河南开封高三数学定位考试理

河南省开封市2019届高三10月定位考试数学（理）试题第卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知集合M0，1，2，Nxx11，则A. MN B. NM C. MNM D. MNM【答案】C【解析】【分析】先化简集合N,再判断每一个选项得解.【详解】由题得Nxx11=x|0x2，所以MNM.故答案为：C【点睛】本题主要考查集合的化简和运算，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.2.若z，则zA. B. 1 C. D. 5【答案】B【解析】【分析】先化简复数z,再求|z|.【详解】由题得z=.故答案为：B【点睛】(1)本题主要考查复数的除法运算和复数的模的计算，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2) 复数的模.3.若命题p：R，xlnx0，则为A. R，x0lnx00 B. R，x0lnx00C. R，xlnx0 D. R，xlnx0【答案】A【解析】【分析】直接利用全称命题的否定解答.【详解】根据全称命题的否定得为：R，x0lnx00 .故答案为：A【点睛】(1)本题主要考查全称命题的否定，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2) 全称命题：，全称命题的否定（）：.特称命题 ,特称命题的否定 ,所以全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题.4.等比数列的前项和为，若，则公比（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】将转化为关于的方程，解方程可得的值【详解】，又，故选A【点睛】本题考查等比数列的基本运算，等比数列中共有五个量，其中是基本量，这五个量可“知三求二”，求解的实质是解方程或解方程组5.某商场经营的某种包装的大米质量（单位：kg）服从正态分布N（10，2），根据检测结果可知P（99101）096，某公司为每位职工购买一袋这种包装的大米作为福利，若该公司有1000名职工，则分发到的大米质量在99kg以下的职工数大约为A. 10 B. 20 C. 30 D. 40【答案】B【解析】【分析】根据考试的成绩服从正态分布N（10，2）得到考试的成绩关于=10对称，根据P（9.910.1）=0.96，得到P（9.9）=0.023，根据频率乘以样本容量得到分发到的大米质量在9.9kg以下的职工数【详解】考试的成绩服从正态分布N（10，2）考试的成绩关于=10对称，P（9.910.1）=0.96，P（9.9）=0.02，公司有1000名职工，则分发到的大米质量在9.9kg以下的职工数大约为0.021000=20故答案为：B【点睛】本题考查正态曲线的特点及曲线所表示的意义，是一个基础题，解题的关键是考试的成绩关于=10对称，利用对称写出要用的一段分数的频数，题目得解6.执行如图所示的程序框图，若输出的结果为3，则输入的x为A. 1 B. 0C. 1或1 D. 1或0【答案】D【解析】【分析】先写出分段函数的表达式，再求x的值.【详解】由题得，当x0时，当x0时，综合得x=-1或0.故答案为：D【点睛】本题主要考查程序框图和分段函数求值，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.7.已知x，y满足约束条件，则zx3y的最小值为A. 0 B. 2C. 6 D. 8【答案】B【解析】【分析】作出平面区域，平移直线x+3y=0确定最优解，再求解最小值即可【详解】作出x，y满足约束条件所表示的平面区域如图，作出直线x+3y=0，对该直线进行平移，可以发现经过点A（2，0）时Z取得最小值：2；故答案为：B【点睛】(1)本题主要考查线性规划问题，意在考查学生对这些知识的掌握水平和数形结合分析推理能力.(2) 解答线性规划时，要加强理解，不是纵截距最小，就最小，要看函数的解析式，如：,直线的纵截距为,所以纵截距最小时，最大.8.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为A. B. C. D. 1【答案】C【解析】【分析】先根据三视图得到几何体原图，再求几何体的体积.【详解】由三视图得知几何体原图为下图所示的三棱锥A-BCD,所以几何体的体积为.