控制系统仿真及CAD 2-3 自编代码仿真

控制系统仿真及控制系统仿真及CAD 借助借助MATLAB 自编代码仿真自编代码仿真 主讲人：王彪 南京航空航天大学自动化学院 主讲人：王彪 南京航空航天大学自动化学院 2009.10 控制系统控制系统MAD过程过程 被控 对象 被控 对象 系统 模型 系统 模型 控制 系统 控制 系统 系统 特性 系统 特性 理论分析理论分析 仿真分析仿真分析 设计理论知识 演绎推理 归纳总结 实验数据 设计理论知识 演绎推理 归纳总结 实验数据 建模建模 验证验证 SIMULINK MATLAB内建函数 借助 内建函数 借助MATLAB自编代码自编代码 实验分析实验分析 球杆系统方框图与数学模型球杆系统方框图与数学模型 as b s 1 )(fsin 2 7 5 s g xu sin 7 5 2 2 g dt xd sin cos 101 101 lyy lxx 31 31 arctan xx yy 313 2 2 2 31 2 3 2 arccos ll lll 2 31 2 3131 )()(yyxxl 6224.66 5147.37 b a 直流电机直流电机+齿轮传动齿轮传动曲柄摇杆横梁小球曲柄摇杆横梁小球 数学仿真的实质数学仿真的实质 系统模型 数学领域 微分方程 传递函数 状态方程 控制领域 频响数据 系统模型 数学领域 微分方程 传递函数 状态方程 控制领域 频响数据 数值方法求解等效离散系统数值方法求解等效离散系统 仿真实质就是获取系统的动态输出响应仿真实质就是获取系统的动态输出响应 解析解与数值解解析解与数值解 12yy已知：已知： 解析解析 )1 ()( 2 2 1 t ety t01.02.03.04.05.0 y00.43230.49080.49880.49980.5000 有些微分方程难求解析解有些微分方程难求解析解 如：某些变系数微分方程如：某些变系数微分方程 有些微分方程没有解析解有些微分方程没有解析解 如：某些非线性微分方程如：某些非线性微分方程 y*00.42970.49010.49860.49980.5000 数值积分法数值积分法 数值积分法：是求解数值积分法：是求解微分方程微分方程初值问题初值问题的一种 的一种 近似近似方法方法 数值仿真：在仿真领域应用数值计算方法，以 计算机为辅助工具，求取系统动态输出 数值仿真：在仿真领域应用数值计算方法，以 计算机为辅助工具，求取系统动态输出 一阶微分方程 （或方程组） 一阶微分方程 （或方程组） 差分递 推方程 差分递 推方程 集总参数系统集总参数系统高阶微分方程高阶微分方程 编程编程 近似解近似解 数值 积分 数值 积分 建模建模 1n t n t ),(ytfy 1 ),()()( 1 n n t t nn dyftyty 数值积分法基本原理数值积分法基本原理 已知一阶微分方程已知一阶微分方程 00 )( , ) ,(ytyytfy )()(),( 1 1 nn t t tytydyf n n 0 t nnn Qyy 1 积分步长：积分步长： 为为tn , tn+1 内内 f曲线下方的面积曲线下方的面积 可以是向量可以是向量 t nn tth 1 欧拉法与改进的欧拉法欧拉法与改进的欧拉法 1 ),( n n t t dyf ),( nnn ythfQ ),( 1nnnn ythfyy 1n t n t ),(ytfy t 0 t 1 ),( n n t t dyf ),( ),( 2 11 nn nnn ytf ytf h Q ),(ytfy t 0 t),( ),( 2 11 1 nn nnnn ytf ytf h yy 欧拉法 改进的欧拉法 欧拉法 改进的欧拉法 n t 1n t 数值积分法基本概念数值积分法基本概念 预估预估校正法校正法 单步法单步法 计算计算yn+1时只 需用到 时只 需用到yn的值的值 多步法多步法 计算计算yn+1时需 用到 时需 用到yn yn-1 yn-2 yn-k的值的值 显式公式显式公式 计算计算yn+1时所用数据均已知时所用数据均已知 隐式公式隐式公式(不能自启动不能自启动) 计算计算yn+1时需要用到待求量时需要用到待求量yn+1 ),( 1nnnn ythfyy ),(),( 1121 nnnn h nn ytfytfyy ),( 1nnn P n ythfyy ),(),( 1121 P nnnn h n C n ytfytfyy 预估 校正 预估 校正 nnn yhyy 1 h yyh yhy nn nn 1 2 2 泰勒级数泰勒级数 n y )( ! )( ! 