浙江杭州八校联盟高二数学上学期期中联考

浙江省杭州八校联盟2019-2020学年高二数学上学期期中联考试题（含解析）一、选择题（本大题共10小题）1. 在中，a、b、c分别是角A、B、C所对的边，已知，则边长A. B. C. D. 2. 等比数列中，已知，则A. 3B. 7C. 8D. 93. 下列说法正确的是A. 当时，B. 当时，C. 当时，的最小值为2D. 当时，无最大值4. 关于x的不等式的解集是A. B. C. D. 5. 下列命题中为假命题的是A. 垂直于同一直线的两个平面平行B. 垂直于同一直线的两条直线平行C. 平行于同一直线的两条直线平行D. 平行于同一平面的两个平面平行6. 若直线l过点且在两条坐标轴上的截距相等，则直线l的斜率k是A. 或B. 或C. D. 或7. 等差数列的公差为d，前n项和为，若，则当取得最大值时，A. 7B. 8C. 7和8D. 158. 如图，在正四面体ABCD中棱长均相等的四面体叫做正四面体，M是线段BC的中点，P是线段AM上的动点，则直线DP和BC所成角的大小A. B. C. D. 与P的位置有关9. 设a、b、c分别为中、对边的边长，则直线与直线的位置关系A. 平行B. 重合C. 相交但不垂直D. 垂直10. 平行四边形ABCD中，将绕直线BD旋转至与面BCD重合，在旋转过程中不包括起始位置和终止位置，有可能正确的是A. B. C. D. 二、填空题（本大题共6小题）11. 已知数列的通项公式，则_，前2019项和_12. 已知各个顶点都在同一球面上的长方体的长、宽、高分别为3、4、5，则这个球的半径为_，球的表面积为_13. 一个锥体的三视图如图所示，则此几何体的侧面积为_，体积为_14. 在中，已知，M是BC的中点，则_15. 已知两条平行直线：，：间的距离为2，则_16. 记y，表示x、y、z中的最小值已知，则的最大值为_三、解答题（本大题共5小题）17. 在中，a、b、c分别是角A、B、C所对的边，且求证：角B、A、C成等差数列；若，求a的最小值18. 已知集合，集合求A；若，求a的取值范围19. 在平面直角坐标系中，直线和直线的交点为P直线l经过点P，且直线l与直线垂直，求直线l的方程；直线m经过点P，且直线m与直线平行，求直线m的方程；若直线过点P，求的最小值20. 在四棱锥中，平面ABCD，底面ABCD是直角梯形，且，点E是线段PD的中点求证：平面PAB；求证：平面平面PCD；当直线PC与平面PAD所成的角大小为时，求线段PA的长21. 已知数列的前n项和记为，且满足n、成等差数列求，的值，并证明：数列是等比数列；证明：答案和解析1.【答案】B【解析】解：，由正弦定理，可得故选：B由已知利用正弦定理即可求解本题主要考查了正弦定理在解三角形中的应用，属于基础题2.【答案】D【解析】解：依题意，数列为等比数列，所以，即，故选：D根据等比中项的性质，即可得到所求本题考查了等比中项的性质，主要考查对等比数列性质的应用能力，属于基础题3.【答案】A【解析】解：当时，由基本不等式可得，当且仅当即时取等号；故A正确；当时，故B错误；当时，由对勾函数的单调性可知，在上单调递增，故当时，函数取得最小值，故C错误；当时，函数单调递增，故当时函数取得最大值0，故D错误故选：A当时，由基本不等式可得，当时，当时，由对勾函数的单调性可知，在上单调递增，当时，函数单调递增，故当时函数取得最大值，从而可求本题主要考查了基本不等式在最值求解中的应用，及利用函数的单调性求解函数的最值，属于基础试题4.【答案】C【解析】解：，或，或，不等式的解集为或故选：C，根据，可得或，然后解出不等式即可本题考查了绝对值不等式的解法，考查了分类讨论思想和计算能力，属基础题5.【答案】B【解析】解：由面面平行的判定定理可得，垂直于同一直线的两个平面平行，故A正确；这三条直线在同一平面内，方可，故B错误；由平行公理可得，平行于同一直线的两条直线平行，故C正确；平行于同一平面的两个平面平行，根据平行公理知D正确；故选：B根据平行公理，平行线的定义，以及面面平行的判定定理，对各选项分析判断即可求解本题考查空间线面和线线、面面的位置关系的判断，考查平行和垂直的判断和性质，考查空间想象能力和推理能力，属于基础题6.【答案】A【解析】解：直线l经过原点时，可得斜率直线不经过原点时，直线l过点且在两条坐标轴上的截距相等，经过点，综上可得：直线l的斜率或3故选：A通过分类讨论，利用斜率计算公式即可得出本题考查了斜率计算公式、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题7.【答案】C【解析】解：依题意，即，又数列中，所以数列的前7项大于0，所以当取得最大值时，或，故选：C根据，可得，进而根据已知条件可得当取得最大值时n的值本题考查了等差数列的单调性，等差数列的前n项和，考查分析解决问题的能力，推理能力和计算能力，属于基础题8.【答案】A【解析】【分析】本题考查一条直线与平面垂直的判定定理，属于中等题连接DM，可以证到，从而证到平面DMP，所以，就可以知道所成角为90度【解答】解：连接DM四面体是正四面体，M是BC的中点，是等边三角形、是底边为BC的等腰三角形，平面DMP，平面DMP，平面DMP，直线DP与BC所成角为故选：A9.