福建厦门双十中学高三数学模拟理

福建省厦门双十中学2019届高三数学模拟试题 理（含解析）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合，则（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】由一元二次不等式的解法化简集合，由补集的定义可得，根据交集的定义可得结果.【详解】由题意知，可得 或，因为集合，所以 .故选C.【点睛】研究集合问题，一定要抓住元素，看元素应满足的属性.研究两集合的关系时，关键是将两集合的关系转化为元素间的关系，本题实质求满足属于集合且不属于集合的元素的集合.2.设是虚数单位，条件复数是纯虚数，条件，则是的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】复数是纯虚数，必有利用充分条件与必要条件的定义可得结果.【详解】若复数是纯虚数，必有所以由能推出；但若,不能推出复数是纯虚数. 所以由不能推出.，因此是充分不必要条件,故选A.【点睛】本题主要考查复数的基本概念以及充分条件与必要条件的定义，属于简单题. 判断充要条件应注意：首先弄清条件和结论分别是什么，然后直接依据定义、定理、性质尝试.对于带有否定性的命题或比较难判断的命题，除借助集合思想化抽象为直观外，还可利用原命题和逆否命题、逆命题和否命题的等价性，转化为判断它的等价命题；对于范围问题也可以转化为包含关系来处理.3.设，函数在区间上是增函数，则（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】利用二次函数的性质，配方后可得，由函数的单调性可得结果.【详解】因为，函数在区间上是增函数，所以 .故选C.【点睛】本题主要考查二次函数的性质、函数单调性的应用，属于简单题. 函数单调性的应用比较广泛，是每年高考的重点和热点内容归纳起来，常见的命题探究角度有：（1）求函数的值域或最值；（2）比较两个函数值或两个自变量的大小；（3）解函数不等式；（4）求参数的取值范围或值4.函数的部分图象可能是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】由奇偶性排除，由特殊点排除，从而可得结果.【详解】因为，所以是偶函数，图象关于轴对称，可排除选项；取，则，可排除，故选C.【点睛】本题通过对多个图象的选择考查函数的图象与性质，属于中档题.这类题型也是近年高考常见的命题方向，该题型的特点是综合性较强、考查知识点较多，但是并不是无路可循.解答这类题型可以从多方面入手，根据函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、特殊点以及时函数图象的变化趋势，利用排除法，将不合题意的选项一一排除.5.二次函数的图象如图所示，则定积分（ ）A. B. C. 2D. 3【答案】B【解析】【分析】由图象可知，二次函数的零点为1，2，方程的根为1，2，由韦达定理求出的值，利用微积分基本定理可得结果.【详解】由图象可知，二次函数的零点为1，2即方程的根为1，2，由韦达定理可得. 故选B.【点睛】本题考查二次函数的图象与性质以及方程的根与函数零点的关系，微积分基本定理的应用，意在考查综合应用所学知识解答问题的能力，属于简单题.6.已知是定义在上奇函数，且对任意的，都有.当时，则（ ）A. B. C. 0D. 1【答案】C【解析】【分析】根据条件判断函数的周期性，利用函数奇偶性和周期性的关系进行转化求解即可【详解】设f（x）是定义在R上的奇函数，且对任意实数x都有f（x+3）=-f（-x）=f（x），函数f（x）是周期为3的周期函数，当时， ，f（2019）=f（6733+0）=f（0）=0f（2020）=f（6733+1）=f（1）=0，.【点睛】本题主要考查函数值的计算，根据条件判断函数的周期性是解决本题的关键7.若函数图象与函数的图象关于原点对称，则（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】设是函数的图象上任意一点，利用在函数的图象上，可得函数的解析式.【详解】设是函数的图象上任意一点，其关于原点对称的点是 .因为点 在函数的图象上，所以可得故选D.【点睛】本题主要考查函数的解析式以及函数图象的对称性，意在考查灵活应用所学知识解答问题的能力，属于中档题.8.若抛物线在点处的切线与两条坐标轴围成的三角形的面积是8，则此切线方程是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】利用导数求得切线斜率，根据点斜式可得切线方程，求得切线与坐标轴的交点，利用三角形面积公式可得结果.【详解】由得，则.抛物线在点处的切线方程是令，则 令，则. 于是 解得所以切线方程是故选B.【点睛】求曲线切线方程的一般步骤是：（1）求出在处的导数，即在点 出的切线斜率（当曲线在处的切线与轴平行时，在 处导数不存在，切线方程为）；（2）由点斜式求得切线方程.9.