直线的 方程 情境创设 在直角坐标系 中， 直 线 上 的 一 个 点 和 倾 斜 角 只 要 确 定， 直线便被确定了， 同样直线上的一个点和斜率只要确 定， 直线便被确定了， 那么直线上的任意点的坐标（， ） 和斜率之间有何关系呢？它们之间能否用一个式子联系 起来呢？ 合作探究 探究一 直线的点斜式方程 想一想： 在 平 面 直 角 坐 标 系 中， 如 何 才 能 确 定 一 条 直线？ 在上两节 课 中， 学 习 了 直 线 的 几 何 要 素 倾 斜 角 和斜率， 已知直线上的一点和直线的倾斜角（ 斜率） 可 以 确定一条直线 议一议： 已知一条直线过定点且其斜率存在， 能否获取 该直线的方程？ 图 探究： 如图所示， 直线 经过点（， ） ， 且斜率为， 设 点（， ） 是直线上不同于点 的任意一点， 因为直线的斜率为 ， 由斜率公式得 ， 即 （） 由以上的推导过程 可 知， 过 点 ， 斜率为的直线上的点的坐标都满足方程（ ） ； 反过来， 坐标满足方程（） 的点都在过点、 斜率为的直线上 提升总结： 方程（） 由直线上一定点及其 斜率确定， 把这个方程叫做直线的点斜式方程， 简称点斜式 温馨提示： （） 要注意到 与（） 是不同的， 前者表示的直线上缺少一个点（， ） ， 后者 才是整条直线 （） 只有斜率存在的直线才有点斜式方程， 过点（ ，） ， 直线与方程第三章 学 习 札记 斜率不存在的直线方程可表示为 例 写出下列直线的点斜式方程： （） 经过点（， ） ， 斜率是； （） 经过点（， ） ， 倾斜角是 ； （） 经过点（，） ， 与轴平行； （） 经过点（， ） ， 与轴垂直 分 析 找到点斜式的两个要素： 定点与斜率 跟踪练习 经过 点 （，） 且 倾 斜 角 为 的 点 斜 式 直 线 方 程是（ ） 槡 （） 槡 （ ） 槡 （）槡 （ ） 探究二 直线的斜截式方程 议一议： 已知直线的斜率为， 且与轴的交点为（ ，） ， 试求直线的方程 探究： 直线与轴的交点为（， ） ， 即过定点（，） ， 且 的斜率为， 代入直线的点斜式方程， 得（） ， 即 提升总结： 斜率是， 与轴的交点为（， ） 的直线 的方程为 我们称为直线在轴上的截距这 个方程是由直线的斜率和它在轴上的截距所确定的， 所 以叫做直线的斜截式方程， 简称斜截式 温馨提示： （） 直线方程的斜截式是点斜式的特殊情况， 此时的点为直线与轴的交点 （） 直线的斜截式方程不包括倾斜角为 的直线 （） 一次函数 （ ） 中，表示直线的斜率， 是直线在轴上的截距 （） 截距与距离是两个不同的概念， 距离必须大于或等 于， 截距可取一切实数， 即可为正数、 零、 负数 例 写出下列直线的斜截式方程： （） 斜率是， 在轴上的截距是； （） 倾斜角是 ， 在轴上的截距是； （） 倾斜角是 ， 在轴上的截距是 分 析 根据题意， 明确斜率与在轴上的截距两个基本量 跟踪练习 直线的斜率以及在轴上的截距分 别是（ ） ， ， ， ， 直线绕着它与轴的交点逆时针旋转 后， 所得的直线方程为 探究三 两条直线的位置关系的判定 想一想： 如何判定两条直线平行与垂直？ 通过前面的学习， 大家知道， 对于两条不重合的直线 、 ， 其斜率分别为、，； 如果两条直线都有 斜率， 则 议一议： 已知直线的斜截式方程， 如何判定两条直线的 位置关系呢？ 探究： （） 已知直线 ：，： （） 若 ， 则， 此时、与轴的交点不同， 即； 反之， ， 且时， （） 若 ， 则 ； 反 之， 时， 提升总结： 对于直线 ：，：， ， 且； 例 已知直线 ：与点（，） ， 直线 过点 （） 若 ， 求直线的斜截式方程； （） 若 ， 求直线的截距式方程 分 析 （） 由题目可获取以下主要信息： 直线 过 点 （，） ； 直线解答本题可先求出直线的斜率， 然后由点斜式写出 的方程， 也可直接设直线的方程为 ， 然后把点坐标代入， 求出 （ ） 由题目可获取以下主要信息： 直线过点（ ，） ； 直 线 与直线垂直解答本题可先由垂直关系 求出 的斜率， 然后由点斜式写出方程， 也可直接设直线 的方程为 ， 由过点（，） ， 求出 跟踪练习 直线的方程为（） （） ， 若在轴 上的截距为， 则 （） 当为何值时， 直线：与直线： （ ） 平行？ （） 当为何值时， 直线 ：（）与直线： 垂直？ 