高等数学 第八章 空间解析几何与向量代数

第八章向量代数与空间解析几何,第一节向量及其线性运算,表示法:,向量的模:,向量的大小,一、向量的概念,向量:,(又称矢量).,既有大小,又有方向的量称为向量,向径(矢径):,自由向量:,与起点无关的向量.,起点为原点的向量.,单位向量:,模为1的向量,零向量:,模为0的向量,有向线段M1M2,或a,因平行向量可平移到同一直线上,故两向量平行又称,两向量共线.,若k(3)个向量经平移可移到同一平面上,则称此k,个向量共面.,规定:零向量与任何向量平行;,记作,二、向量的线性运算,1.向量的加法,三角形法则:,平行四边形法则:,运算规律:,交换律,结合律,三角形法则可推广到多个向量相加.,机动目录上页下页返回结束,2.向量的减法,三角不等式,3.向量与数的乘法,是一个数,规定:,可见,总之:,运算律:,结合律,分配律,因此,定理1,设a为非零向量,则,(为唯一实数),取,且,再证数的唯一性.,则,取正号,反向时取负号,则,横轴,纵轴,竖轴,定点,空间直角坐标系,三个坐标轴的正方向符合右手系.,三、空间直角坐标系,1.空间直角坐标系的基本概念,面,面,面,坐标面,坐标原点,坐标轴,卦限(八个),空间的点,有序数组,特殊点的表示:,坐标轴上的点,坐标面上的点,2.向量的坐标表示,设点M,则,沿三个坐标轴方向的分向量.,的坐标为,四、利用坐标作向量的线性运算,设,则,平行向量对应坐标成比例:,五、向量的模、方向角,1.向量的模与两点间的距离公式,则有,由勾股定理得,因,得两点间的距离公式:,对两点,与,2.方向角与方向余弦,设有两非零向量,任取空间一点O,称=AOB(0)为向量,的夹角.,类似可定义向量与轴,轴与轴的夹角.,与三坐标轴的夹角,为其方向角.,方向角的余弦称为其方向余弦.,方向余弦的性质:,例1已知两点,和,的模、方向余弦和方向角.,解:,计算向量,作业P13习题8-11，4，5，15,第二节数量积向量积,启示:,实例,两向量作这样的运算,结果是一个数量,定义,一、两向量的数量积,故,1、关于数量积的说明,证,证,2、数量积符合下列运算规律：,(1)交换律：,(2)分配律：,(3)若为常数：,若、为常数：,设,3、数量积的坐标表达式,由此得两向量夹角余弦的坐标表示式,可知两向量垂直的充要条件为,解,证：因为,所以,实例,二、两向量的向量积,定义,向量积也称为“叉积”、“外积”。,1、关于向量积的说明：,/,证,/,/,2、向量积符合下列运算规律：,（1）,（2）分配律：,（3）若为数：,设,3、向量积的坐标表达式,向量积的坐标表达式,/,由上式可推出：,补充,解,作业P23习题8-21(1)、(3)，3，4，9,第三节平面及其方程,如果一非零向量垂直于一平面，这向量就叫做该平面的法线向量,法线向量的特征：,垂直于平面内的任一向量,已知,设平面上的任一点为,必有,一、平面的点法式方程,平面的点法式方程,平面上的点都满足上方程，不在平面上的点都不满足上方程,其中法向量,已知点,解,所求平面方程为,化简得,取法向量,化简得,所求平面方程为,解,由平面的点法式方程,平面的一般方程,法向量,二、平面的一般方程,平面通过坐标原点；,平面通过轴；,平面平行于轴；,平面平行于坐标面；,类似地可讨论情形.,类似地可讨论情形.,平面一般方程的几种特殊情况：,设平面为,由平面过原点知,所求平面方程为,解,设平面为,将三点坐标代入得,解,将,代入所设方程得,平面的截距式方程,设平面为,由所求平面与已知平面平行得,（向量平行的充要条件）,解,化简得,令,所求平面方程为,定义,（通常取锐角）,两平面法向量之间的夹角称为两平面的夹角.,三、两平面的夹角,按照两向量夹角余弦公式有,两平面夹角余弦公式,两平面的特殊位置关系：,/,/,例4研究以下各组里两平面的位置关系：,解,两平面相交，夹角,两平面平行,两平面平行但不重合,两平面平行,两平面重合.,解,点到平面距离公式,1.平面的方程,（熟记平面的几种特殊位置的方程）,2.两平面的夹角.,3.点到平面的距离公式.,点法式方程.,一般方程.,截距式方程.,（注意两平面的位置特征）,四、小结,作业P29习题8-34做书上1，3，5，6，9,第四节空间直线及其方程,定义,空间直线可看成两平面的交线,空间直线的一般方程,一、空间直线的一般方程,方向向量：,如果一非零向量平行于一条已知直线，这个向量称为这条直线的方向向量,二、空间直线的对称式方程与参数方程,直线的对称式方程,令,方向向量的方向余弦称为直线的方向余弦.,直线的参数方程,例1用对称式方程及参数方程表示直线,解,在直线上任取一点,取,解得,点坐标,因所求直线与两平面的法向量都垂直,取,对称式方程,参数方程,解,所以交点为,取,所求直线方程,定义,直线,直线,两直线的方向向量的夹角.