仿真三数学理

普通高等学校招生全国统一考试仿真试卷（三）数学理工农医类本试卷分第卷(选择题共60分)和第卷(非选择题共90分),考试时间为120分钟,满分为150分.第卷（选择题共60分）注意事项：1.答第卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂在答题卡上.2.每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，不能答在试题卷上.3.考试结束，监考人将本试卷和答题卡一并收回.参考公式:如果事件A、B互斥，那么P（A+B）=P（A）+P（B）如果事件A、B相互独立，那么P（AB）=P（A）P（B）如果事件A在一次试验中发生的概率是p，那么n次独立重复试验中恰好发生k次的概率Pn(k)=pk(1p)nk球的表面积公式S=4R2,其中R表示球的半径球的体积公式V=R3,其中R表示球的半径一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.若a1且ax+logayay+logax,则x、y之间的关系为A.xy0B.x=y=0C.yx0D.不能确定,与a取值有关解析: 构造函数f(x)=logaxax,a1,显然f(x)是(0,+)上的增函数,由ax+logayay+logaxlogaxaxlogayay,xy0.答案: A2.复数z满足条件:|2z+1|=|zi|,那么z对应点的轨迹是A.圆B.椭圆C.双曲线D.抛物线解析: 解法一:原等式化为2|z+|=|zi|,即动点到两定点的距离之比为不等于1的常数,所以动点轨迹是圆.解法二:可设z=x+yi(x、yR),代入已知等式计算可得3x2+3y2+4x+2y=0,此方程为圆的方程.答案: A3.已知直线ax+by+c=0(abc0)与圆x2+y2=1相离,则以|a|、|b|、|c|为边的三角形是A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.等腰三角形解析: 直线ax+by+c=0与圆x2+y2=1相离,1.c2a2+b2.答案: C4.如图,在三棱锥PABC中,侧面PAC与底面ABC所成的二面角为120,ABC为边长是2的正三角形,PA=3,若PBAC,则P到底面ABC的距离等于A.B.C.2D.2解析: 作PO面ABC,O为垂足,连结OB交AC于D.连结PD,PBAC,ACBD.AC面PDB.ACPD.PDB为侧面PAC与底面ABC所成的二面角.PDB=120,PDO=60.ABC为边长是2的正三角形,AD=1.又PA=3,PD=2.在POD中,PO=PDsin60=2=.答案: A5.若=2,则ab等于A.6B.6C.16D.10解析: 易知x2+ax+b含x2的因式,可设x2+ax+b=(x2)(x+c),则原式=2,即=2,c=4x2+ax+b=(x2)(x+4)a=2,b=8.答案: C6.关于甲、乙、丙三人参加高考的结果有下列三个正确的判断:若甲未被录取,则乙与丙都被录取;乙与丙中必有一人未被录取;或者甲未被录取,或者乙被录取.则三人中被录取的是A.甲B.丙C.甲与丙D.甲与乙解析: 解法一:设A、B、C分别表示“甲被录取”“乙被录取”“丙被录取”三个命题.则判断为非AB且C;判断为非B或非C为真;判断为非A或B为真.的逆否命题为非B或非CA,结合可知A为真,即甲被录取.由A真可知非A为假,结合可知B为真,即乙被录取.解法二:根据判断.若甲未被录取,则乙与丙都被录取,这与矛盾.故甲被录取.由于正确,故“甲未被录取”与“乙被录取”中至少一个正确.由于“甲未被录取”不正确,故“乙被录取”正确.答案: D7.定义两种运算:ab=;ab=,则函数f(x)=是A.奇函数B.偶函数C.奇函数且偶函数D.非奇非偶函数解析: 依定义:f(x)=|x|2且x0,f(x)=为奇函数.答案: A8.已知当x、yR+时,f(xy)=f(x)+f(y),若x1,x2,x2005R+,且f(x1x2x2005)=8,则f(x12)+f(x22)+f(x20052)的值为A.4B.8C.16D.32解析: 由已知可得f(x1)+f(x2)+f(x2005)=8,又f(x12)+f(x22)+f(x20052)=2f(x1)+f(x2)+f(x2005)=28=16.答案: C9.椭圆以正方形ABCD的对角顶点A、C为焦点,且经过各边的中点,则椭圆的离心率为A.()B.(2)C.()D.