反思感悟 如果直线过点（，） ， 且与轴垂直， 此时它的倾斜 角 ， 斜率 ， 它的方程不能用点斜式进 行表示， 这时直线方程为 如果直线过点（，） ， 且与轴垂直， 这时倾斜角 ， 即 ， 由点斜式方程得 如果直线过点（，） ， 且斜率为， 则该直线的点斜 式方程为 直线的斜截式为点斜式的特例， 即将任意的点（，） 特殊化为（， ） 而得到 新新学案高中数学必修（ 人教实验版） 学 习 札记 直线的两点式方程 学习目标 能够根据直线上的两点， 推导出直线的两点式方程 注意两点式方程所适用的范围 掌握两点式方程的特例 截距式 情境创设 “ 两个黄鹂鸣翠柳， 一行白鹭上青天” ， 这样的意境太优 美了， 以至流传千年白鹭细细的长颈、 洁白的羽毛， 楚楚动 人， 这小精灵的翅膀竟有二尺多长， 远远望去一行白鹭展翅起 飞， 它们雪白的身影映着晴空， 画出一条美丽的直线 我们知道， 两点确定一条直线， 当已知直线上的两点 的坐标时， 怎样求该直线的方程呢？ 合作探究 探究一 直线的两点式方程的推导 想一想： 我们是怎样推导直线的点斜式方程的？ 点斜式方程是（ ） ， （，） 是直线上的 某一定点的坐标， 是这条直线的斜率， 点斜式的推导过 程主要依据直线上一个定点（， ） 与直线上除（， ） 外任意一点（，） 所确定的斜率相等， 并且就是此直线 的斜率， 所以有 ， 整理可得 （） 议一议： 已知直线上的两点（， ） ，（，） （ 其中， ） ， 你能求出直线的方程吗？ 探究： 经过一定点， 且已知直线的斜率， 可以求出直线的 点斜式方程由于（， ） ，（，） 是直线上的两点， 且， 则直线的斜率 又因为直线过点 （，） ， 所以代入点斜式方程得 （ ） 因为， 则上式可变形为 提升总结： 经过两点（ ，） ，（，） （ 其中， ） 的直线方程为 ， 我们把它叫做直线 的两点式方程， 简称两点式 温馨提示： （） 方程 （ ） （） 与 （ ，） 相比， 显然后者比前者表示的 直线的范围小， 但后者便于记忆和应用， 所以采用后者作为公式 （） 当直线没有斜率（） 或斜率为（ ） 时， 不能用两点式方程若， ， 则直线方程为 ， 若， 则直线方程为 （） 把直线的两点式方程化为（ ） （）（ ） （） ， 则表示过平面的任意已知两点的直线方程 图 例 如图， 三角形的顶点 是（， ） 、（，） 、（，） ， 求这 个 三 角 形 三 边 所 在 直 线 的 方程 分 析 根据两点式方程， 分别 求出 三 角 形 的 三 边 所 在 的 直 线 方程 跟踪练习 已知 的顶点（，） ，（，） ，（，） ， 则 边上的中线所在的直线方程为 探究二 直线的截距式方程的推导 想一想： 直线的两点式方程的形式， 需要几个几何要素？ 直线的两点式方程的形式为 （ ， ） ， 利用两点式求直线的方程， 只需两个不同的点就够 了， 但要注意， 议一议： 已知直线与轴的交点为（ ，） ， 与轴的交 点为（ ，） ， 如图， 其中 ， ， 求直线的方程 （ ， ） （ ， ） 图 探究： 由于（ ，） ，（，） 是 直线上的两点且， ， 则由 两点式方程得： ， 整理 得 提升 总 结： 经 过（，） 和 （，） 两点（，） 的直线 的方程是 温馨提示： （） 截距式是两点式的特殊情形， 此时的两点 为直线与两坐标轴的交点 （） 截距式方程的条件是， ， 即两个截距非零， 这就是说， 截距方程不能表示过原点的直线以及与坐标轴垂 直的直线 （） 用截距式画直线比较方便， 因为由截距式方程比较 容易确定出直线与轴和轴的交点的坐标利用截距式求 直线与两坐标轴围成的三角形的面积或周长也较为方便 例 满足在轴上的截距为， 且与两坐标轴围成 的三角形的面积为的直线的方程为 跟踪练习 下列说法中， 正确的是（ ） 表示过点（， ） 且斜率为的直 线 直线与方程第三章 学 习 札记 方程 过轴 上 一 点 （，）的 直 线 方 程 可 以 表 示 为 若直线在轴、轴上的截距分别为、， 则该直线 的方程为 方程（） （）（） （） 表示过两 点（ ，） 、（，） 的一条直线 过两点（，） 、 （，） 的直线的截距式方程为（ ） 以（，） ，（，） 为端点的线段的垂直平分线的方 程是 反思感悟 （） 当直线没有斜率（） 或斜率为（ ） 时， 不能用两点式求直线方程若， 知与 垂直， 此时的直线方程为； 若， 知与 垂直， 此时直线方程为 （） 直线的截距式为两点式方程的特例， 即将任意的两 点（， ） ，（，） （，） ， 