福建莆田第六中学高三数学期中理

福建省莆田第六中学2020届高三数学上学期期中试题 理第卷（共60分） 2019-11-8一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1已知向量，若，则锐角为（ ）A B C D 2.已知等差数列的前项和为，若，则等于（ ）A B C1 D4 3.若实数，满足约束条件，则的最大值等于（ ）A. 2B. 1C. -2D. -44.设等差数列的前项和为，若，则( )A. 36B. 54C. 60D. 815.等比数列的首项，前项和为，若，则数列的前10项和为A. 65B. 75C. 90D. 1106.已知，则的值为( ) A. B. C. D. 7.函数在的图象大致为（ ）A.B.C.D. 8.设等比的前项和为，若，则（ ）A. 144B. 117C.81D. 639.如图，正方形中，、分别是、的中点，若，则（ ）A2BCD 10.在ABC中，角A，B，C的对边分别是若，则的最大值为( )AB CD 11.在中，点为的重心，已知，且向量与的夹角为，则的最小值是 （ ）A. B. 6 C. 9 D. 2412.设数列前n项和为，且满足，用表示不超过x的最大整数，设，数列的前2n项和为，则使成立的最小正整数n是（ ）A. 4B. 5C. 6D. 7第卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知的夹角为_14已知数列满足对任意的，都有，又，则_.15.已知，且，则的最小值为_16.已知在中，则的面积是_ 三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共60分。17.数列的前项和满足（）求数列的通项公式；（）设，求数列的前项和18.如图所示，在中，分别为上的点，若， （1）求的值； （2）记的面积为，四边形的面积为，若，求的最大值.19.已知椭圆的离心率，一个长轴顶点在直线上，若直线与椭圆交于，两点，为坐标原点，直线的斜率为，直线的斜率为.（1）求该椭圆的方程.（2）若，试问的面积是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由.20.数列满足 , . (1) 求数列前项和； (2)证明： 对任意的且时，21.已知函数 （ a, b R, ab 0 ）（1）讨论 的单调性；（2）若 恒成立，求的最大值（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。22.在直角坐标系中，曲线的参数方程为 （为参数），直线的参数方程为（为参数）(1)求与的直角坐标方程；(2)过曲线上任意一点作与垂直的直线，交于点，求的最大值23.已知（1）已知关于的不等式有实数解，求的取值范围；（2）求不等式的解集莆田六中19-20学年上学期11月份月考高三数学理科参考答案一、选择题1-5：BAABA 6-10：CCBDD 11-12： BC二、填空题13、 14、255 15、 16、三、解答题12题解：令，得，又，解得，又，所以，又，可求得，.所以，即，所以，即，所以，因此，当时，；当时，.使成立的最小正整数n是6.故选B.17解：（I）当时， 解得2分由，当n2时，3分，即4分数列是等比数列，首项为2，公比为25分6分（II）， 8分10分数列的前项和 12分18（1）在中，由余弦定理可知，1分即2分所以3分由正弦定理得，4分 解得6分（2）依题意7分又，故，8分设则，即9分故，10分即，11分解得，故。当且仅当时等号成立，故的最大值为36. 12分19.【详解】(1)由，1分又由于，一个长轴顶点在直线上，可得：，.3分故此椭圆的方程为.4分（2）设，当直线的斜率存在时，设其方程为，联立椭圆的方程得：，5分由，可得，则，6分，7分又点到直线的距离，8分，9分由于，10分可得：， 故，11分当直线的斜率不存在时，可算得：，12分故的面积为定值1. 12分20. 解：当时，1分当时，2分两式相减得：4分所以，又符合此式，综上：5分所以数列为等比数列，首项为1，公比为，所以6分（2）由（1）可知，所以8分故只需证明下面先证明对任意的且都有9分记（），则所以在上是增函数，又，故10分当且时，所以，即所以，., 11分累加的原式得证。12分21. 22.【详解】（1）曲线的参数方程，消去得其直角坐标方程为：3分直线的参数方程，消去得其直角坐标方程为：5分（2）设曲线上任意一点6分点到直线的距离，其中，且8分由题意知：9分当时，10分【点睛】本题考查参数方程化普通方程、参数方程问题中的最值问题的求解；解决本题中的最值问题的关键是能够利用参数方程，将问题转化为三角函数的问题来进行求解，属于常考题型.23.因为不等式有实数解，所以1分因为，所以4分故。5分6分当时，所以，故7分当时，所以，