2 )()()( )( 2 1n r r nnnn ty r h ty h tyhtyty 数值积分法原理分析（数值积分法原理分析（1） )( 32 1 ! 3! 2 r n r nnnnn y r h y h y h yhyy r阶公式阶公式 r = ? 导数导数? 121 nn h nn yyyy 数值积分法原理分析（数值积分法原理分析（2） ),( 1 11 nn nn ytfk hkyy ),( ),( 112 1 2121 nn nn h nn ytfk ytfk kkyy ),( 1 hkyhtf nn nnn yhyy 1 nnnn y h yhyy ! 2 2 1 可以利用函数可以利用函数f(t,y)在在tn与与tn+1两个 离散点上的 两个 离散点上的（预估）值（预估）值k1、k2的 线性组合 的 线性组合，近似代替，近似代替y(t)的泰勒 级数中 的泰勒 级数中各阶导数项之和各阶导数项之和 1n t n t 1 k 2 k t 0 t f 数值积分法原理分析（数值积分法原理分析（3） ),( ),( 1212 1 22111 hkyhtfk ytfk kkhyy nn nn nn 阶数 增高 可不 可以 呢？ 阶数 增高 可不 可以 呢？ 1n t n t 1 k 1 n t 2 k 10 1 t 0 f 如何 确定 公式 系数 呢？ 如何 确定 公式 系数 呢？ 将将k2在在(tn ,yn )处展开成泰勒级 数，并代入到 处展开成泰勒级 数，并代入到yn+1的表达式 中，再与 的表达式 中，再与y(t)在在tn处的泰勒展 开式的各项相比，即可确定 各系数 处的泰勒展 开式的各项相比，即可确定 各系数 龙格龙格库塔法库塔法 在区间在区间tn , tn+1 内预估多 个点的函数值 内预估多 个点的函数值 f(t, y)，然 后用其线性组合近似代 替 ，然 后用其线性组合近似代 替y(t)的泰勒级数中各阶 导数项之和，进而导出 龙格 的泰勒级数中各阶 导数项之和，进而导出 龙格库塔公式库塔公式 1阶龙格阶龙格库塔公式即矩 形公式、 库塔公式即矩 形公式、2阶龙格阶龙格库塔 公式即梯形公式 库塔 公式即梯形公式 4阶龙格阶龙格库塔公式已具 有较高精度，足以应付 大量工程问题 库塔公式已具 有较高精度，足以应付 大量工程问题 4阶经典龙格阶经典龙格库塔公式库塔公式 ),( ) 2 , 2 ( ) 2 , 2 ( ),( )2 2( 6 34 23 12 1 43 211 hkyhtfk k h y h tfk k h y h tfk ytfk kk kk h yy nn nn nn nn nn 4阶阶RK法应用举例法应用举例1阶阶ODE 已知一阶系统已知一阶系统G(s)，用，用4阶龙格阶龙格库塔法求解库塔法求解 as b sU s )( )( buayy )(),(tbuayytfy )(),( 1nnnn tbuayytfk )()( ),( 212 1222 h n h n h n h n tbukya kytfk 4阶阶RK法应用举例法应用举例1阶阶ODE（续）（续） 已知一阶系统已知一阶系统G(s)，用，用4阶龙格阶龙格库塔法求解库塔法求解 as b sU s )( )( buayy )()( ),( 222 2223 h n h n h n h n tbukya kytfk )()( ),( 3 34 htbuhkya hkyhtfk nn nn )22()() 1( 43216 kkkknyny h 4阶阶RK法仿真编程法仿真编程1阶阶ODE 初始化 递推 循环 迭代 绘图 初始化 递推 循环 迭代 绘图 a、b t(1)、y(1)、u(1) h、Tn for n = 1 : Tn/h-1 k1 = f( t(n), y(n), u(n) ) u1 = uf( t(n)+h/2 ) k2 = f( t(n)+h/2, y(n)+h/2*k1, u1 ) k3 = f( t(n)+h/2, y(n)+h/2*k2, u1 ) t(n+1) = t(n) + h u(n+1) = uf( t(n+1) ) k4 = f( t(n)+h, y(n)+h*k3, u(n+1) ) y(n+1) = y(n)+h/6*(k1+2*k2+2*k3+k4) end plot(t, u, t, y) 模型参数模型参数 初始条件初始条件 仿真参数仿真参数 4阶阶RK法应用举例法应用举例1阶阶ODE组组 已知二阶系统已知二阶系统G(s)，用，用4阶龙格阶龙格库塔法求解库塔法求解 令令 则则 )()( )( ass b sU s buyay yx buaxx buaxx xy 或或 1 22 21 xy buaxx xx Cx BAxx y u 4阶阶RK法应用举例法应用举例1阶阶ODE组（续组（续1） 已知二阶系统已知二阶系统G(s)，用，用4阶龙格阶龙格库塔法求解库塔法求解 )()( )( ass b sU s nnnnn xuxytfk),( 111 nnnnnn buaxuxytfk),( 221 buaxx xy 2122121122112 ),( 1 2 kxukxkytfk h n n h n h n h n 1 2 1 2 )(),( 2122121122222 n h n n h n h n h n bukxaukxkytfk 4阶阶RK法应用举例法应用举例1阶阶ODE组（续组（续2） 2222221222113 ),( 1 2 kxukxkytfk h n n h n h n h n 1 2 1 2 )(),( 2222221222223 n h n n h n h n h n bukxaukxkytfk 232313114 ),( 1 2 hkxuhkxhkyhtfk n n nnn 12312313224 )(),( nnnnnn buhkxauhkxhkyhtfk )22( 6 141312111 kkkk h yy nn )22( 6 242322211 kkkk h xx nn 如何编程？如何编程？ 4阶阶RK法仿真编程法仿真编程状态空间表达式状态空间表达式 已知系统状态空间表达式已知系统状态空间表达式 DuCxy BuAx x 如何求解？如何求解？ 如何处理？如何处理？ A、B、C、D t、x、u h、Tn for n = 1 : Tn/h-1 y(n) = C*x(:, n) + D*u(n) k1 = A*x(:, n) + B*u(n) k2 = A*( x(:, n) + h/2*k1 ) + B*u( t(n)+h/2 ) ) k3 = A*( x(:, n) + h/2*k2 ) + B*u( t(n)+h/2 ) ) k4 = A*( x(:, n) + h*k3 ) + B*u(n+1) x(:, n+1) = x(:, n) + h/6*(k1+2*k2+2*k3+k4) t(n+1) = ? u(n+1) = ? end plot( t, u, t, x, t, y ) 矩阵矩阵 向量向量 放在何处 更合理？ 放在何处 更合理？ 数值积分法的稳定性分析数值积分法的稳定性分析 数值稳定性：用数值积分法求解微分方程，由 于误差影响可能导致仿真出现不稳定的结果 数值稳定性：用数值积分法求解微分方程，由 于误差影响可能导致仿真出现不稳定的结果 检验方程：检验方程： 稳定条件：稳定条件： 数值稳定性与计算步长、系统特性、以及数值 积分的阶数等有关 数值稳定性与计算步长、系统特性、以及数值 积分的阶数等有关 yyyy rr )( nnnnnn y h y h y h yhyy 4 4 3 3 2 2 1 ! 4! 3! 2 1 ! 4 )( ! 3 )( ! 2 )( 1 432 hhh h 数值积分法的精度分析数值积分法的精度分析 截断误差截断误差：因截去泰勒 级数中高阶无穷小项而 引入的误差 称为 ：因截去泰勒 级数中高阶无穷小项而 引入的误差 称为r阶精度阶精度 舍入误差舍入误差：计算机字长 有限，浮点数不能完全 精确表示，因而产生误 差，与字长、步长、算 法等多种因素有关 ：计算机字长 有限，浮点数不能完全 精确表示，因而产生误 差，与字长、步长、算 法等多种因素有关 误差与计算步长误差与计算步长 经验步长公式经验步长公式 )(0)( 1 11 r nn hyty 截断 误差 截断 误差 舍入 误差 舍入 误差 h 总误差总误差 h* 1 min )205( )05. 02 . 