故答案为：C【点睛】(1)本题主要考查三视图找原图，考查几何体的体积的计算，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2)通过三视图找几何体原图常用的方法有直接法、模型法.9.已知为圆周率，e为自然对数的底数，则A. B. 3 C. D. 3【答案】D【解析】【分析】利用指数函数与对数函数的单调性、不等式的性质即可得出【详解】对于A：函数y=xe是（0，+）上的增函数，A错；对于B：3e23e23e3e3，而函数y=xe3是（0，+）上的减函数，B错；对于C：，而函数y=logex是（0，+）上的增函数，C错，对于D：，D正确；故答案为：D【点睛】本题考查了指数函数与对数函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于基础题10.已知空间四边形ABCD，BAC，ABAC2，BDCD6，且平面ABC平面BCD，则空间四边形ABCD的外接球的表面积为A. 60 B. 36 C. 24 D. 12【答案】A【解析】【分析】先利用正弦定理求出底面三角形ABC外接圆的半径r，设外接球的半径为R,球心到底面的距离为h,得到关于R和h的方程组，解方程组即得R和外接球的表面积.【详解】由余弦定理得由正弦定理得，所以三角形ABC的外接圆半径为.设外接球的球心为O,半径为R,球心到底面的距离为h,设三角形ABC的外接圆圆心为E,BC的中点为F,过点O作OGDF,连接DO,BE,OE.在直角OBE中， （1）,在直角DOG中， （2）,.所以外接球的表面积为故答案为：A【点睛】(1)本题主要考查几何体的外接球的表面积的计算，考查空间位置关系，考查正弦定理和余弦定理，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2)求几何体外接球的半径常用模型法、方程法.11.将函数ysin2xcos2x的图象向左平移m（m0）个单位以后得到的图象与函数yksinxcosx（k0）的图象关于（，0）对称，则km的最小正值是A. 2 B. 2 C. 2 D. 2【答案】C【解析】【分析】由题意可得y=cos（2x2m）的图象和y=sin2x（k0）的图象关于点对称，设点P（x0，y0）为y=cos（2x2m）上任意一点，则该点关于对称点为在y=sin2x（k0）的图象上，故有，求得k=2，且cos（2x0）=cos（2x02m），由此求得k+m的最小正值【详解】将函数y=sin2xcos2x=cos2x的函数图象向右平移m个单位以后得到y=cos2（xm）=cos（2x2m）的图象，根据所得图象与y=ksinxcosx=sin2x（k0）的图象关于对称，设点P（x0，y0）为y=cos（2x2m）上任意一点，则该点关于对称点为在y=sin2x（k0）的图象上，故有，所以k=2，sin（2x0）=cos（2x02m），即cos（2x0）=cos（2x02m），2m=+2k，kZ，即 2m=2k，kZ，故m的最小正值为，则k+m的最小正值为2+故答案为：C【点睛】本题主要考查三角恒等变换，正弦函数的图象，两个函数的图象关于某个点对称的性质，属于中档题12.已知函数f（x）（k）lnx，k4，），曲线yf（x）上总存在两点M（x1，y1），N（x2，y2），使曲线yf（x）在M，N两点处的切线互相平行，则x1x2的取值范围为A. （，） B. （，） C. ，） D. ，）【答案】B【解析】【分析】利用过M、N点处的切线互相平行，建立方程，结合基本不等式，再求最值，即可求x1+x2的取值范围【详解】由题得f（x）=1=，（x0，k0）由题意，可得f（x1）=f（x2）（x1，x20，且x1x2），即1=1，化简得4（x1+x2）=（k+）x1x2，而x1x2，4（x1+x2）（k+），即x1+x2对k4，+）恒成立，令g（k）=k+，则g（k）=1=0对k4，+）恒成立，g（k）g（4）=5，x1+x2，故x1+x2的取值范围为（，+）.故答案为：B【点睛】本题运用导数可以解决曲线的切线问题，函数的单调性、极值与最值，正确求导是我们解题的关键，属于中档题.第卷 二、填空题：本大题共4小题每小题5分，共20分。13.已知向量a（2，6），b（3，m），且ab，则ab_【答案】【解析】【分析】先根据已知求出m的值，再求.【详解】由题得23-6m=0,所以m=1,所以=（5，-5），所以.故答案为：【点睛】本题主要考查向量的运算和向量的模的计算，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.14.