振动力学(梁的横向振动)

只研究振动力学、-弹性体的振动、梁的横向振动、梁在主平面内的平面弯曲振动。 此振动仅在梁中存在主平面时发生，与材料力学中梁弯曲的小变形假设和平面假设相匹配。 1、运动微分方程在梁的主平面上取坐标xoz，原点在梁左端截面的形心，x轴与梁平衡时的轴线一致。 假设梁振动时，轴线上任意点的位移u(x，t )沿z轴方向。 取微节段梁dx，断面上的弯矩和剪力为m和q，其符号的规定与材料力学相同。 微分段梁dx沿z方向的运动方程式：即利用材料力学中的关系，与梁的弯曲振动方程式、边界条件、一维波动方程式一样，为了解决弯曲振动微分方程式的问题，必须给出边界条件和初始条件。 梁的两端必须有两个边界条件，以左端为例。 (1)固定端：挠曲和拐角为0，即(2)简支端：挠曲和弯矩为0，即(3)自由端：弯矩和剪切力为0，即其它边界条件以类似方式给出。 2、梁自由振动的解是将振动方程式的扰动力设为0而得到的，对于均匀的梁，振动方程式是假定其中存在分离变量形式的解，得到命令、代入方程式。 在其中，方程式的解(称为特征方程式)可以利用边界条件从特征方程式确定模式函数F(x )和频率方程式，并且可以进一步确定系统的固有频率wi。 四个边界条件只能决定四个积分常数之间的比率。 【例1】求出简支梁弯曲振动的固有频率和固有振动模型。 代入特征方程的解，解：边界条件为挠度和弯矩为0。 作为结果，频率方程式可被求解，使得固有频率、模式及i-1节点处于第I阶模式。 节点坐标，即【例2】求出两端固定梁的弯曲振动的固有频率和固有振动模型。 此外，代入特征方程式的解时，解：边界条件为挠曲和旋转角为0，即简化得到频率方程式，求出b得到固有频率，模式为【例3】求出左端被固定、右端被刚性k的弹簧支撑的均匀的弯曲振动的频率方程式。 解：左端的边界条件为挠曲和旋转角为0，解：左端的边界条件为挠曲和旋转角为0，右端的边界条件为弯矩为0，代入剪切力等于弹力的特征方程式的解，进一步简化求出频率方程式，求出b求出固有频率，代入边界条件求出模式类型，讨论： (1)k=0时频率(2)k为无限大时，频率方程式或成为左端被固定且右端被简单地支承的情况。 【思考问题】图示悬臂梁在x=l时的边界条件为：关于振幅型函数的正交性，与一维波动方程式的振幅型函数的正交性类似。 考虑到满足第I阶特征值且边界条件为简单支撑、自由和固定，如果梁的端点的位移、弯矩或剪切力为0，则对于第j阶振动类型，通过将表达式的两端乘以Fj来积分，并且减去上面的表达式，如果i=j，则如同一维波动方程，梁的激发力的响应为， 1 .标准坐标(正规坐标)相对于振动型函数在下式的条件下被正规化2 .对于初始激励的响应，将其在标准模式下展开，在rAFj左侧乘以二式进行积分，在标准坐标下的初始激励响应，在物理坐标下的响应，响应求解步骤： (1)根据边界条件求出固有频率和固有模式(2) (3)利用标准化条件确定模式中的常数因子；(4)将初始条件转换为标准坐标； 【例4】初始静止长度为l的均匀简支梁，假设x=x1的微片段d具有初始速度v，并求出该系统对该初始条件的响应。 解： (1)固有振动频率和与其对应的固有振动型，(2)根据归一化条件决定系数Ci而求出，(3)初始条件。在问题的意义上，转换为主坐标，3 .外部激励的响应(1)分布干扰力为干扰力密度f(x，t )，与前杆外部激励的强迫振动响应推进方法相同。 (4)利用标准化模式函数Fi来获得标准坐标下的解组合方程，并且利用多哈美积分，(2)在集中度为x=x-1时接收到集中度F(t )，在该情况下，可以将总响应表示为函数中的分布形式此时，总响应为强制振动响应求解步骤： (1)根据边界条件求出固有频率和固有频率，(2)利用归一化条件，决定模式中的常数因子，(3)求出主坐标上的响应，(4)求出广义坐标上的响应。 解： (1)与固有振动频率对应的固有振动型，(2)在归一化条件下决定系数Ci，【例5】长度为l的简支梁在x=a下受到集中力Fsint的作用，求出响应。 (3)响应【例6】列车通过长桥上，能够简化均匀的筒支梁以等速v承受向右移动的载荷p的作用。 在初期时，假设负荷位于梁的左端，尝试求出强制振动的响应。 解： (1)与均匀简支梁的固有频率相对应的固有振动类型，(2)与前面相同，根据归一化条件决定系数Ci得到，(3)扰动力密度，(4)主坐标下的响应，其中，(5)广义坐标下的响应，固有振动频率的结构特性，系统参数的变化和增加制约对固有振动频率的影响： (1)增大刚性， 增加约束，提高固有振动频率