【答案】D【解析】解：，由正弦定理可知恒成立直线与直线的垂直故选：D由相互垂直的直线斜率之间关系、正弦定理即可判断出位置关系本题考查了相互垂直的直线斜率之间关系、正弦定理，考查了推理能力与计算能力，属于基础题10.【答案】B【解析】解：在A中，不可能，若，则AB与CD共面，在旋转过程中不可能共面故A错误；在B中，有可能故B正确；在C中，但此时是终止位置，不正确在D中，如图，在旋转过程中，点A在平面BCD上的投影的轨迹即为线段AE，在旋转过程中AC与BD的夹角钝角部分会越来越大，选项不可能故选：B利用空间中线线、线面、面面间的位置关系直接求解本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题11.【答案】 【解析】解：数列的通项公式，所以所以故答案为：，直接利用数列的通项公式求出结果，进一步利用裂项相消法求出数列的和本题考查的知识要点：数列的通项公式的应用，裂项相消法在数列求和中的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型12.【答案】 【解析】解：个顶点都在同一球面上的长方体的长、宽、高分别为3、4、5，则该球体为长方体的外接球体，设球的半径为r，则，解得，故球的表面积为故答案为：，直接利用长方体和外接球体之间的关系建立关系式，进一步求出半径和球的表面积本题考查的知识要点：长方体和外接球体的关系，球体的表面积公式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型13.【答案】80 64【解析】解：由三视图还原原几何体如图，可知该几何体为正四棱锥，底面边长为8，斜高为5，则此几何体的侧面积为；体积故答案为：80；64由三视图还原原几何体，可知该几何体为正四棱锥，底面边长为8，斜高为5，再由侧面积与体积公式求解本题考查由三视图求面积、体积，关键是由三视图还原原几何体，是中档题14.【答案】【解析】解：由题中，所以由余弦定理得，如图所示，是BC的中点，即中线AM的长为故答案为：先由余弦定理求出cosC；再利用中点的定义和余弦定理，即可求出中线AM的长本题主要考查了余弦定理，考查了计算能力和转化思想，属于中档题15.【答案】22或【解析】解：两条平行直线：，：，则，解得；所以直线：，：；则两平行线间的距离为，解得或故答案为：22或根据两直线平行求出a的值，再根据两平行线间的距离列方程求出b的值本题考查了两直线平行的条件和平行线之间的距离计算问题，是基础题16.【答案】【解析】解：，则，而，可得a，最多有一个大于等于，则，而，可得b，最多有一个大于等于，综上，则的最大值为，故答案为由，讨论当时，当时，由不等式的缩放和基本不等式可求解本题考查新定义的理解和运用，考查分类讨论思想方法，以及不等式的性质，是一道中档题17.【答案】证明：在中，a、b、c分别是角A、B、C所对的边，且整理得，由于，所以，所以，所以角B、A、C成等差数列解：由于，所以，所以，所以，解得【解析】直接利用余弦定理的应用求出结果利用余弦定理和基本不等式和三角形的面积公式的应用求出结果本题考查的知识要点：正弦定理余弦定理和三角形面积公式的应用，基本不等式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型18.【答案】解：集合，集合当，即时，解得当，即时，符合题意，当，即时，解得综上所述，a的取值范围是【解析】由一元二次不等式的性质能求出集合A由集合，由此利用分类讨论思想能求出a的取值范围本题考查集合的求法，考查实数的取值范围的求法，考查分类讨论思想、集合性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题19.【答案】解：联立方程可得，即，由题意可知直线l的斜率，直线l经过点，直线l的方程为即，设直线m的方程为，由于直线m过，所以即，直线过，所以，即，当且仅当即时取等号，的最小值【解析】联立方程可得，即，由题意可求直线l的斜率k，由点斜式方程可求；可设直线m的方程为，然后由直线m过，代入可求C，进而可求直线方程；由直线过，可得，然后结合，展开后利用基本不等式即可求解本题考查了直线系方程的应用及利用基本不等式在求最值中的应用，属于中档题20.【答案】证明：取线段PA的中点F，连接EF、BF，则，且，所以四边形BCEF是平行四边形，所以；又平面PAB，平面PAB，所以平面PAB；证明：由题意得，又，所以；又平面ABCD，所以，且，所以平面PAC，又平面PCD，所以平面平面PCD；解：取线段AD中点H，连接CH、PH，可得，且，所以平面PAD；所以是直线PC与平面PAD所成的角，所以；所以；又，所以【解析】取线段PA的中点F，连接EF、BF，得出，四边形BCEF是平行四边形，即证，得出平面PAB；由题意得出，可证平面PAC，从而证明平面平面PCD；取线段AD中点H，连接CH、PH，可得，即证平面PAD；得出是直线PC与平面PAD所成的角，从而求得PA的值本题考查了空间中的平