若sincos，则sin2的值为_【答案】【解析】【分析】直接把已知方程两边同时平方即得解.【详解】由题得1+故答案为：【点睛】本题主要考查二倍角的正弦，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.15.从5名学生中选出4名分别参加数学、物理、化学、生物四科竞赛，其中甲不能参加生物竞赛，乙只能参加数学竞赛，则不同的参赛方案种数为_【答案】36【解析】【分析】分三种情况讨论，分别求出每一种情况下的方法数，即得解.【详解】(1)当甲上乙不上时，共有种方法；（2）当甲不上乙上时，共有种方法；（3）当甲乙都上时，共有种方法.综上所述，不同的参赛方案种数为18+6+12=36种.故答案为：36【点睛】（1）本题主要考查计数原理和排列组合的应用，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2) 排列组合一般问题直接法、相邻问题捆绑法、不相邻问题插空法、特殊对象优先法、等概率问题缩倍法、至少问题间接法、复杂问题分类法、小数问题列举法.16.我国南北朝时期的数学家祖暅提出体积的计算原理（祖暅原理）：“幂势既同，则积不容异”，“势”即是高，“幂”是面积意思是：如果两等高的几何体在同高处所截得两几何体的截面积恒等，那么这两个几何体的体积相等已知焦点在x轴上的双曲线C的离心率e，焦点到其渐近线的距离为2直线y0与y2在第一象限内与双曲线C及其渐近线围成如图所示的图形OABN，则它绕y轴旋转一圈所得几何体的体积为_【答案】 【解析】【分析】由题意得双曲线方程为=1，y=2在第一象限内与渐近线的交点N的坐标和与双曲线第一象限交点B的坐标，记y=2与y轴交于点M，由|MB|2|MN|2=，根据祖晅原理，能求出它绕y轴旋转一圈所得几何体的体积【详解】由题得，所以a=1,b=2.双曲线方程为=1，y=2在第一象限内与渐近线y=2x的交点N的坐标为（，2），y=2与双曲线=1在第一象限交点B的坐标为（，2），记y=2与y轴交于点M（0，2），A（1，0），|MB|2|MN|2=，根据祖晅原理，它绕y轴旋转一圈所得几何体的体积为=2故答案为：2【点睛】本题考查几何体的体积的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意祖暅原理的合理运用三、解答题：共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。17.设等差数列的前n项和为，且a4a5S416 （）求数列的通项公式； （）设数列，求的前n项和【答案】（1） ； （2）.【解析】【分析】（）根据已知解方程组得到，即得数列的通项公式.( ）利用裂项相消法求的前n项和【详解】（）为等差数列，解得，.（）. 【点睛】（1）本题主要考查等差数列通项的求法，考查裂项相消法求和，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2) 类似（其中是各项不为零的等差数列，为常数）的数列、部分无理数列等.用裂项相消法求和.18.如图，在四棱锥PABCD中，四边形ABCD为菱形，PAD为正三角形，且E为AD的中点，BE平面PAD （）求证：平面PBC平面PEB； （）求平面PEB与平面PDC所成的锐二面角的余弦值【答案】（1）见解析 ； （2）.【解析】【分析】()先证明BC平面PEB，再证明平面PBC平面PEB. （）建立空间直角坐标系E-xyz，利用向量法求平面PEB与平面PDC所成的锐二面角的余弦值【详解】（）BE平面PAD，又AD平面PAD，ADBE，又PAD为正三角形，E为AD的中点，ADPE，又PEBEE，AD平面PEB，ABCD为菱形，BC平面PEB，又BC平面PBC，平面PBC平面PEB. （）如图所示，建立空间直角坐标系E-xyz，设菱形ABCD的边长为2，则AE=ED=1，PE=EB=，C（2，0），D（1，0，0），P（0，0，），. 设平面PDC的一个法向量为，由，得，取y1，得，又平面PEB的一个法向量为. ，平面PEB与平面PDC所成的锐二面角的余弦值为. 【点睛】本题主要考查空间位置关系的证明，考查空间二面角的计算，意在考查学生对这些知识的掌握水平和空间想象分析转化推理能力.19.