（锐角）,两直线的夹角公式,三、两直线的夹角,两直线的特殊位置关系：,/,直线,直线,例如，,解,设所求直线的方向向量为,根据题意知,取,所求直线的方程,解,先作一过点M且与已知直线垂直的平面,再求已知直线与该平面的交点N,令,代入平面方程得,交点,取所求直线的方向向量为,所求直线方程为,定义,直线和它在平面上的投影直线的夹角称为直线与平面的夹角,四、直线与平面的夹角,直线与平面的夹角公式,直线与平面的特殊位置关系：,/,/,解,为所求夹角,1.空间直线的一般方程.,2.空间直线的对称式方程与参数方程.,3.两直线的夹角.,4.直线与平面的夹角.,（注意两直线的特殊位置关系）,（注意直线与平面的特殊位置关系）,五、小结,作业P36习题8-41，2，8,第五节曲面及其方程,水桶的表面、台灯的罩子面等,曲面在空间解析几何中被看成是点的几何轨迹,曲面方程的定义：,曲面的实例：,一、曲面方程的概念,解,根据题意有,所求方程为,特殊地：球心在原点时方程为,1、球面方程,2、旋转曲面,定义以一条平面曲线绕其平面上的一条直线旋转一周所成的曲面称为旋转曲面。,这条定直线叫旋转曲面的轴,2、旋转曲面,定义以一条平面曲线绕其平面上的一条直线旋转一周所成的曲面称为旋转曲面。,这条定直线叫旋转曲面的轴,2、旋转曲面,定义以一条平面曲线绕其平面上的一条直线旋转一周所成的曲面称为旋转曲面。,这条定直线叫旋转曲面的轴,2、旋转曲面,定义以一条平面曲线绕其平面上的一条直线旋转一周所成的曲面称为旋转曲面。,这条定直线叫旋转曲面的轴,2、旋转曲面,定义以一条平面曲线绕其平面上的一条直线旋转一周所成的曲面称为旋转曲面。,这条定直线叫旋转曲面的轴,2、旋转曲面,定义以一条平面曲线绕其平面上的一条直线旋转一周所成的曲面称为旋转曲面。,这条定直线叫旋转曲面的轴,2、旋转曲面,定义以一条平面曲线绕其平面上的一条直线旋转一周所成的曲面称为旋转曲面。,这条定直线叫旋转曲面的轴,2、旋转曲面,定义以一条平面曲线绕其平面上的一条直线旋转一周所成的曲面称为旋转曲面。,这条定直线叫旋转曲面的轴,2、旋转曲面,定义以一条平面曲线绕其平面上的一条直线旋转一周所成的曲面称为旋转曲面。,这条定直线叫旋转曲面的轴,2、旋转曲面,定义以一条平面曲线绕其平面上的一条直线旋转一周所成的曲面称为旋转曲面。,这条定直线叫旋转曲面的轴,2、旋转曲面,定义以一条平面曲线绕其平面上的一条直线旋转一周所成的曲面称为旋转曲面。,这条定直线叫旋转曲面的轴,2、旋转曲面,定义以一条平面曲线绕其平面上的一条直线旋转一周所成的曲面称为旋转曲面。,这条定直线叫旋转曲面的轴,旋转过程中的特征：,如图,将代入,得方程,解,圆锥面方程,例3将下列各曲线绕对应的轴旋转一周，求生成的旋转曲面的方程,旋转双曲面,旋转椭球面,旋转抛物面,定义,3、柱面,观察柱面的形成过程:,平行于定直线并沿定曲线移动的直线所形成的曲面称为柱面.,这条定曲线叫柱面的准线，动直线叫柱面的母线.,定义,3、柱面,平行于定直线并沿定曲线移动的直线所形成的曲面称为柱面.,这条定曲线叫柱面的准线，动直线叫柱面的母线.,观察柱面的形成过程:,从柱面方程看柱面的特征：,（其他类推）,实例,椭圆柱面/轴,双曲柱面/轴,抛物柱面/轴,椭圆柱面/轴,抛物柱面/轴,双曲柱面/轴,(1)椭球面：,4、二次曲面(三元二次方程),（2）椭圆抛物面,(3)双曲抛物面（马鞍面）,(4)单叶双曲面图形,(5)双叶双曲面图形,(6)二次锥面,1.曲面方程的概念,2.旋转曲面的概念及求法.,3.柱面的概念(母线、准线).,小结,4.二次曲面,作业P45习题8-51，8(1)、(3)，10(1)、(2),第六节空间曲线及其方程,空间曲线的一般方程,特点:曲线上的点都满足方程，满足方程的点都在曲线上，不在曲线上的点不能同时满足两个方程.,空间曲线C可看作空间两曲面的交线.,一、空间曲线的一般方程,例1方程组表示怎样的曲线？,解,表示圆柱面，,表示平面，,交线为椭圆.,空间曲线的参数方程,二、空间曲线的参数方程,动点从A点出发，经过t时间，运动到M点,螺旋线的参数方程,取时间t为参数，,解,则螺旋线的参数方程可以化为,螺旋线的重要性质：,上升的高度与转过的角度成正比即,上升的高度,螺距,消去变量z后得：,曲线关于的投影柱面,设空间曲线的一般方程：,以此空间曲线为准线，垂直于所投影的坐标面.,投影柱面的特征：,三、空间曲线在坐标面上的投影,类似地：可定义空间曲线在其他坐标面上的投影,面上的投影曲线,面上的投影