设，若函数在上的最大值是3，则其在上的最小值是（ ）A. 2B. 1C. 0D. 【答案】A【解析】【分析】设则，利用二次函数的性质求解即可.【详解】设则.因为所以当时，；当时，即于是故选A.【点睛】本题主要考查指数函数的性质以及二次函数在闭区间上的最值，属于中档题. 二次函数在闭区间上的最值主要有三种类型：轴定区间定、轴动区间定、轴定区间动，不论哪种类型，解决的关键是考查对称轴与区间的关系，当含有参数时，要依据对称轴与区间的关系进行分类讨论.10.设，则的大小关系是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】利用作差法，分别判断与的符号即可得结果.【详解】因为， 所以可得因为，所以递减，所以 可得，故选D.【点睛】本题的考点是比较法，考查了作差法比较大小，解题的关键是理解比较法的内涵，本题的难点是判断差的符号，一般采取把差变为几个因式的乘积或者化为完全平方式的形式，从而确定出差的符号.11.已知函数在上单调递减，则实数的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】求出，函数在上单调递减，等价于恒成立，由可得,从而可得结果.【详解】函数在上单调递减，等价于恒成立，因为,在上恒成立,因此,.故选B.【点睛】利用单调性求参数的范围的常见方法： 视参数为已知数，依据函数的图象或单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较求参数需注意若函数在区间上是单调的，则该函数在此区间的任意子集上也是单调的; 利用导数转化为不等式或恒成立问题求参数范围12.已知函数（是自然对数的底数）有极小值0，则其极大值是（ ）A. 或B. 或C. 或D. 或【答案】A【解析】【分析】求出，利用导数判断函数的单调性，由单调性可得极小值，利用极小值求得的值，从而可得函数的极大值.【详解】由题意知， .由得，因为，所以函数在区间和内单调递增，在区间内单调递减. 于是函数的极小值为，即 解得或当时，极大值为.当时，的极大值为.故选A.【点睛】求函数极值的步骤：(1) 确定函数的定义域；(2) 求导数；(3) 解方程求出函数定义域内的所有根；(4)检查在的根左右两侧值的符号，如果左正右负（左增右减），那么在处取极大值，如果左负右正（左减右增），那么在处取极小值. （5）如果只有一个极值点，则在该处即是极值也是最值.二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.设，命题“若，则”的逆否命题是_【答案】若，则【解析】【分析】直接利用逆否命题的定义求解即可.【详解】因为逆否命题是将原命题的条件与结论否定后，再互换否定后的条件与结论，所以“若，则”的逆否命题是，“若，则” ，故答案为若，则.【点睛】本题主要考查逆否命题的定义，属于基础题. 要注意四种命题关系的相对性，一旦一个命题定为原命题，也就相应地确定了它的“逆命题”“否命题”“逆否命题”，注意利用“原命题”与“逆否命题”同真假.14.用小于号连接和，结果是_【答案】【解析】【分析】构造函数,利用导数可证明在内单调递减，从而可得结果.【详解】构造函数因为，所以在内单增，在内单调递减，又因为,所以.故答案为.【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性，利用单调性比较大小，属于中档题.利用导数求单调区间的步骤：求出，在定义域内，分别令求得的范围，可得函数增区间，求得的范围，可得函数的减区间.15.若函数的值域是，其中是自然对数的底数，则实数的最小值是_【答案】【解析】【分析】利用导数可求得当时，函数的值域是；当时，函数的值域是，从而可得 ，进而可得结果.【详解】当时，此时函数在上递增，值域是.当时，是减函数，其值域是.因为函数的值域是，所以 .于是解得，即实数的最小值是.故答案为.【点睛】本题主要考查分段函数的解析式与应用，以及利用导数求函数的最值与转化与划归思想的应用，意在考查对基础知识掌握的熟练程度以及灵活应用所学知识解答问题的能力，属于中档题.16.函数在上的零点有_个.【答案】5【解析】【分析】令可得在上递减，在上递增，令，其中 ,可得在 上递减，且，因为,在上有两个零点,而在 上的图象与函数 的图象有3个交点，从而可得结果.【详解】由 得，.令则 . 在 上单减，在 上单增. 令，其中 ,则，在 上单减，且，所以存在唯一的，使得 ,因此函数在 上单增，在上单减,又因为,所以在上有两个零点,而在 上的图象与函数 的图象有3个交点. 函数在上的零点有5个，故正确答案是5.【点睛】本题主要考查函数的零点以及导数在研究函数性质的应用，属于难题. 函数的性质问题以及函数零点问题是高考的高频考点，考生需要对初高中阶段学习的十几种初等函数的单调性、奇偶性、周期性以及对称性非常熟悉；另外，函数零点的几种等价形式：函数的零点函数在轴的交点方程的根函数与的交点.