(2)解析: 设正方形ABCD的边为长1,则AC=2c=,c=,2a=|PA|+|PC|=+, a=+,e=().答案: C10.图中的曲线是以原点为圆心,1为半径的圆的一部分,则这一曲线的方程是A.(x+)(y+)=0B.(x)(y)=0C.(x+)(y)=0D.(x)(y+)=0解析: 曲线是右半单位圆和下半单位圆的并集,右半单位圆方程是x=0(x0);下半单位圆方程是y+=0(y0).答案: D11.一元二次方程x2+bx+c=0中的b、c分别是骰子先后两次掷出的点数,则该方程有实数根的概率为A.B.C.D.解析: 一枚骰子先后掷两次,其基本事件(b,c)的总数是36,且是等可能的.方程有实根的充分必要条件是b24c0,即c,满足该条件的基本事件的个数为:b=1时有0个;b=2时有1个;b=3时有2个;b=4时有4个;b=5时有6个;b=6时有6个,共19个.答案: C12.若函数f(x)=Asin(x+)(0,A0,0的部分图象如下图所示,则f(0)+f(1)+f(2)+f(2005)的值为A.0B.1C.2D.1解析: 由题意有A=,sin(+)=0,sin(+)=,=,=,f(x)=sin(+),最小正周期T=4,f(0)=1,f(1)=1,f(2)=1,f(3)=1.原式=f(0)+f(1)=2.答案: C普通高等学校招生全国统一考试仿真试卷数学理工农医类（三）第卷（非选择题共90分）注意事项：1.第卷共6页，用钢笔或圆珠笔直接答在试题卷上.2.答卷前将密封线内的项目填写清楚.二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分.把答案填在题中横线上）13.函数f(x)=ax3+bx2+cx+d的部分数值如下:x3210123456y802404001660144296则函数y=lgf(x)的定义域为_.解析: 由f(x)的解析式可知f(x)图象连续及f(x)的单调性可确定,在(1,1)和(2,+)上均有f(x)0.答案: (1,1)(2,+)14.在排球比赛中,使用的规则是“五局三胜”制,即最多打五局,有一个队胜三局则为胜方,在每局比赛中,A、B两队获胜的概率分别为、,则最终B队获胜的概率是_.解析: B队获胜的形式可以有三种:32获胜,31获胜,30获胜.32获胜,必须打满5局,且最后一局是B队胜,故32获胜的概率为P=()2()2=.31获胜,只需打4局,且最后一局是B队胜,故31获胜的概率为P=()2=.30获胜,则必须第13局B均胜才行,故30获胜的概率为P=()3=.B队获胜的概率为+=.答案: 15.定义非空集合A的真子集的真子集为A的“孙集”,则集合1,3,5,7,9的孙集的个数为_.解析: +1=26.答案: 2616.有下列4个命题:在(2x3)7的展开式中,常数项是第6项;在ABC中,若AB,则cos2Acos2B;若二次函数f(x)=x2x+a满足f(m)0,则f(1m)0;若空间四边形ABCD的各边及两条对角线长均为a,则2=a2.以上命题中真命题的序号为_.解析: 展开式的通项公式为Tr+1=(1)r27r(r=0,1,2),令21r=0得r=6,即常数项为T7,假.在ABC中,ABab2RsinA2RsinB0sin2Asin2Bcos2Acos2B,真.由抛物线y=f(x)=x2x+a的对称性知点(m,f(m)和点(1m,f(1m)关于直线x=对称,f(1m)=f(m)0,真.连结空间四边形ABCD的对角线ACBD后,得棱锥ABCD是棱长为a的正四面体,在侧面ABC内, 与的夹角为120,2=a2,假.答案: 三、解答题（本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.(本小题满分12分)已知a=(1,2),b=(m,n),其中mn+1,若ab,试求(a+b)(a2b)的最大值.解:aa,ab=0,m+2n=0,m=2n.由mn+1得2nn+1,n.又(a+b)(a2b)=|a2|2|b|2=52(m2+n2)=510n2.10分(a+b)(a2b)的最大值为510()2=.12分18.(本小题满分12分)函数f(x)=(sinx+acosx)(aR,0),已知f(x)=f(x),f(x)=f(x+).(1)求f(x);(2)若m24n0,m、nR,求证:“|m|+|n|1”是“方程f2(x)+mf(x)+n=0在(,)内有两个不等的实根”的充分不必要条件.(1)解:由f(x)=f(x+),知f(x)的周期为2,即f(x)=f(x+2),=1.