数学解答的检验

数学解答的检验夏文凯（东莞市新星高级中学 ， 广东 523736）无论是日常解题还是高考答题，总有一些学生宁愿花费很多时间和精力去钻研那些毫无思路或困难重重的难题，却不愿认真检查力所能及的问题的解答是否无误，这样，做了的基础题失分较多，难题又没有做出来，以至于赔了夫人又折兵，往往留下终生遗憾，后悔莫及。同时，我们也看到，更多的学生虽能意识到检验的必要性，懂得检验的意义和作用，但是检验的方法欠妥，常常沿着原路做简单的重复，因而易于受定势思维的影响而重蹈覆辙，不能及时地发现问题，鉴别真伪，纠正错误。因此，掌握常用的检验方法，有助于提高检验水平和我们的成绩。那么，如何检验呢？一般来说，有以下几种方法。一、直接检验法直接检验就是围绕原来的解题方法，针对求解的过程及相关结论进行核对、查校、验算等。为配合检查 ，首先应正确使用草稿纸。建议大家将草稿纸叠出格痕，按顺序演算，并标上题号，方便检查对照。如果在草稿上乱画，最后检查时，要到处找草稿或重新来做，浪费很多时间。二、估值检验法估值检验就是将解题的结果与常识上的估值进行比较，发现错误，进行检验。倘若我们在解题中，求出的椭圆的离心率大于1，双曲线的离心率小于1，求出的自行车的速度超过汽车，我们应立即发现其中的错误，因为这些结果违背了数学的基本知识和日常生活的一般常识。三、量纲检验法对具有明显几何及物理意义的结果，从量纲方面加以检验，是一种有效的简单的检验方法。如：正四棱锥的底面积为S，侧面积为Q，则体积为S（Q-S）。 这个答案显然是错误的，因为S和Q的量纲都是面积单位，则S（SQ）的量纲是面积单位的平方而非体积单位。正确的答案为16S(Q2-S2). 量纲检验法在物理、化学中有着更为广泛的应用，同时在对记忆公式、检验错题等方面也有一定的应用，应引起大家足够的重视。 四、对称检验法对称的条件势必导致结论的对称（此结论通常被称为不充足理由律），利用这种对称原理可以对答案进行快速检验。 如：因式分解，（xy+1）（x+1）（y+1）+xy=（xy-y+1）（xy+x+1）结论显然错误。左端关于x、y对称，所以右端也应关于x、y对称，正确答案应为：（xy+1）（x+1）（y+1）+xy=（xy+y+1）（xy+x+1）。 又如：（2004江苏高考）已知椭圆的中心在原点，离心率为，一个焦点是F（-m,0）(m是大于0的常数). ()求椭圆的方程；M2M1Q2Q1F ()设Q是椭圆上的一点，且过点F、Q的直线与y轴交于点M. 若，求直线的斜率.答案是：（1） （2）或0由于根据已知条件作出的图形对称，所以题目的结果也是对称的。如果结果不对称，应马上进行检验。五、验证检验法将解答的结果返回到原题的相关式中进行验证，从而辨别正误，这是一种可靠的检验方法。特别是对于确定值的题目。如：已知集合若求实数a的值。错解：由题意得或2a-1=-3,检验：把a=0代入原题得，与原题不相符，所以舍去。六、条件检验法条件检验是从数学题的条件入手，全面检验已知条件是否得到充分利用，对题设的理解是否准确，隐含的条件是否被开掘，解题的各个环节是否与已知相矛盾。如：设平面向量若的夹角是钝角，则的范围是 。错解： 错因：“的夹角是钝角”是的充分非必要条件，因为当两个向量平行,方向相反时，它们夹角的余弦也是小于0，所以，要考虑，所以正确的答案为七、特殊检验法特殊检验就是对于某些题目的结果，可以抽取特殊的情况进行检验。例如，对于三角形的结论，可以用正三角形或直角三角形来检验，对于圆的一般性结论，可以用某些特殊位置的圆来检验，对于函数的结论，可以取符合题意的特殊函数来研究，对于结论为某一取值范围的问题，可取范围内某一特殊值来检验,等等。