高中数学一轮复习第3讲平面向量的数量积及应用

第3讲 平面向量的数量积及应用随堂演练巩固1.已知向量a、b满足|a|=1,|b|=4,且ab=2,则a与b的夹角为( ) A.B.C.D. 【答案】 C 【解析】 cos. ,a与b的夹角为. 2.对于向量a、b、c和实数下列命题中真命题是 ( ) A.若ab=0,则a=0或b=0 B.若a=0,则或a=0 C.若ab则a=b或a=-b D.若ab=ac,则b=c 【答案】 B 【解析】 排除法.A中ab=0,还可能有ab; C中ababa+ba-b)=0,此时若a与b的模相等或a+b与a-b互相垂直即可; D中ab=acab-c)=0,a=0或b=c或ab-c). 3.已知向量a=(-2,2),b=(5,k),若|a+b|不超过5,则k的取值范围是( ) A.-4,6B.-6,4 C.-6,2D.-2,6 【答案】 C 【解析】 a=(-2,2),b=(5,k), 故a+b=(3,2+k).|a+b| |a+b|a+b. . 4.已知向量a=(cossinb则|2a-b|的最大值.最小值分别是( ) A.4,0B.16,0C.2,0D.16,4 【答案】 A 【解析】 |2a-b|aab+b|a|b|coscos ,又,cos 8-8cos 即|2a-b|2a-b|. 5.若a与b-c都是非零向量,则“ab=ac”是“ab-c)”的( ) A.充分不必要条件B.必要不充分条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件 【答案】 C 【解析】 由ab=ac得ab-c)=0,即|a|b-c|cosa,b-c均为非零向量, cos即a与(b-c)的夹角为90.ab-c). 反之,若ab-c),则ab-c)=0, 即ab-ac=0,ab=ac. 故“ab=ac”是“ab-c)”的充要条件. 课后作业夯基 1.已知a=(1,0),b=(1,1),(abb,则等于 ( ) A.-2B.2C.D. 【答案】 D 【解析】 由(abb=0,得ab|b|得. 故选D. 2.(2011上海春招,15)若向量a=(2,0),b=(1,1),则下列结论正确的是( ) A.ab=1B.|a|=|b| C.(a-bbD.ab 【答案】 C 【解析】 ab=2,选项A错误; |a|=2,|b|选项B错误; (a-bb=选项C正确,故选C. 3.已知向量a,b的夹角为120,|a|=1,|b|=5,则|3a-b|等于( ) A.7B.6C.5D.4 【答案】 A 【解析】 |3a-b| .故选A. 4.已知ABC中,AB=a, =b,ab|a|=3,|b|=5,则等于( ) A.30B.-150C.150D.30或150 【答案】 C 【解析】 |a|b|sinsin. 又ab直线与圆相离. 7.设向量a与b的夹角为定义a与b的”向量积”:ab是一个向量,它的模|ab|=|a|b|sin若ab则|ab|等于( ) A.B.2C.D.4 【答案】 B 【解析】 |a|=|b|=2,ab cos.又,sin. |ab|.故选B. 8.已知向量a=(4,3),b=(sincos且ab,那么tan等于 . 【答案】 【解析】 由ab得4sincos 所以tantan. 9.若平面上三点A、B、C满足|=3,|=4,|=5,则的值等于 . 【答案】 -25 【解析】 由0可得 9 . 10.关于平面向量a,b,c,有下列三个命题: 若ab=ac,则b=c. 若a=(1,k),b=(-2,6),ab,则k=-3. 非零向量a和b满足|a|=|b|=|a-b|,则a与a+b的夹角为60. 其中真命题的序号为 (写出所有真命题的序号). 【答案】 【解析】 命题明显错误.由两向量平行的充要条件得3,故命题正确. 由|a|=|b|=|a-b|,再结合平行四边形法则可得a与a+b的夹角为30,命题错误. 11.已知=(2,5), =(3,1), =(6,3),在上是否存在点M,使,若存在,求出点M的坐标;若不存在,请说明理由. 【解】设存在点M,且=(6,3),= =(26,53),=(36,13), 即解得或. =(2,1)或. 存在M(2,1)或满足题意. 12.已知a=(sinb=(1,cosc=(0. (1)若(4a-c)b,求; (2)求|a+b|的取值范围. 【解】 (1)4a-c=(4sin4sin (4a-c)b,4sincos.sin. ,). 或即或. (2)a+b=(sincos |a+b| . sin. sin. |a+b|. 13.(2012山东临沂模拟)已知向量msinn=(coscos. (1)若mn=1,求cos的值; (2)记f(x)=mn,在ABC中,角A,B,C的对边分别是a,b,c,且满足(2a-c)cosB=bcosC,求函数f(A)的取值范围. 【解】 (1)mn=1,即sincoscos 即sincos sin. coscoscos =-1-2sin . (2)(2a-c)cosB=bcosC, 由正弦定理得(2sinA-sinC)cosB=sinBcosC. 2sinAcosB-cosBsinC=sinBcosC, 2sinAcosB=sin(B+C), A+B+C=, sin(B+C)=sinA,且sin. cos. . sin. 又f(x)=mn=sin f(A)=sin. 故函数f(A)的取值范围是. 14.已知asinb=(cos其中又函数f(x)=ba-b)+k是以为最小正周期的周期函数,当时,函数f(x)的最小值为-2. (1)求f(x)的解析式; (2)写出函数f(x)的单调递增区间. 【解】 (1)a