高二下学期期中数学

江苏省扬州中学 20182019 年度第二学期期中考试 高二数学（理科） 一、填空题一、填空题（每小题（每小题 5 分，共计分，共计 70 分）分） 。 1. 命题“xR，x2x0”的否定是_ xR，x2x0 2. 若复数 z 满足：z(1i)2，则|z| . 2 3. 若 f (x)x3，其导数满足 f (x0)3，则 x0的值为_1 4. 命题“x2x20”是命题“x1”的 条件必要不充分 5. 投掷两个骰子，向上的点数之和为 12 的概率为_ 1 36 6. 若曲线 f (x)x4x 在点 P 处的切线平行于直线 3xy0，则点 P 的坐标为 _ (1，0) 7. 有 3 名男生 4 名女生排成一排，要求男生排在一起，女生也排在一起，有_种 不同的排列方法 （用数字作答）288 8. 在数学归纳法的递推性证明中，由假设 nk 成立推导 nk1 成立时，f (n)11 2 1 3 1 2n1增加的项的个数是_项 （用 k 表示）2 k 9. 若数列an为等差数列，定义 bna n+1an+2an+3 3 ，则数列bn也为等差数列。类比 上述性质，若数列an为等比数列，定义数列bn：bn_，则数 列bn也为等比数列 3 an+1an+2an+3 10. (1ax)6的展开式中二项式系数的最大值为_ （用数字作答）C3620 11. 若函数 f (x)mx2lnx2x 在定义域内是增函数， 则实数 m 的最小值为_ 1 2 12. 若函数 f (x)x33x 对任意的 m2,2，不等式 f (mx2)f (x)0 恒成立，则实 数 x 的取值范围是_(2,2 3) 13. 已知 f (x)是定义在 R 上的奇函数，f (1)0，且对任意 x0 都有 xf (x)f (x)0 成 立，则不等式 x2f (x)0 的解集是 (1,0)(1,) 14. 设曲线 f (x)(ax1)ex在点 A(x0, y1)处的切线为 l1，g(x)(1x)e x 在点 B(x0, y2)处 的切线为 l2，若存在 x00,3 2，使得 l1l2，则实数 a 的取值范围是_ 解：f (x)(ax1a)ex，g(x)(x11)e x ， 存在 x00,3 2，使得 f (x0)g(x0)1，即(ax01a)(x02)1 a(x01) 1 x021a x03 x02 1 x01，令 tx33, 3 2， y t (t4)(t1) 1 t4 t5 13 3 t4 t4，1y 3 2，答案为 1，3 2 二、解答题二、解答题（共（共 6 大题，共计大题，共计 90 分）分） 。 15. （本题满分 14 分） 命题 p：方程 x2mx10 有实数根； 命题 q：方程 4x24(m2)x10 无实数根 若命题 p、q 中有且仅有一个真命题，求实数 m 的取值范围 解：方程 x2mx10 有实数根，1m240，p：m2 或 m2； 方程 4x24(m2)x10 无实数根，216(m2)2160，q：1m3 p 真 q 假： m2或m2 m3或m1 m3 或 m2 p 假 q 真： 2m2 1m3 1m2 实数 m 的取值范围为 1m2 或 m3 或 m2。 16. （本题满分 14 分） 已知 nCn-3 nA 3 n4C 3 n1（n3，nN） （1）求 n 的值； （2）求 3 x2 x n 展开式中的常数项 解： （1）n4； （2）r1，T28 17. （本题满分 15 分） 已知数列an满足 a12 3，an 1 an12(n2，nN*)， （1）求数列an的前 3 项； （2）猜想数列通项公式 an，并用数学归纳法给出证明 解： （1）a12 3，a2 3 4，a3 4 5， （2）猜想数列通项公式 ann1 n2，证明如下： 当 n1 时，显然成立； 假设 nk 时成立，即：akk1 k2 当 nk1 时，an+1 1 ak2 1 2k1 k2 k2 k3 nk1 时，ann1 n2成立， 综上，由得：ann1 n2(nN*) 18. （本题满分 15 分） 在四棱锥 PABCD 中，PD底面 ABCD，底面 ABCD 是直角梯形，ABCD， ADC90，ABADPD1，CD2设 Q 为侧棱 PC 上一点，PQPC ， （1）试确定 的值，使得 PBDQ； （2）试确定 的值，使得二面角 PBDQ 的大小为 