如：已知数列的前n项和是，求数列的前n项和错解：当时， 解不等式33-2n0,得n16时才成立，而当n时，=故正确的答案是 八、简化检验法一道复杂的或抽象的问题，检查对它解答是否正确往往比较困难，这时，我们可在不改变原题性质的前提下，考察其简单的具体的情形，从而易于辨析正误。如：（2005年北京高考题）5本不同的书全部分给4个学生，每个学生至少一本，不同的分法种数为（ ） （A）480种 （B）240种 （C）120种 （D）96种错解：先从5本书中取4本分给4个人，有种方法，剩下的1本书可以给任意一个人有4种分法，共有种不同的分法，选A.乙丙丁甲表1乙丙丁甲表2剖析：设5本书为、，四个人为甲、乙、丙、丁.按照上述分法可能如下的表1和表2： 表1是甲首先分得、乙分得、丙分得、丁分得，最后一本书给甲的情况；表2是甲首先分得、乙分得、丙分得、丁分得，最后一本书给甲的情况.这两种情况是完全相同的，而在误解中计算成了不同的情况。正好重复了一次.检验：我们可以把题目变成“把3本不同的书分给2个人，每人至少一本，求不同的分法种数？”按照上面的思路，而实际上我们可以列举出一共只有6种，所以就发现解答有错误。正确的解答为，选B九、数形检验法数是形的抽象概括，形是数的直观表现，数形结合相得益彰。通过代数方法解出的问题，若能联想出几何背景，不妨用几何方法进行直观验证；用几何方法求出的答案，也可用代数方法进行精确验算。如：已知双曲线，过点P(0,1)的直线与双曲线左支交于两点，求直线的斜率的范围。解：设直线的方程为，联立得L2L1，整理得，由题意得解得检验：直线L1过点（0，1）且与渐近线y=x平行，直线L2过点（0，1）且与双曲线的左支相切。画图可知，符合题意的直线夹在直线L1和L2之间，且不包括直线L1和L2,所以。原解错在不等式解错了。十、逻辑检验法要想得到正确的结果，数学解题过程必须做到每一步都是等价变换，如果对数学概念、定义、法则、定理、公式的理解不透彻，都有可能导致错误。所以我们可以检验一下解题的每一步是否符合数学推理的逻辑性。如：函数f(x)=x3+ax2+bx+a2在x=1处有极值10，求a、b的值。错解：fl(x)=3x2+2ax+b,由题意知fl(1)=0,且f(1)=10,即2a+b+3=0,且a2+a+b+1=10,解之得a=4,b=-11 ,或a=-3 b=3剖析：错误的主要原因是把fl(x0)为极值的必要条件当作了充要条件，fl(x0)为极值的充要条件是fl(x0)=0且x0附近两侧的符号相反.，所以后面应该加上：当a=4,b=-11时fl(x)=3x2+8x-11=（3x+11）(x-1),在x=1附近两侧的符号相反， a=4,b=-11当a=-3 b=3时fl(x)=3（x-1）2, 在x=1附近两侧的符号相同，所以a=-3 b=3舍去。 （a=4,b=-11 时，f(x)=x3+4x2-11x+16的图象见下面左图，a=-3 b=3时（f(x)=x3-3x2+3x+|9的图象见下面右图。） 十一、多解检验法多种解法比一种解法更使人放心，也更容易发现存在问题。当一道题解完后，特别是解法比较冗长、曲折，自己感到把握不大的时候，最好进行再思考，往往会闪出好念头，获得好方法，用新颖的方法再解后，有错则纠，无错则形成双保险。 如：（2006福建高考）如图，四面体ABCD中，O、E分别是BD、BC的中点，（I）求证：平面BCD；（II）求异面直线AB与CD所成角的大小；（III）求点E到平面ACD的距离。第（III）问，有的同学先作出了点到面的距离，然后求，比较复杂。有的同学用向量做，比前者稍微简单一些，实际上，也可以用体积法求这个距离。解：（I）（II）