甲、乙两家外卖公司，其“骑手”的日工资方案如下：甲公司规定底薪70元，每单抽成1元；乙公司规定底薪100元，每日前45单无抽成，超出45单的部分每单抽成6元假设同一公司的“骑手”一日送餐单数相同，现从两家公司各随机抽取一名“骑手”并记录其100天的送餐单数，得到如下条形图：（）求乙公司的“骑手”一日工资y（单位：元）与送餐单数n（nN）的函数关系；（）若将频率视为概率，回答以下问题：（i）记乙公司的“骑手”日工资为X（单位：元），求X的分布列和数学期望；（）小明拟到这两家公司中的一家应聘“骑手”的工作，如果仅从日工资的角度考虑，请你利用所学的统计学知识为他做出选择，并说明理由【答案】（1） ； （2）（i）112元 （ii）推荐小明去甲公司应聘.【解析】【分析】（）根据题意可知日工资. （）（i）先求出送单数为42,44,46,48,50时的频率，再写出分布列和期望. （ii）先求出甲公司的“骑手”日平均送餐单数和甲公司的“骑手”日平均工资，再计算乙公司的“骑手”日平均工资，即得解.【详解】（）根据题意可知，乙公司每天的底薪100元，前45单无抽成，超出45单部分每单抽成6元，故日工资。（）（i）根据条形图，当送单数为42，44时，X100，频率为.当送单数为46时，X106，频率为.当送单数为48时，X118，频率为.当送单数为50时，X130，频率为.故乙公司的“骑手”一日工资X的分布列如表所示：X100106118130P0.20.30.40.1数学期望E(X)=1000.2+1060.3+1180.4+1300.1=112（元）. （ii）根据条形图，甲公司的“骑手”日平均送餐单数为：420.2+440.4+460.2+480.1+500.1=45（单），所以甲公司的“骑手”日平均工资为：70+451=115（元）由（i）可知，乙公司的“骑手”日平均工资为112元，故推荐小明去甲公司应聘.【点睛】本题主要考查函数解析式的求法，考查随机变量分布列和期望，考查平均数的计算，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.20.已知直线l1：yx，l2：yx，动点P，Q分别在l1，l2上移动，PQ2，N是线段PQ的中点，记点N的轨迹为曲线C（）求曲线C的方程；（）过点M（0，1）分别作直线MA，MB交曲线C于A，B两点，设这两条直线的斜率分别为k1，k2，且k1k22，证明：直线AB过定点【答案】（1） ； （2）（-1，-1）.【解析】【分析】（）根据条件设P，Q，由得，设N（x，y）是线段PQ的中点，所以 消去m，n可得曲线C的方程. （）先求出直线AB的方程，再找到定点.【详解】（）根据条件设P，Q，即，N（x，y）是线段PQ的中点， 消去m，n可得曲线C的方程为. （）由（）知，点M（0，1）为椭圆的上顶点，当直线AB的斜率不存在时，设A，则B，由得，得； 当直线AB的斜率存在时，设AB的方程为、A， B，得， ，即，由m1，即，故直线AB过定点（-1，-1）.经检验，此时直线与椭圆有两个交点，满足题意.综上所述，直线AB过定点（-1，-1）.【点睛】（1）本题主要考查动点的轨迹方程，考查直线与椭圆的位置关系和直线的定点问题，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2)求动点的轨迹方程常用直接法、定义法和代入法.21.已知函数f（x）ln（x1）ax2x（）讨论f（x）在0，）上的单调性；（）若函数g（x）f（x）x有两个极值点x1，x2，且x1x2，求证:g（x2）ln2【答案】（1）当a0时，f（x）在上单调递减；当时，f（x）在上单调递增；当时，f（x）在上单调递减，f（x）在上单调递增； （2）见解析.【解析】【分析】（）先对函数求导得，再对a分类讨论得到f（x）在0，）上的单调性. （）先求导，设，得到g（x）在取得极大值，在取得极小值.求出，设，所以.【详解】（）解：，设，当a0时，h（x）0，f（x）在上单调递减；当2a-10，即时，h（x）0，f（x）在上单调递增；当2a-10，即时，时，h（x）0，f（x）单调递减；时，h（x）0，f（x）单调递增.综上所述，当a0时，f（x）在上单调递减；当时，f（x）在上单调递增；当时，f（x）在上单调递减，f（x）在上单调递增. （）证明：，设，若 a0，g（x）在上单调递增，不合题意； 若a0，在上只有一个根，不合题意； 若a0，使有两不同实根，且，只需，即a2.， g（x）在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，g（x）在取得极大值，在取得极小值.，设，m（t）在上是增函数，.【点睛】（1）本题主要考查利用导数求函数的单调性、极值和最值，考查利用导数证明不等式，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析