高中数学备课参考数学通报问题解答0708pdf

64 数学问题解答 2007年7月号问题解答 (解答由问题提供人给出) 1681 设x + y + z1,求证:( x + y) 4 + ( y + z) 4 + ( z + x) 4 + ( x - y) 4 + ( y - z) 4 + ( z - x) 4 4 9 . (江苏宿迁中学 陈炳堂 223800) 证明 ( x + y) 4 + ( y + z) 4 + ( z + x) 4 + ( x - y) 4 + ( y - z) 4 + ( z - x) 4 =4 ( x 4 + y 4 + z 4 ) + 12 ( x 2 y 2 + y 2 z 2 + z 2 x 2) =4 ( x 4 + y 4 + z 4 +2x 2 y 2 +2y 2 z 2 +2z 2 x 2 ) + 4 ( x 2 y 2 + y 2 z 2 + z 2 x 2) =4 ( x 2 + y 2 + z 2)2 +4 ( x 2 y 2 + y 2 z 2 + z 2 x 2) 4 ( x 2 + y 2 + z 2)2 ( x , y , z中至少有2个值均为零时取 “=” 号 ) . 因为( x + y + z) 2 = x 2 + y 2 + z 2 +2( xy + yz + zx) 又xy + yz + zxx 2 + y 2 + z 2 (这是众所周知的不等式,可由x2+ y22xy , y 2 + z 2 2yz , z 2 + x 2 2zx相加得证) 所以( x + y + z) 2 3 ( x 2 + y 2 + z 2) (当且仅 当x = y = z时取 “=” 号 ) . 因为x + y + z1, 所以3 ( x 2 + y 2 + z 2) 1,即x 2 + y 2 + z 2 1 3 所以( x + y) 4 + ( y + z) 4 + ( z + x) 4 + ( x - y) 4 + ( y - z) 4 + ( z - x) 4 4 ( x 2 + y 2 + z 2)2 4 1 3 2 = 4 9 . 即( x + y) 4 + ( y + z) 4 + ( z + x) 4 + ( x - y) 4 + ( y - z) 4 + ( z - x) 4 4 9 (3)当且仅当x , y , z中至 少有2个值为零且x = y = z时取 “=” 号,即当且仅 当x = y = z =0时取 “=” 号,这时x + y + z =0, 与已知条件x + y + z1相矛盾.因而(3)式不能 取 “=” 号. 所以( x + y) 4 + ( y + z) 4 + ( z + x) 4 + ( x - y) 4 + ( y - z) 4 + ( z - x) 4 4 9 . 1682 设a,b,c0, nN+ , f ( n) = n a n + b n + c n 3 .求证:f ( n +1)f ( n) . (宁波市甬江职高 邵剑波 315000) 证明 设t = f ( n) ,由平均值不等式得 na n+1 + t n+1 = a n+1 + a n+1 + t n+1 ( n + 1) n+1 ( a n+1)ntn+1 = ( n +1 ) a nt , 同理nb n+1 + t n+1 ( n + 1 ) b nt , nc n+1 + t n+1 ( n + 1 ) c nt , 相加得n( a n+1 + b n+1 + c n+1 ) + 3t n+1 ( n + 1 ) ( a n + b n + c n ) t, n( a n+1 + b n+1 + c n+1) t ( n +1 ) ( a n + b n + c n) -3t n = nt( a n + b n + c n ) , a n+1 + b n+1 + c n+1 t( a n + b n + c n ) , a n+1 + b n+1 + c n+1 3 n t na n + b n + c n 3 n = a n + b n + c n 3 n+1 , n+1 a n+1 + b n+1 + c n+1 3 n a n + b n + c n 3 , 即f ( n +1)f ( n) . 1683 在 ?ABCD中, 过A、B、C三点作圆交 BD于E ,过B、C、D三点 作圆交CA延长线于F. 求证:BDBE = 数学通报2007年 第46卷 第8期 1994-2008 China Academic Journal Electronic Publishing House. All rights reserved. ACCF. (重庆市合川太和中学 袁安全 401555) 证明 连接A E、CE.则 1=3,2= ABD =4. 于是 ACE BDC 所以 AC BD = A E BC = CE DC (设 = k) 则AC = kBD , AE = kBC, CE = kDC.而 A、B、C、E四点共圆,由 “Ptolemy” 定理可得 ABCE + BCA E = ACBE 将上各式代入可得( AB = CD) ABkDC + BCkBC = kBDBE 所以 AB 2 + BC 2 = BDBE(1) 同理连接BF、DF ,可证得 BC 2 + CD 2 = CACF(2) 由(1)、(2)可得 BDBE = ACCF. 1684 若,0,且+= 2 . 