0( c h Th 数值积分法的速度分析数值积分法的速度分析 主要取决于每步积分计算导数的次数主要取决于每步积分计算导数的次数 矩形法矩形法1次，梯形法次，梯形法2次，四阶龙格次，四阶龙格库塔法库塔法4次次 阶数越高，计算量越大，速度越慢阶数越高，计算量越大，速度越慢 在满足稳定性和精度要求的情况下，积分步长 尽可能大些 在满足稳定性和精度要求的情况下，积分步长 尽可能大些 编程技巧也会在很大程度上 影响算法的速度 编程技巧也会在很大程度上 影响算法的速度 变步长龙格变步长龙格库塔法库塔法 起因：步长大了精度要降低，步长小了增加不 必要的计算量，因此计算过程中合理自动调整 步长非常重要 起因：步长大了精度要降低，步长小了增加不 必要的计算量，因此计算过程中合理自动调整 步长非常重要 基本思想：提出一个局部误差估计公式，根据 估计误差取步长 基本思想：提出一个局部误差估计公式，根据 估计误差取步长h，以便使估计误差始终在允许 的误差范围内，从而既提高速度又提高精度 ，以便使估计误差始终在允许 的误差范围内，从而既提高速度又提高精度 具体做法：采用阶次相差一阶的两种龙格具体做法：采用阶次相差一阶的两种龙格库 塔公式计算 库 塔公式计算yn+1 ，它们的差值作为估计误差，如 果大于最大允许误差，则减小步长；如果小于 最小允许误差，则增大步长；否则不变 ，它们的差值作为估计误差，如 果大于最大允许误差，则减小步长；如果小于 最小允许误差，则增大步长；否则不变 四五阶变步长龙格四五阶变步长龙格库塔法库塔法 )43( 2 ,( )3( 8 , 2 ( )( 6 , 3 ( ) 3 , 3 ( ),( )4( 6 4315 314 213 12 1 5411 kkk h yhtfk kk h y h tfk kk h y h tfk k h y h tfk ytfk kkk h yy nn nn nn nn nn nn Runge | Kutta | Merson )892( 30 54311 kkkk h En 其它类型的数值积分法其它类型的数值积分法 多步法多步法 Adams法：适用于求解非 刚性微分方程；有显式公 式，也有隐式公式；难以 采用变步长计算 法：适用于求解非 刚性微分方程；有显式公 式，也有隐式公式；难以 采用变步长计算 面向刚性方程的算法面向刚性方程的算法 Gear法：适用于求解刚性 微分方程；有单步公式， 也有多步公式；有显式公 式也有隐公式；亦有变步 长算法 法：适用于求解刚性 微分方程；有单步公式， 也有多步公式；有显式公 式也有隐公式；亦有变步 长算法 各类型方法比较：各类型方法比较： 稳定性：隐式公式稳定性：隐式公式显式公式、多步法显式公式、多步法单步法；单步法； 精 度：隐式公式精 度：隐式公式显式公式、多步法显式公式、多步法单步法；单步法； 速 度：隐式公式速 度：隐式公式单步法；单步法； 自启动性：隐式公式、多步法不能自启动自启动性：隐式公式、多步法不能自启动 SIMULINK中的数值积分法中的数值积分法 MATLAB中的数值积分法中的数值积分法 Runge-Kutta： ode45：4阶精度、阶精度、5阶误差的变步长龙格阶误差的变步长龙格库塔库塔默 森公式，单步法；大多数问题首选此法 默 森公式，单步法；大多数问题首选此法 ode23：与：与ode45类似；但速度快些、精度低些类似；但速度快些、精度低些 Adams： ode113，变阶亚当姆斯，变阶亚当姆斯帕斯默森帕斯默森梅林公式，多 步法，采用预估 梅林公式，多 步法，采用预估校正形式校正形式PECE计算；与计算；与ode45相 比，容易获得高精度、计算效率高；变步长复杂 相 比，容易获得高精度、计算效率高；变步长复杂 Gear： ode15s，变阶吉尔法，多步法；适于求解刚性方程，变阶吉尔法，多步法；适于求解刚性方程 ode23s，与，与ode15s类似，但精度高些，速度慢些类似，但精度高些，速度慢些 Ode45()应用举例应用举例 function dy = dfun( t, y ) a = 37.5147; b = 66.6224; dy = -a * y + b * 1; ode45(dfun, 0 0.2, 0) function dy = dfun( t, y ) a = 37.5147; b = 66.6224; dy1 = y(2); dy2 = -a*y(2) + b*sin(1*t); dy = dy1; dy2; ode45(dfun, 