三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.已知关于的函数，其中.（）当时，求满足的实数的取值范围；（）若当时，函数的图象总在直线的上方，求的整数值.【答案】（）；（）.【解析】【分析】（）当时， , 即 ,从而可得结果；（）在 上恒成立,等价于在 上恒成立. 由在上为单增函数，可得，结合为整数，从而可得结果.【详解】（）当时， , 即 故实数的取值范围是 （）在 上恒成立, 即在 上恒成立. 因为函数在 上均为单减函数，所以在上为单增函数，最大值为 . 因此解得.故实数的整数值是.【点睛】不等式恒成立问题常见方法： 分离参数恒成立(即可)或恒成立（即可）； 数形结合( 图象在 上方即可)； 讨论最值或恒成立； 讨论参数.18.设，证明:函数在区间内单调递减的充要条件是.【答案】见解析【解析】分析】充分性：两种情况，利用一次函数的单调性证明；，判断二次函数的对称轴位置，利用二次函数的单调性证明即可；必要性：当 时，在内单减，在内单增，不满足在内单减，结合充分性的证明过程可得结果.【详解】先证充分性.若，则或（1）当时，在内单减. （2）当 时，在内单减，所以在内单减. 因此时，在内单减. 再证必要性.若函数在区间内单调递减，分、和三类讨论.上面已证时，在内单减.当 时，在内单减，在内单增，不满足在内单减. 因此函数在区间内单调递减，则.综上可知，函数在区间内单调递减的充要条件是【点睛】本题主要考查充分条件与必要条件，以及二次函数的单调性与分类讨论思想的应用，属于中档题. 分类讨论思想是解决高中数学问题的一种重要思想方法，是中学数学四种重要的数学思想之一，尤其在解决含参数问题发挥着奇特功效，大大提高了解题能力与速度.运用这种方法的关键是将题设条件研究透，这样才能快速找准突破点. 充分利用分类讨论思想方法能够使问题条理清晰，进而顺利解答，希望同学们能够熟练掌握并应用于解题当中.19.已知函数，设命题“的定义城为”；命题“的值域为”.（）若命题为真，求实数的取值范围；（）若命题为真命题，且为假命题，求实数的取值范围.【答案】（）； （）【解析】【分析】（）命题为真，等价于或，解得或；（）命题为真， 等价于或解得，由为真命题，为假命题，可得一真一假，分两种情况讨论，对于真假以及假真分别列不等式组，分别解不等式组，然后求并集即可求得实数的取值范围.【详解】（）命题为真，即的定义域是，等价于恒成立，等价于或解得或故实数的取值范围为 . （）命题为真，即的值域是，等价于取遍所有的正数，即值域为，等价于或解得若为真命题，且为假命题，则“真假”或“假真”，即或，解得或.故实数的取值范围是【点睛】本题考查函数的定义域、值域二次函数的图象与性质以及逻辑联接词的应用，属于简答题.对于定义域为求参数的题型，主要有三种：（1）根式型， ，只需 ；（2）对数型，只需，（3）分式型，只需.20.设是自然对数的底数，我们常常称恒成立不等式（，当且仅当时等号成立)为“灵魂不等式”，它在处理函数与导数问题中常常发挥重要作用.（1）试证明这个不等式；（2）设函数，若在内恒成立，求实数的值.【答案】（）见解析；（）.【解析】【分析】（）令则可得在内单减，在内单增， 因此从而可得结果；（），当时，.由灵魂不等式定义可得，.可得，当时，.由灵魂不等式得，因此，从而可得结果.【详解】（）令则显然在内单减，在内单增， 因此于是，即，当且仅当时等号成立. （）就是.当时，等号成立, 当时，.由灵魂不等式得，.因此.当时，.由灵魂不等式得，.因此.综上可知，实数的值是.【点睛】不等式证明问题是近年高考命题的热点，利用导数证明不等主要方法有两个，一是比较简单的不等式证明，不等式两边作差构造函数，利用导数研究函数的单调性，求出函数的最值即可；二是较为综合的不等式证明，要观察不等式特点，结合已解答的问题把要证的不等式变形，并运用已证结论先行放缩，然后再化简或者进一步利用导数证明.21.某公司计划投资开发一种新能源产品，预计能获得10万元1000万元的收益.现准备制定一个对开发科研小组的奖励方案:奖金(单位:万元)随收益(单位:万元)的增加而增加，且奖金总数不超过9万元，同时奖金总数不超过收益的.（）若建立奖励方案函数模型，试确定这个函数的定义域、值域和的范围；（）现有两个奖励函数模型:；.试分析这两个函数模型是否符合公司的要求?请说明理由.【答案】（）； （）函数符合公司要求.【解析】【分析】（）根据自变量的实际意义可得，值域是，；（）当时，的最大值是， 不符合要求.当时， 在定义域上为增函数，最大值为9，构造函数，利用导数可证明，符合题意.【详解】（），值域是，.（）当时，的最大值是， 不符合要求.当时， 在定义域上为增函数，最大值为9.令，则所以即.故函数符合公司要求.【点睛】本题主要考查阅读能力、数学建模能力和化归思想以及导数的应用，属于中档题.与实际应用相结合的题型也是高考命题的动向，这类问题的特点是通过现实生活的事例考查书本知识，解决这类问题的关键是耐心读题、仔细理解题，只有吃透题意，才能将实际问题转化为数学模型进行解答.2