求证:sin+sin+sincos2+cos2+cos2 2(sinsin+sinsin+sinsin) (湖 北 省 谷 城 县 第 三 高 级 中 学 贺 斌 441700) 证明 因为,0,+= 2 , 所以cos2+cos2=2cos(+)cos(-) =2sincos(-)2sin, 同理cos2+cos22sin, cos2+cos22sin. 将以上三式相加可得: sin cos2. 又 1 3 (+ ) = 6 , 所以, 中必有两个(不妨设为,)同时不 大于或不小于 6 . 所以sin- 1 2 sin- 1 2 0, 即4sinsin2(sin+sin ) - 1, 所以1+4sinsinsin2sin(sin+sin) + (1 -sin ) . 而1-sin=1-cos(+) cos(- ) - cos(+) =2sinsin, 所以 cos2=1+4sinsinsin 2 sinsin. 证毕. 1685 若 ABC的三边长a ,b,c,三条内角平分线 长ta,tb,tc,外接圆半径为R,内切圆半径r. 求证: bc t 2 a + ca t 2 b + ab t 2 c = R r +2. 证明 设 ABC的半周长为S ,则由三角形内 角平分线长的公式知: ta= 2bccos A 2 b + c 所以t 2 a= 4b 2 c 2cos2A 2 (b + c) 2 = 2b 2 c 2 (1+cos A) ( b + c) 2 = 2b 2 c 2 ( b + c) 2 1+ b 2 + c 2 - a 2 2bc = bc(b + c + a) ( b + c - a) (b + c) 2 = 4bcS ( S - a) (2S - a) 2 所以 bc t 2 a = (2S - a) 2 4S( S - a) = 1 4 S S - a + 1 2 + S - a 4S 同理:ca t 2 b = 1 4 S S - b + 1 2 + S - b 4S ab t 2 c = 1 4 S S - c + 1 2 + S - c 4S 所以 bc t 2 a + ca t 2 b + ab t 2 c = S 4 1 S - a + 1 S - b + 1 S - c + 3 2 + 3S - ( a + b + c) 4S = S 4 1 S - a + 1 S - b + 1 S - c + 7 4 因为( S - a) ( S - b) ( S - c) = r 2 S 1994-2008 China Academic Journal Electronic Publishing House. All rights reserved. ab + bc + ca = S 2 +4Rr + r 2 所以 1 S - a + 1 S - b + 1 S - c = ab + bc + ca - S 2 ( S - a) ( S - b) ( S - c) = S 2 +4Rr + r 2 - S 2 r 2 S = 4R + r rS 由 、 得: bc t 2 a + ca t 2 b + ab t 2 c = R r +2 2007年8月号问题 (来稿请注明出处 编者) 1686 ABC中,A 90, AB AC,高线BE , CF交于H ,O为 ABC的外心, AO = A H.BA C 的平分线AD交B E , CF的延长线于M , N ,求证: HM = HN . (福建厦门九中 陈四川 361004) 1687 已知 ABC的两条角平分线B E , CD和延 长线交 ABC的外接圆于G, F. BE , CD交于M ,且 DF = EG.求证:AB = AC. (山东青岛市即墨市南泉镇庆余屯中学 孙孝 国 266200) 1688 已知 an是等比数列, nN+, n为奇数,求 证:( a1+ a3+ an) 2 - ( a2+ a4+ an-1) 2 = a 2 1+ a 2 2+ a 2 n. (云南省曲靖市民族中学 李一洪 655000) 1689 已知a,b,c为 ABC的三边长,求证: c + a - b a + a + b - c b + b + c - a c 2 (江西南昌大学附中 宋庆 330029) 1690 设u( x) =2 x( 1-x) -5x 2 +2x -1 (1)求函数 u( x) 的最小值; (2)求不等式 u( x) 0的解. (江苏省江都市大桥高级 中学 党庆 寿 225211) (上接54页) = - 2bc( b - c) 2 (1+cos A) 4( b + c) 2 0, 所以iama(当且仅当b = c时ia= ma ) , 同理 ibmb(当且仅当a = c时ibmb ) ,i cmc(当且仅 当a = b时ic= mc ) ; 也可这样证明iama: ma= 1 2 2b 2 +2c 2 - a 2 = 1 2 b 2 + c 2 +2bccosA 1 2 2 bc( 1+cos A) = 1 2 4bccos 2A 2 =bccos A 2 = 2bc 2bccos A 2 2bc b + ccos A 2 = ia. 再由中线长定理,得 m 2 a+ m 2 b+ m 2 c= 1 4 ( 2b 2 +2c 2 - a 2) + (2a2 +2c 2 - b 2) + (2a2 +2b 2 - c 2 ) = 3 4 ( a 2 + b 2 + c 2) =3R 2 (sin2A + sin 2 B +sin 2 C) 27 4 R 2 , 所以 m 2 a+ m 2 b+ m 2 c 3 3 R 2 . 本文记录了笔者利用几何画板探究一个数学 问题的全过程.我想,教师对初等数学问题的研究, 更