0 10, 0;0) 0246810 -0.04 -0.02 0 0.02 0.04 0.06 00.050.10.150.2 0 0.5 1 1.5 2 函数名称任意 形参顺序固定 函数名称任意 形参顺序固定 数学仿真的实质数学仿真的实质 系统模型 数学领域 微分方程 传递函数 状态方程 控制领域 频响数据 系统模型 数学领域 微分方程 传递函数 状态方程 控制领域 频响数据 数值方法求解等效离散系统数值方法求解等效离散系统 仿真实质就是获取系统的动态输出响应仿真实质就是获取系统的动态输出响应 离散化方法仿真离散化方法仿真 基本思想： 先将连续系统的数学模型转换成 基本思想： 先将连续系统的数学模型转换成对应等效对应等效的离 散形式数学模型，然后转变为差分方程，进而 在计算机上实现快速、近似、递推运算 的离 散形式数学模型，然后转变为差分方程，进而 在计算机上实现快速、近似、递推运算 基本要求：基本要求： 稳定性好稳定性好 计算量小、运算速度快计算量小、运算速度快 保证一定精度保证一定精度 c2d(Gc,T,method) c2d(Gc,T,method) 离散化方法 替换法 简单替换法 离散化方法 替换法 简单替换法 tustin法 零极匹配法 离散相似法 法 零极匹配法 离散相似法 ZOH法法 FOH法法 impluse step lsim 等效离散系统等效离散系统 等效 离散系统 连续系统 )(tu )(tu )(ty )(ty 00 010 020 030 040 050 060 070 080 090 u y y* G(s)G(z)的脉冲不变方法的脉冲不变方法 级数求和法：由级数求和法：由G(s)根据根据laplace反变换求出反变换求出g(t) 后，再对其采样得后，再对其采样得g(nT)进而求取进而求取z变换，可得变换，可得 部分分式法：将部分分式法：将G(s)展开成部分分式之和的形 式，再查 展开成部分分式之和的形 式，再查z变换表得到变换表得到G(z) 0 )()( n n znTgzG assa b ass b11 )( aT ez z z z a b 1 高阶系统 怎么办？ 高阶系统 怎么办？ Gz = c2d(Gs,T,imp) 替换法替换法 基本思想：将连续传递函数基本思想：将连续传递函数G(s)，利用变量替 换 ，利用变量替 换s=f(z) ，直接转换成对应的离散传递函数 ，直接转换成对应的离散传递函数 G(z)，然后再利用，然后再利用z变换（后向）位移定理反变 换成差分方程，即可获得相应仿真模型 变换（后向）位移定理反变 换成差分方程，即可获得相应仿真模型 不同的替换公式不同的替换公式 f (z)形成不同的替换方法形成不同的替换方法 差分方程差分方程 反变换反变换 zzfs zGsG)()( )( 1 12 z z T s z z T s 11 双线性变换法（双线性变换法（tustin） sT ez 1 12 ln 1 z z T z T s 123 1 1 12 1 1 1 3 1 1 1 2ln n z z nz z z z z 2/1 2/1 sT sT z 或 则，可得双线性变换公式 已知： 或 则，可得双线性变换公式 已知：Gd = c2d(Gc,T,tustin) 双线性变换法应用举例双线性变换法应用举例转速系统转速系统 as b sG )( 已知：已知： aT ez bz sG )(Z )2()2( ) 1( 1 12 )( aTzaT zbT a z z T b zG 将双线性变换公式代入并化简 可得差分方程（递推形式） 将双线性变换公式代入并化简 可得差分方程（递推形式） )1()( 2 ) 1( 2 2 )( kuku aT bT ky aT aT ky 1 1 )2()2( )1 ( zaTaT zbT 双线性变换法仿真编程双线性变换法仿真编程转速系统转速系统 初始化 递推、循环迭代 输出、保存结果 初始化 递推、循环迭代 输出、保存结果 a、b t0 、u0 、y0 T、Tn c1、c2、c3、. for k = 2 : Tn/T t(k) = t(k-1) + T; u(k) = ? y(k) = c1*y(k-1) + c2*u(k) + c3*u(k-1); end plot grid on; 转速系统仿真转速系统仿真双线性变换法双线性变换法 13211 kkkk ucucycy 