45 解：如图建立直角坐标系 Dxyz， P(0,0,1)，B(1,1,0)，C(0,2,0)， PB (1,1,1)，PC(0,2,1)，DB(1,1,0) PQPC(0,2,)， DQDPPQ(0,2,1)， （1）PBDQ，PB DQ0 210，1 3； （2）设平面 BDQ 的法向量 m(x,y,z) m DB0 mDQ0 xy0 2y(1)z0 令 x1，则 y1，z 2 1 m(1,1, 2 1) 同理可得：平面 PBD 的法向量 n(1,1,0) | |cosm,n| | mn | |m| | |n| | 2 2 ， 2 22 2 1 2 2 2 ， 2 1 22 21（舍负） 19. （本题满分 16 分） 在盒子里有大小相同，仅颜色不同的乒乓球共 10 个，其中红球 5 个，白球 3 个，蓝 球 2 个。现从中任取出一球确定颜色后放回盒子里，再取下一个球.重复以上操作， 最多取 3 次，过程中如果取出蓝色球则不再取球。 （1）求最多取两次就结束的概率； （2）求整个过程中恰好取到 2 个白球的概率； （3）求取球次数的分布列和数学期望。 解：(1)设取球次数为 ，则 ()() 111 822 111 101010 1414 1,2 55525 CCC PP CCC =. 所以最多取两次的概率 149 52525 P =+= (2)由题意知可以如下取球：红白白、白红白、白白红、白白蓝四种情况，所以恰有 两次取到白球的概率为 533332153 3 1010101010101000 P = += (3)设取球次数为，则()() 21824 1,2 10510 1025 PP= () 882816 3 1010101025 P =+= ，则分布列为 1 2 3 P 1 5 4 25 16 25 取球次数的数学期望为 141661 123 5252525 E= + + = 20. （本题满分 16 分） 已知函数 f (x)mxalnxm，g(x)ex ex，其中 m，a 均为实数 （1）求 g(x)的极值； （2） 设m1， a0， 若对任意的x1,x23,4， 且x1x2， 有 f (x2)f (x1) 1 g(x2) 1 g(x1) 恒成立，求实数 a 的最小值； （3）设 a2，若对任意给定的 x0(0,e，在区间(0,e上总存在 t1,t2(t1t2)，使得 f (t1) f (t2)g(x0)成立，求实数 m 的取值范围 解： （1）g(x)e(1x) ex ，当 x1 时，g(x)0；当 x1 时，g(x)0 g(x)在(,1)上单调递增，在(1,)上单调递减 g(x)的极大值为 1，无极小值 （2）由（1）知：g(x)在3,4上递减令 x1x2，0g(x1)g(x2) 1 g(x2) 1 g(x1) 当 m1，a0 时，f (x)xalnx1，f (x)1a x0 f (x)在3,4上为增函数 f (x2)f (x1) f (x1)f (x2) f (x1)f (x2) 1 g(x1) 1 g(x2)f (x1) 1 g(x1)f (x2) 1 g(x2) yf (x) 1 g(x)在3,4上递减 y1a x ex ex 1a x 1 e ex(x1) x2 0 对 x3,4恒成立 ax1 e ex(x1) x ，令 F(x)x1 e ex(x1) x ，x3,4 F(x)11 e xexxex(x1) x2 1e x(x2x1) x2 1ex 1 x2 1 x1 1 x2 1 x1 3 4 x3,4时，e x 1 x2 1 x1 3 4e x3 4e 31 x3,4时，F(x)0 F(x)在3,4上递减 F(x)maxF(3)32 3e 2 a32 3e 2a0 32 3e 2a0 （3）由（1）知 g(x)在(0,e上的值域为(0,1 由题意，任取 g(x0)(0,1，f (x)g(x0)在(0,e上有两个不同的实根 f (x)mx2lnxm，f (x)m2 xm 2 e 当 m2 e时，f (x)0，f (x)在(0,e上递减，显然不成立； 当 m2 e时，f (x) m x x2 m 当 x(0,2 m)时，f (x)0；当 x( 2 m,e时，f (x)0 f (x)在(0,2 m)上递减，在( 2 m,e上递增， 且 x(0,2 m)时，f (x)( f ( 2 m