轨迹问题同步练习四

轨迹问题同步练习四一选择题：1.已知M（2，0）、N（2，0），PMPN4，则动点P的轨迹是（ ）A.双曲线 B.双曲线左边一支C.一条射线 D.双曲线右边一支2.（2003年河南）已知双曲线中心在原点且一个焦点为F（，0），直线y=x1与其相交于M、N两点，MN中点的横坐标为，则此双曲线的方程是（ ）A.=1 B.=1C.=1 D.=13.动点P到直线x=1的距离与它到点A（4，0）的距离之比为2，则P点的轨迹是A.中心在原点的椭圆 B.中心在（5，0）的椭圆C.中心在原点的双曲线 D.中心在（5，0）的双曲线4.（2005年春季北京，6）已知双曲线的两个焦点为F1（，0）、F2（，0），P是此双曲线上的一点，且PF1PF2，|PF1|PF2|=2，则该双曲线的方程是（ ）A.=1 B.=1C.y2=1 D.x2=15.已知A（0，7）、B（0，7）、C（12，2），以C为一个焦点作过A、B的椭圆，椭圆的另一个焦点F的轨迹方程是（ ）A.y21（y1） B.y21C.y21 D.x21二填空题：6.曲线x24y24关于点M（3，5）对称的曲线方程为_.解析：代入法（或相关点法）.7.与圆x2+y24x=0外切，且与y轴相切的动圆圆心的轨迹方程是_.8.F1、F2为椭圆+=1的左、右焦点，A为椭圆上任一点，过焦点F1向F1AF2的外角平分线作垂线，垂足为D，则点D的轨迹方程是_.9.已知ABC中，B（1，0）、C（5，0），点A在x轴上方移动，且tanB+tanC=3，则 ABC的重心G的轨迹方程为_.三解答题：10.自抛物线y22x上任意一点P向其准线l引垂线，垂足为Q，连结顶点O与P的直线和连结焦点F与Q的直线交于R点，求R点的轨迹方程.11.求经过定点A（1，2），以x轴为准线，离心率为的椭圆下方的顶点的轨迹方程.12.AB是圆O的直径，且AB2a，M为圆上一动点，作MNAB，垂足为N，在OM上取点P，使OPMN，求点P的轨迹.13.过抛物线y2=4x的焦点的直线l与抛物线交于A、B两点，O为坐标原点.求AOB的重心G的轨迹C的方程.14.（2004年春季安徽）已知k0，直线l1：y=kx，l2：y=kx.（1）证明：到l1、l2的距离的平方和为定值a（a0）的点的轨迹是圆或椭圆；（2）求到l1、l2的距离之和为定值c（c0）的点的轨迹.15. 在PMN中，tanPMN=，tanMNP=2，且PMN的面积为1，建立适当的坐标系，求以M、N为焦点，且过点P的椭圆的方程.16. （2004年福建，22）如下图，P是抛物线C：y=x2上一点，直线l过点P且与抛物线C交于另一点Q.若直线l与过点P的切线垂直，求线段PQ中点M的轨迹方程.17. （2000年春季全国）已知抛物线y24px（p0），O为顶点，A、B为抛物线上的两动点，且满足OAOB，如果OMAB于M点，求点M的轨迹方程.参考答案一选择题：1.解析：利用几何性质.答案：C2.解析：设双曲线方程为=1.将y=x1代入=1，整理得（b2a2）x2+2a2xa2a2b2=0.由韦达定理得x1+x2=，=.由c2=a2+b2求得a2=2，b2=5.答案：D3.解析：直接法.答案：B4.解析：设双曲线的方程为=1.由题意|PF1|PF2|=2a，|PF1|2+|PF2|2=（2）2.又|PF1|PF2|=2，a=2，b=1.故双曲线方程为y2=1.答案：C5.解析：由题意AC13，BC15，AB14，又AFACBFBC，AFBFBCAC2.故F点的轨迹是以A、B为焦点，实轴长为2的双曲线下支.又c=7，a=1，b248，所以轨迹方程为y21（y1）.答案：A二填空题：6.答案：（x6）2+4（y10）2=47.解析：若动圆在y轴右侧，则动圆圆心到定点（2，0）与到定直线x=2的距离相等，其轨迹是抛物线；若动圆在y轴左侧，则动圆圆心轨迹是x负半轴.答案：y2=8x（x0）或y=0（x0，y20.由y=x2， 得y=x.过点P的切线的斜率k切=x1，直线l的斜率kl=，直线l的方程为yx12=（xx1）. 方法一：联立消去y，得x2+xx122=0.M为PQ的中点， x0=，y0=x12（x0x1）. 消去x1，得y0=x02+1（x00），PQ中点M的轨迹方程为y=x2+1（x0）.方法二：由y1=x12，y2=x22，x0=，得y1y2=x12x22=（x1+x2）（x1x2）=x0（x1x2），则x0=kl=，x1=.将上式代入并整理，得y0=x02+1（x00），PQ中点M的轨迹方程为y=x2+1（x0）.17.解法一：设M（x0，y0），则kOM=，kAB=，直线AB方程是y=（xx0）+y0.由y2=4px可得x=，将其代入上式，整理，得x0y2（4py0）y4py024px02=0. 此方程的两根y1、y2分别是A、B两点的纵坐标，A（，y1）、B（，y2）.OAOB，kOAkOB=1.=1.y1y2=16p2.根据根与系数的关系，由可得y1y2=，=16p2.化简，得x02+y024px0=0，即x2+y24px=0（除去原点）为所求.点M的轨迹是以（2p，0）为圆心，以2p为半径的圆，去掉坐标原点.解法二：设A、B两点坐标为A（pt12，2pt1）、B（pt22，2pt2）.kOA=，kOB=，kAB=.OAOB，t1t2=4.AB方程是y2pt1=（xpt12）， 直线OM的方程是y=x. ，得（px）t12+2pyt1（x2+y2）=0. 直线AB的方程还可写为y2pt2=（xpt22）. 由，得（px）t22+（2py）t2（x2+y2）=0. 由可知t1、t2是方程（px）t2+（2py）t2（x2+y2）=0的两根.由根与系数的关系可得t1t2=.又t1t2=4，x2+y24px=0（原点除外）为所求点M的轨迹方程.故M的轨迹是以（2p，0）为圆心，以2p为半径的圆，去掉坐标原点.解法三：设M（x，y），直线AB方程为y=kx+b，由OMAB得k=.由y2=4px及y=kx+b消去y，得k2x2+x（2kb4p）+b2=0.所以x1x2=.消去x，得ky24py+4pb=0.所以y1y2=.由OAOB，得y1y2=x1x2，所以=，b=4kp.故y=kx+b=k（x4p）.用k=代入，得x2+y24px=0（x0）.解法四：设点M的坐标为（x，y），直线OA的方程为y=kx，解得A点的坐标为（，），显然k0，则直线OB的方程为y=x.由 y=kx，y2=4px， 类似地可得B点的坐标为（4pk2，4pk），从而知当k1时，kAB=.故得直线AB的方程为y+4pk=（x4pk2），即（k）y+4p=x， 直线OM的方程为y