深圳高三第一次模拟考试数学理科

2008年深圳市高三年级第一次调研考试数学（理科）2008.3一、 选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个备选项中，有且只有一项是符合要求的1. 设全集，集合，集合，则（）ABCD2. 复数，则复数在复平面内对应的点位于（）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限主视图左视图俯视图3. 如图所示，一个空间几何体的主视图和左视图都是边长为1的正方形，俯视图是一个直径为1的圆，那么这个几何体的全面积为（）ABCD4. 设是定义在上的奇函数，且当时，则（）ABCD5. 已知等差数列的公差，它的第1、5、17项顺次成等比数列，则这个等比数列的公比是（）ABCD6. 函数的零点所在的大致区间是（）ABCD7. 为调查深圳市中学生平均每人每天参加体育锻炼时间（单位：分钟），按锻炼时间分下列四种情况统计：010分钟；1120分钟；2130分钟；30分钟以上有10000名中学生参加了此项活动，下图是此次调查中某一项的流程图，其输出的结果是6200，则平均每天参加体育锻炼时间在020分钟内的学生的频率是（）A3800B6200CD开始输入输出结束8. 如图，已知、，从点射出的光线经直线反向后再射到直线上，最后经直线反射后又回到点，则光线所经过的路程是（）ABCD二、 填空题：本大题共7小题，每小题5分，共30分其中1315小题是选做题，考生只能选做两题，若三题全答，则只计算前两题得分9. 在中，、分别为角、的对边，若，则边的长等于10. 某高三学生希望报名参加某6所高校中的3所学校的自主招生考试，由于其中两所学校的考试时间相同，因此该学生不能同时报考这两所学校该学生不同的报考方法种数是（用数字作答）11. 在中，两直角边分别为、，设为斜边上的高，则，由此类比：三棱锥中的三条侧棱、两两垂直，且长度分别为、，设棱锥底面上的高为，则12. 已知定义在区间上的函数的图像如图所示，对于满足的任意、，给出下列结论： ； ； 其中正确结论的序号是（把所有正确结论的序号都填上）13. （坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，圆的圆心的极坐标是，它与方程（）所表示的图形的交点的极坐标是14. （不等式选讲选做题）已知点是边长为的等边三角形内一点，它到三边的距离分别为、，则、所满足的关系式为，的最小值是15. （几何证明选讲选做题）如图，是的切线，切点为，直线与交于、两点，的平分线分别交直线、于、两点，已知，则，三、 解答题：本大题共6小题，共80分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤16. （本小题满分12分）已知向量，函数（）求的最大值及相应的的值；（）若，求的值17. （本小题满分12分）将一个半径适当的小球放入如图所示的容器最上方的入口处，小球将自由下落小球在下落的过程中，将3次遇到黑色障碍物，最后落入袋或袋中已知小球每次遇到黑色障碍物时，向左、右两边下落的概率都是（）求小球落入袋中的概率；（）在容器入口处依次放入4个小球，记为落入袋中的小球个数，试求的概率和的数学期望18. （本小题满分14分）如图所示的几何体中，平面，是的中点（）求证：；（）求二面角的余弦值19. （本小题满分14分）在平面直角坐标系中，已知点、，是平面内一动点，直线、的斜率之积为（）求动点的轨迹的方程；（）过点作直线与轨迹交于、两点，线段的中点为，求直线的斜率的取值范围20. （本小题满分14分）已知，（），直线与函数、的图像都相切，且与函数的图像的切点的横坐标为1（）求直线的方程及的值；（）若（其中是的导函数），求函数的最大值；（）当时，求证：21. （本小题满分14分）如图，、（）是曲线：（）上的个点，点（）在轴的正半轴上，且是正三角形（是坐标原点）（）写出、；（）求出点（）的横坐标关于的表达式；（）设，若对任意的正整数，当时，不等式恒成立，求实数的取值范围2008年深圳市高三年级第一次调研考试数学（理科）参考答案一、 选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个备选项中，有且只有一项是符合要求的题号12345678答案DAACBBCA二、 填空题：本大题共7小题，每小题5分，共30分其中1315小题是选做题，考生只能选做两题，若三题全答，则只计算前两题得分910111213，14，15，三、解答题：本大题共6小题，共80分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤16. 解：（）因为，所以因此，当，即（）时，取得最大值；（）由及得，两边平方得，即因此，17. 解：（）记“小球落入袋中”为事件，“小球落入袋中”为事件，则事件的对立事件为，而小球落入袋中当且仅当小球一直向左落下或一直向右落下，故，从而；（）显然，随机变量，故，18. 解： 建立如图所示的空间直角坐标系，并设，则（），所以，从而得；（）设是平面的法向量，则由，及，得可以取显然，为平面的法向量设二面角的平面角为，则此二面角的余弦值19. 解：（）依题意，有（），化简得（），这就是动点的轨迹的方程；（）依题意，可设、，则有，两式相减，得，由此得点的轨迹方程为（）设直线：（其中），则，故由，即，解之得的取值范围是20. 解：（）依题意知：直线是函数在点处的切线，故其斜率，所以直线的方程为又因为直线与的图像相切，所以由，得（不合题意，舍去）；（）因为（），所以当时，；当时，因此，在上单调递增，在上单调递减因此，当时，取得最大值；（）当时，由（）知：当时，即因此，有21. 解：（），；（）依题意，得，由此及得，即由（）可猜想：（）下面用数学归纳法予以证明：（1）当时，命