高中数学选修21期末综合2

期末 综合试卷2一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题意要求的1. 已知p：则p是q的（ ）A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件2. 抛物线y4x2上的一点M到焦点的距离为1，则点M的纵坐标是( )A. B. C. D. 0 3. 设为两两不重合的平面，l,m,n为两两不重合的直线，给出下列四个命题：若则；若则；若则；若则mn.其中真命题的个数是（ ）A.1 B.2 C.3 D.4 4. 若焦点在轴上的椭圆的离心率为，则m=（ ）ABCD5.设集合A、B是全集的两个子集，则是的（ ）A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件6. 若命题，则p： （ ）A B C D7. 给出两个命题：的充要条件是为正实数；：不等式取等号的条件是异号，则下列哪个复合命题是真命题（ ）A B C D8. 已知双曲线1（a0，b0）的右焦点为F，右准线与一条渐近线交于点A，OAF的面积为（O为原点），则两条渐近线的夹角为 （ ）A30B45C60D909. 点P（3,1）在椭圆的左准线上.过点P且方向为a(2,5)的光线，经直线y2反射后通过椭圆的左焦点，则这个椭圆的离心率为（ ）A. B. C. D. 10.设直线关于原点对称的直线为，若与椭圆的交点为A、B、，点为椭圆上的动点，则使的面积为的点的个数为（ ）A.1 B.2 C.3 D.4二、填写题：本大题共6小题，每小题5分，共30分把答案填在答题纸相应位置11. 设命题P：|4x3|1；命题q:x2(2a+1)x+a(a+1) 0.若p是q的必要而不充分的条件，则实数a的取值范围是 12. 已知是不同的直线，是不重合的平面，给出下列命题：若则若则若，则是两条异面直线，若，则上面的命题中，真命题的序号是（写出所有真命题的序号）13. 设双曲线的右焦点为，右准线与两条渐近线交于P、两点，如果是直角三角形，则双曲线的离心率.14. 以下同个关于圆锥曲线的命题中设A、B为两个定点，k为非零常数，则动点P的轨迹为双曲线；设定圆C上一定点A作圆的动点弦AB，O为坐标原点，若则动点P的轨迹为椭圆；方程的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率；双曲线有相同的焦点.其中真命题的序号为 （写出所有真命题的序号）15. 已知抛物线上两点关于直线对称，且，那么m的值为 .16. 把下面不完整的命题补充完整，并使之成为真命题：若函数的图象与的图象关于 对称，则函数= 。（注：填上你认为可以成为真命题的一件情形即可，不必考虑所有可能的情形）.三、解答题：本大题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17. (本小题满分12小题) 在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=x2上异于坐标原点O的两不同动点A、B满足AOBO（如图所示）. （）求AOB的重心G（即三角形三条中线的交点）的轨迹方程； （）AOB的面积是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由. 18. (本小题满分12小题) 如图，在长方体ABCDA1B1C1D1，中，AD=AA1=1，AB=2，点E在棱AD上移动. （1）证明：D1EA1D； （2）当E为AB的中点时，求点E到面ACD1的距离； （3）AE等于何值时，二面角D1ECD的大小为.19. (本小题满分12小题) 如图1，已知ABCD是上下底边长分别为2和6，高为的等腰梯形，将它沿对称轴OO1折成直二面角，如图2.（）证明：ACBO1；（）求二面角OACO1的大小.图1 图220. (本小题满分12小题) 设A、B是椭圆上的两点，点N（1，3）是线段AB的中点，线段AB的垂直平分线与椭圆相交于C、D两点. （）确定的取值范围，并求直线AB的方程；（）试判断是否存在这样的，使得A、B、C、D四点在同一个圆上？并说明理由. （此题不要求在答题卡上画图）21. (本小题满分12小题) 如图，在五棱锥SABCDE中，SA底面ABCDE，SAABAE2,BCDE,BAEBCDCDE120.（）求异面直线CD与SB所成的角（用反三角函数值表示）；（）证明BC平面SAB；（）用反三角函数值表示二面角BSCD的大小（本小问不必写出解答过程）22. (本小题满分12小题)已知方向向量为v=(1,)的直线l过点（0，2）和椭圆C：(ab0)的焦点，且椭圆C的中心关于直线l的对称点在椭圆C的右准线上.