运筹学课后习题二

练习题22.1有人根据医生的指示，每天需要补充a、b、c三种营养，a为80单位以上，b为150单位以上，c为180单位以上。 这个人计划每天从六种食物中摄取这三种营养成分。 已知6种食物的营养成分和食物价格如表2-22所示(2)假设某厂商有生产药片的计划，销售给该人，药片中含有a、b、c 3种营养成分。 为厂家制定药片的合理价格，为此人即使购买，厂家也能得到最大的利益，建立数学模型。表2-22含食物营养成分一个二三四五六需要量a.a1325144081180乙组联赛24930251215150c.c1872134100180食物单价(元/100g )0.50.40.80.90.30.2【解】(1)以XJ为每天第j种食物的用量，数学模型为(2)以yi为第I单位营养的价格，数学模型为2.2写下一个线性规划的对偶问题(1)【解】(2)【解】(3)【解】(4)【解】对偶问题包括：2.3考虑线性规划(1)说明原问题和对偶问题有最佳解(2)通过求解对偶问题，从最优表观察原问题的最优解用(3)式CBB-1求原题的最佳解(4)利用互补松弛条件求解原问题的最优解【解】(1)元问题的对偶问题是可以理解，原始问题和对偶问题都存在可能的解，并且可以从例如x=(2，1，1 )、y=(1，0，1 )、定理2.4中找到最佳解。(2)对偶问题的最佳简单表示为：C(j )42700R. H. S .BasisC(i )y1.y1y2y3y4y5y370-1/51四分之五-1/528/5y1.y141七分之五0-3/5二分之五四分之五C(j)-Z(j )0-11/50-16/5-1/5w=42.4对偶问题的最佳解y=(4/5，0，28/5 )，定理2.6，原题的最佳解x=(16/5，1/5 )，Z=42.4(3) CB=(7，4 ) .(4)y1、y3不等于零知原问题的第一、三个制约很牢固，解方程式得到原来问题的最佳解是x=(16/5，1/5 )。2.4证明下列线性规划问题没有最优解证明：首先，如x=(2，1，1 )，看到这个问题有可能的解，上述问题的对偶问题是限制条件知y 10，限制条件y 20知y 11，由于对偶问题没有可执行解，原问题也没有最佳解(没有边界解)。2.5已知线性规划的最优解，求对偶问题的最优解【解】对偶问题是根据原问题的最优解，求解原问题约束的松弛变量不等于零()，x1，x3不等于零的对偶问题约束，约束为方程式，知道y3=0的方程式得到对偶问题的最佳解y=(5/2，5/2，0 ) w=55/2=27.52.6采用对偶单纯形法求解以下线性规划【解】模型化对偶简单型表：cj34500甲组足球联赛XBX1X2X3X4X5乙组联赛00X4X5-1-2-2-2-3-11001-8-10C(j)-Z(j )34500003X4X101-11-5/21/210-1/2-1/2-35C(j)-Z(j )01七分之二0三分之二053X2X10110五分之二-2-111/2-132C(j)-Z(j )00111b列均为非负，最优解为x=(2，3，0 ) z=18【解】模型化3400乙组联赛XB甲组足球联赛X1X2X3X4X30-1-110-4X4021012Cj-Zj3400X1311-104X400-121-6Cj-Zj0130X131011-2X2401-2-16Cj-Zj0051基线系数并非全部为负，最小比无效，无法解决原来的问题。【解】模型化cj24000乙组联赛XB甲组足球联赛X1X2X3X4X5X302310024X40-1-2010-10X50-1-3001-15Cj-Zj24000X30101019X40-1/3001-2/30X241/3100-1/35Cj-Zj二分之三000四分之三最佳解x=(0，5 ) z=20【解】模型化Cj235600乙组联赛XB甲组足球联赛X1X2X3X4X5X6X50-1-2-3-410-2X60-21-1301-3Cj-Zj235600X231/21三分之二2-1/201X60-5/20-5/211/21-4Cj-Zj1/201/20三分之二0X23-11013/5-1/5三分之五-7/5X35101-2/5-1/5-2/5八分之五Cj-Zj0001/5八分之五1/5X121-10-13/51/5-3/5七分之五X3501111/5-2/51/51/5Cj-Zj0001/5八分之五1/5X12101-2/5-1/5-2/5八分之五X2301111/5-2/51/51/5Cj-Zj0001/5八分之五1/5原题有多重解答： x (1)=(7/5，0，1/5， 最佳解x (2)=(8/5，1/5，0 ) z=19/5如果以最初的表X6为基础Cj235600乙组联赛XB甲组足球联赛X1X2X3X4X5X6X50-1-2-3-410-2X60-21-1301-3Cj-Zj235600X500-5/2-5/2-11/21-1/2-1/2X121-1/21/2-3/20-1/2三分之二Cj-Zj024901X2301111/5-2/51/51/5X12101-7/5-1/5-2/5八分之五Cj-Zj00223/5四分之五三分之五7 .某厂利用原材料甲、乙、丙生产产品a、b、c，相关资料见表2-23表2-23产品材料消耗原材料a.a乙组联赛c.c每月供应原材料(公斤)甲乙丙211200123500221600各产品的利益413(一)如何安排生产，使利润最大化；(2)增加原材料a 1公斤，总利润会增加多少？(3)原材料b的市场价格为1.2元/Kg的话，要转卖原材料b，工厂最低应该卖多少钱？ 为什么？(四)单位产品利润在各自的范围内变化的，原生产计划不变(5)无论原材料各自单独在哪个范围内变动，都只生产a和c两种产品(6)由于市场变化，产品b、c的单品利润分别为3元和2元。 在这种情况下，应该如何调整生产计划(7)工厂计划生产新产品d，每个产品d的原材料a、b、c分别消耗2kg、2kg和1kg，产品d得不到多少利益才有利于生产【解】(1)将x 1、x2、x3分别作为产品a、b、c的月产量，数学模型为最佳简单表格：C(j )413000R.H.S .RatioXB甲组足球联赛X1X2X3X4X5X6X1411/50三分之五-1/5020X330三分之五1-1/5二分之五0160X60000-101400C(j)-Z(j )0-8/50-9/5-2/50Z=560最佳解x=(20，0，160 )，Z=560。 工厂要生产产品A20分，产品c60分，毛利为560元。(2)从最佳表中可以看出，因为影响价格为，所以利润增加1.8元。(y2=0.4，价格不得少于1.6元。(4)根据最优表计算(5)根据最优表计算(6)变化后检测常数为2=1、4=-2、5=0. 因此，x2以x1为基础，得到最佳解x=(0，200，0 )，即只生产产品B 200个，总利润为600元。C(j )432000R.H.S .RatioXB甲组足球联赛X1X2X3X4X5X6X1411/50三分之五-1/5020100X320三分之五1-1/5二分之五0160800/3X60000-101400mC(j)-Z(j )010-200560X225103-10100mX33-301-210100100X60000-101400mC(j)-Z(j )-500-510X22211100200X40-301-210100X60000-101400C(j)-Z(j )-20-1-300(7)设产品d的产量为x7，单体产品的利润为c7，只有当时有利于生产。单位产品d利润超过4.4元有利于生产。8 .参数分析以下线性规划：(1)【解】=0时的最佳解x=(4，3，0 )； 最佳表格：C(j )35000R. H. S .BasisC(i )X1X2X3X4X5X13101004X250100.503X5000-3-110C(j)-Z(j )00-3-2.5027要在上表中引入参数：C(j )3 25000R.H.S .BasisC(i )X1X2X3X4X5X13 2101004X250100.503X5000-3-110C(j)-Z(j )00-3-2-2.5 0.5027在-3-20及-2.5 0.50的情况下，最佳基准不变，为-1.55。 -1.5时X3进基X1出基； 5时出现X4进制基X2，用单纯形法计算。 参数变化与目标值变化的关系如下表所示。自由点To自由点ToLeaving公司Entering公司Range (范围)(Vector )(Vector )OBJ V