特 殊 化 为 （ ，） ， （，） （，） 而得到 （） 直线方程的四种特殊形式是求直线方程的重要工 具， 应熟练掌握， 弄清各种形式的适用范围， 根据已知条件， 恰当地选择方程的形式 直线的一般式方程 学习目标 理解在平面直角坐标系中， 直线与变量、的二元 一次方程的一一对应关系 掌握直线方程的一般式以及直线方程的“ 特殊式” 与 一般式在一定条件下的同解变形 在一般形式下， 两条直线平行与垂直的判定 情境创设 在前面我们学习了直线方程的四种形式（ 点斜式、 斜截式、 两点式、 截距式） ， 它们都可以化成关于、 的一次方程， 如点斜 式方程 （） 可化为 反过来， 每 一个关于、 的二元一次方程都表示一条直线吗？ 我们知道， 直线的点斜式和斜截式不能表示斜率不存 在的直线， 两点式不能表示与坐标轴垂直的直线， 截距式既 不能表示与坐标轴垂直的直线， 也不能表示过原点的直线， 那么有没有可以表示任意直线的方程呢？本节课我们就来 探讨这个问题 合作探究 探究一 直线的一般式方程 议一议： 平面直角坐标系中的每一条直线都可以用一个 关于、 的二元一次方程表示吗？ 每一个关于、 的二元一次方程都表示一条直线吗？ 探究： （） 任意一条直线， 在其中任取一点（， ） ， 当直线的斜率为时（ 此时直线的倾斜角 ） ， 其方程 为（） ， 这是关于、 的二元一次方程 当直线的斜率不存在（ 即直线的倾斜角 ） 时， 其 方程为， 该方程可认为是关于、 的二元一次方 程， 其中的系数为 因此， 平面直角坐标系中的每一条直线都可以用一个关 于、 的二元一次方程表示 （） 对于任意的一个二元一次方程 ， 当 时， 可变形为 ， 它表示过点， （） ， 斜率为 的直线 当时， 可变形为 ， 它表示 与轴垂直的直线 因此， 每一个关于、 的二元一次方程都表示一条直线 提升总结： 我们把关于、 的二元一次方程 （ 其中、不同时为） ， 叫做直线的一般式方程， 简称一 般式 温馨提示： 一般式方程可以表示坐标平面内的一切直线： （ ） 当 ， ， 时， 方程表示的直线平行于轴； （ ） 当 ， ， 时， 方程表示的直线平行于轴； （ ） 当 ， ， 时， 方程表示的直线与轴重合； （ ） 当 ， ， 时， 方程表示的直线与轴重合 例 求直线： 的斜率以及它在轴、 轴上的截距， 并画图 分 析 在直线的一般式方程下， 斜率为 ； 令可 得在轴上的截距， 令可得在轴上的截距 跟踪练习 若直线的一般式方程为， 则直线不 经过（ ） 第一象限 第二象限 第三象限第四象限 探究二 直线方程各种形式间的互化 想一想： 直线方程的一般式与斜截式各有何优、 缺点？ 直线方程的一般式能够表示平面内任意一条直线的方 程， 但其不能明确直线的斜率与截距； 直线方程的斜截式虽 然不能表示斜率不存在的情形， 但是它能明确告诉大家直线 的斜率与在轴上的截距， 因此， 两者各有优、 缺点， 有时， 需 要对它们进行互化 议一议： 如何将直线方程的一般式与其他四种形式进行 互化？ 探究： 直线方程的其他形式化为一般式如下： 新新学案高中数学必修（ 人教实验版） 学 习 札记 点斜式方程（ ） 斜截式方程 两点式方程 （ ）（） （）（） 截距式方程 解题时， 如果没有特殊说明应把最后结果化为一般式； 化为一般式方程时， 通常要把的系数化为正数 温馨提示： 直线方程的点斜式、 斜截式、 两点式和截距式 四种形式之间的互化， 一般要利用一般式方程作为桥梁， 先 将一种形式的方程化为一般式方程， 然后再由一般式方程转 化为另一种形式 例 根 据 下 列 条 件 写 出 直 线 方 程， 并 化 为 一 般 式 方程： （） 经过点（， ） ， 斜率是； （） 经过两点（，） 和（， ） 分 析 根据题目所给条件， 恰当地选择形式 跟踪练习 若直线（）不经过第一象限， 则的 取值范围为 探究三 在直线的一般式方程下研究平行与垂直问题 想一想： 在斜截式形式下， 如何判定两条直线平行与 垂直？ 前面学过， 对于直线 ：，： ， 且； 议一议： 在直线的一般式方程下， 如何判定两条直线平 行与垂直？ （） 根据直线的一般式方程判断两直线平行 一般地， 设直线 ：，： 当，时， ， ； ， 因为 ， 所以 ， 且 ， 即， 且 当，时， ， ， 因为 ， 所以 ， 即 （） 根据直线的一般式方程判断两直线垂直 设 ：，： 若 ， 则有反过来也成立， 即 提升总结