又f(x)=f(x),f(0)=f(),即(sin0+acos0)=(sin+cos),解得a=.f(x)=(sinx+cosx)=sin(x+).5分(2)证明:令f(x)=t,g(t)=t2+mt+n.由|m|+|n|1,得|m+n|m|+|n|1,m+n1.同理由|mn|m|+|n|1,得mn1.显然g(1)=m+n+10,g(1)=1m+n0.又(1,1)(|m|m|+|n|1),=m24n0,二次方程t2+mt+n=0的两个实根在(1,1)中.反之,令m=,n=,则方程t2+t+=0在t(1,1)上有两个不等实根,即方程sin2(x+)+sin(x+)+=0在(,)内有两个不等的实根.但|m|+|n|=+=1,故“|m|+|n|1”是“方程f2(x)+mf(x)+n=0在(,)内有两个不等实根”的充分不必要条件.12分19.(本小题满分12分)如图,PA平面AC,四边形ABCD是矩形,E、F分别是AB、PD的中点.(1)求证:AF平面PCE;(2)若二面角PCDB为45,AD=2,CD=3,求点F到平面PCE的距离;(3)在(2)的条件下,求PC与底面所成的角.解法一:(1)证明:取PC中点M,连结ME、MF,则MFCD,MF=CD.又AECD,AE=CD,AEMF且AE=MF.四边形AFME是平行四边形.AFEM.AF平面PCE,AF平面PCE.4分(2)解:PA平面AC,CDAD,CDPD.PDA是二面角PCDB的平面角,即PDA=45.PAD是等腰直角三角形.AFPD.又AFCD,AF平面PCD,而EMAF,EM平面PCD.又EM平面PEC,面PEC面PCD.在平面PCD内过F作FHPC于H,则FH就是点F到平面PCE的距离.由已知,PD=2,PF=,PC=,PFHPCD,=.FH=.8分(3)解:PA平面ABCD,AC是PC在底面上的射影.PCA就是PC与底面所成的角.由(2)知PA=2,PC=,sinPCA=,即PC与底面所成的角是arcsin.12分解法二:(1)证明:取PC中点M,连结EM,=+=+=+(+)=+=+ +=,AFEM.又EM平面PEC,AF平面PEC,AF平面PEC.4分(2)解:以A为坐标原点,分别以、所在直线为x、y、z轴建立坐标系.PA平面AC,CDAD,CDPD.PDA是二面角PCDB的平面角,即PDA=45.A(0,0,0)、P(0,0,2)、D(0,2,0)、F(0,1,1)、E(,0,0)、C(3,2,0).设平面PCE的法向量为n=(x,y,z),则n,n,而=(,0,2),=(,2,0),x+2z=0,且x+2y=0.解得y=x,z=x.取x=4,得n=(4,3,3).又=(0,1,1),故点F到平面PCE的距离为d=.8分(3)解:PA平面ABCD,AC是PC在底面上的射影.PCA就是PC与底面所成的角.=(3,2,0),=(3,2,2).cosPCA=,sinPCA=,即PC与底面所成的角是arccos.12分20.(本小题满分12分)如图,给出了一个三角形数阵,已知每一列的数成等差数列,从第3行起,每一行的数成等比数列,每一行的公比都相等.记第i行第j列的数为aij(ij,i、jN*).,(1)试写出aij关于i、j的表达式,并求a83;(2)设这个数阵共有n行,求数阵表中的所有数之和.解:(1)由条件易知第i行的第1个数为ai1=+(i1)=,第i行的第j个数为aij=()j1,a83=()2=.6分(2)设数阵中第n行的所有数之和为An,则An=(1+)=.设所求数之和为P,则P=(1+2+n) (121+222+n2n).设S=121+222+323+n2n,则=122+223+324+n2(n+1)=n2(n+1)=1,则P=(1),=+1=+.12分21.(本小题满分12分)已知A(2,0)、B(2,0),动点P与A、B两点连线的斜率分别为kPA和kPB,且满足kPAkPB=t(t1且t0).(1)求动点P的轨迹方程C;(2)当t0时,曲线C的两焦点为F1、F2,若曲线C上存在点Q使F1QF2120,求t的取值范围.解:(1)设点P坐标为(x,y),依题意得=ty2=t(x24)+=1.轨迹C的方程为+=1(x2).5分(2)当1t0时,曲线C为焦点在x轴上的椭圆,又|PF1|=r1,|PF2|=r2,则r1+r2=2a=4.在F1PF2中,|F1F2|=2c=4.F1PF2=120,由余弦定理,得4c2=r12+r222r1r2cos120=r12+r22+r1r2=(r1+r2)2r1r2(r1+r2)2()2=3a2,16(1+t)12.t.当t0时,曲