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文档简介

一 题 多 解，妙 不 可 言求动点轨迹方程2010年江南十校联考（理科）第20题求动点轨迹问题，参考答案仅提供一种方法。在实际教学过程中，带领学生通过探究讨论发现还有更多巧妙的方法，现总结如下。ACDBRHEXYOF问题：如图，过圆与轴的两个交点A，B作圆的切线AC，BD，再过圆上任意一点H作圆的切线交AC，BD于C，D，设AD，BC的交点为R，求动点R的轨迹E的方程方法一（参考答案）：设则: 故切线CD的方程:切线交AC于，交BD于所以AD方程为 BC方程为由（1）（2）得： 得代入（3）式可得 当时，R（0，1）也满足方程，故R的轨迹E的方程是方法一比较通用，但在化简计算过程中比较繁琐，能否回避大量的计算呢？下面方法二明显优于方法一。方法二：设切线CD方程为，即，所以AD方程为 BC方程为，由（1）（2）得：，代入可得 即 上述两法均用交轨法求出R的轨迹方程，区别仅在于运算量。有无更巧的方法呢？本题中根据点H落在坐标轴上时，可以猜想出方程可能是，而在椭圆性质中，椭圆上任意一点到椭圆长轴上两端点连线的斜率之积为定值，以此为突破口，借助圆的切线性质可以求之。方法三：设 不妨设 ，由圆的切线性质可知： 过C作CEBD交BD于E，故 ，由勾股定理知：而 ，令 化简可得：方法三运用平几与解几相结合，回避了求直线方程，简化了计算，真的很巧，但有没有更妙的方法呢？大家都知道椭圆是由圆压缩而成的，此处的椭圆是如何压缩的呢？请看方法四，读者一定会感到此法最妙！方法四：连接HR交轴于F ，故HF轴。故R为HF的中点，设，故R的轨迹E的方程是此法运用了相似比巧妙地求出了R是H
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