（）求椭圆C的方程；（）是否存在过点E（2，0）的直线m交椭圆C于点M、N，满足cotMON0（O为原点）.若存在，求直线m的方程；若不存在，请说明理由.参考答案一、选择题： 1. A 2. B 3. B 4. B 5. A 6. B 7. D 8. D 9. A 10. B 二、填空题： 11. 【 答案】 0， 12. 【 答案】13【 答案】 14【 答案】15【 答案】 16. 【 答案】如 x轴，3log2x y轴，3+log2(x) 原点，3log2(x) 直线y=x, 2x3 三、解答题：17. 【 解析】 （I）设AOB的重心为G(x,y),A(x1,y1),B(x2,y2),则 （1）OAOB ,即，(2)又点A，B在抛物线上，有，代入（2）化简得所以重心为G的轨迹方程为（II）由（I）得当且仅当即时，等号成立所以AOB的面积存在最小值，存在时求最小值1；18. 【 解析】 以D为坐标原点，直线DA，DC，DD1分别为x,y,z轴，建立空间直角坐标系，设AE=x，则A1（1，0，1），D1（0，0，1），E（1，x，0），A（1，0，0）C（0，2，0）（1）（2）因为E为AB的中点，则E（1，1，0），从而，设平面ACD1的法向量为，则也即，得，从而，所以点E到平面AD1C的距离为（3）设平面D1EC的法向量，由 令b=1, c=2,a=2x，依题意（不合，舍去）， .AE=时，二面角D1ECD的大小为.19. 【 解析】ABOCO1Dxyz （I）证明 由题设知OAOO1，OBOO1.所以AOB是所折成的直二面角的平面角，即OAOB. 故可以O为原点，OA、OB、OO1所在直线分别为轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，如图3，则相关各点的坐标是A（3，0，0），B（0，3，0），C（0，1，）19题图O1（0，0，）.从而所以ACBO1. （II）解：因为所以BO1OC，由（I）ACBO1，所以BO1平面OAC，是平面OAC的一个法向量.设是0平面O1AC的一个法向量，由 得. 设二面角OACO1的大小为，由、的方向可知，所以cos，=即二面角OACO1的大小是 20. 【 解析】 （）解法1：依题意，可设直线AB的方程为，整理得 设是方程的两个不同的根， 且由N（1，3）是线段AB的中点，得 解得k=1，代入得，的取值范围是（12，+）. 于是，直线AB的方程为 解法2：设则有 依题意，N（1，3）是AB的中点， 又由N（1，3）在椭圆内，的取值范围是（12，+）.直线AB的方程为y3=（x1），即x+y4=0. （）解法1：CD垂直平分AB，直线CD的方程为y3=x1，即xy+2=0，代入椭圆方程，整理得 又设CD的中点为是方程的两根，于是由弦长公式可得 将直线AB的方程x+y4=0，代入椭圆方程得 同理可得 当时，假设存在12，使得A、B、C、D四点共圆，则CD必为圆的直径，点M为圆心.点M到直线AB的距离为 于是，由、式和勾股定理可得故当12时，A、B、C、D四点匀在以M为圆心，为半径的圆上. （注：上述解法中最后一步可按如下解法获得：）A、B、C、D共圆ACD为直角三角形，A为直角|AN|2=|CN|DN|，即 由式知，式左边由和知，式右边式成立，即A、B、C、D四点共圆.解法2：由（）解法1及12,CD垂直平分AB， 直线CD方程为，代入椭圆方程，整理得 将直线AB的方程x+y4=0，代入椭圆方程，整理得 解和式可得 不妨设计算可得，A在以CD为直径的圆上.又B为A关于CD的对称点，A、B、C、D四点共圆.（注：也可用勾股定理证明ACAD）21. 【 解析】 (1) 连结BE，延长BC、ED交于点F，则， 又BCDE， ，因此，为正三角形， 因为是等腰三角形,且 以A为原点，AB、AS边所在的直线分别为x轴、z轴，以平面ABC内垂直于AB的直线为y轴，建立空间直角坐标系（如图），则 A（0，0，0）， B（2，0，0） S（0，0，2），且C（2，0）EFDCBASzyx D(,于是 则 所以异面直线CD与SB所成的角为： (2), (3)二面角BSCD的大小为.22. 【 解析】（I）解法一：直线， 过原点垂直的直线方程为， 解得椭圆中心（0，0）关于直线的对称点在椭圆C的右准线上，直线过椭圆焦点，该焦点坐标为（2，0）. 故椭圆C的方程为 解法二：直线.设原点关于直线对称点为（p，q），则解得p=3.椭圆中心（0，0）关于直线的对称点在椭圆C的右准线上， 直线过椭圆焦点，该焦点坐标为（2，0）. 故椭圆C的方程为 （II）解法一：设M（），N（）.当直线m不垂直轴时，直线代入，整理得 点O到直线MN的距离即 即整理得当直线m垂直x轴时，也满足.