双线性变换法稳定性分析双线性变换法稳定性分析 将将 s = + j 代入下式，并化简得代入下式，并化简得 1|,0 1|,0 1|,0 z z z 时 时 时 z j 1 s j 0 2/1 2/1 sT sT z 22 22 2 )2/()2/1 ( )2/()2/1 ( | TT TT z 双线性变换法的特点双线性变换法的特点 双线性变换法是恒稳的（与采样步长无关）双线性变换法是恒稳的（与采样步长无关） 由由G(s)经双线性变换得到的经双线性变换得到的G(z)，其分子分母阶 次相同，且稳态增益不变 ，其分子分母阶 次相同，且稳态增益不变 双线性变换保持串联性双线性变换保持串联性 双线性变换得到的双线性变换得到的G(z)与原连续系统的频率特 性相接近，特别是在低频段 与原连续系统的频率特 性相接近，特别是在低频段 若需要在某一频段内接近，则可以对其进行调整， 即 若需要在某一频段内接近，则可以对其进行调整， 即c2d()中的中的“prewarp”方法方法 )()()( )()()( 21 21 zGzGzG sGsGsG 双线性变换法仿真双线性变换法仿真转角系统转角系统 )()( )( ass b sU sY 已知已知： 0)0( , 0)0(yy 求：等效离散系统的求：等效离散系统的G(z)及其差分方程及其差分方程 利用上述结果，自定义不同的采样步长T，编程实 现该连续系统的仿真 利用上述结果，自定义不同的采样步长T，编程实 现该连续系统的仿真 比较原连续系统的理论输出曲线与不同采样步长 对应离散系统的输出响应曲线（同图绘出） 比较原连续系统的理论输出曲线与不同采样步长 对应离散系统的输出响应曲线（同图绘出） 比较原连续系统与不同采样步长对应离散系统的 频率特性（试验 比较原连续系统与不同采样步长对应离散系统的 频率特性（试验“tustintustin”与与“prewarpprewarp”方法）方法） 6224.66 5147.37 b a 输入为单位阶跃，初始条件输入为单位阶跃，初始条件 根匹配法根匹配法 基本思想：连续系统的基本思想：连续系统的动、静态特性动、静态特性完全由其 传递函数 完全由其 传递函数G(s)的的零、极点和稳态增益零、极点和稳态增益决定，若 要离散化模型 决定，若 要离散化模型G(z)的动、静态特性与原连续系 统 的动、静态特性与原连续系 统G(s)保持一致，就要保证保持一致，就要保证G(z)与与G(s)的零、极 点相匹配，故又称零极点匹配法 的零、极 点相匹配，故又称零极点匹配法 求解思路：找到一种简单的映射关系求解思路：找到一种简单的映射关系z = f(s)， 将 ， 将G(s)的零极点映射为的零极点映射为G(z)的零极点，再根据一 定的原则确定 的零极点，再根据一 定的原则确定G(z)的增益，即可快速由的增益，即可快速由G(s)求出 求出 G(z)，并使二者的动、静态特性保持一致，并使二者的动、静态特性保持一致 Gz = c2d(Gs,T,matched) 根匹配法的步骤根匹配法的步骤 1. 将传递函数将传递函数G(s)转换为如下的零极点形式转换为如下的零极点形式 2. 根据根据 z = esT 匹配零极点，有匹配零极点，有 零点：零点： 极点：极点： )()( )()( )( )( )( 21 21 n m pspsps zszszs K sU sY sG ).()( ).()( )( )( )( 21 21 TpTpTp TzTzTz z n m ezezez ezezez K zU zY zG TpTpTp n n eeeppp, , 21 21 TzTzTz m m eeezzz, , 21 21 根匹配法的步骤（续）根匹配法的步骤（续） 3. 在在G(z)的分子上附加的分子上附加n-m个在原点处的零点， 于是， 个在原点处的零点， 于是， G(z)的分子分母阶次相同的分子分母阶次相同 4. 相同输入作用下，遵循终值相等原则，应用终 值定理分别确定 相同输入作用下，遵循终值相等原则，应用终 值定理分别确定Y(s)和和Y(z)的终值，从而确定 的终值，从而确定 Kz )(lim)(lim)( 0 ssYtyy st ).()( ).()( )( )( )( 21 21 TpTpTp mnTzTzTz z n m ezezez zezezez K zU zY zG )()1 (lim)(lim)( 1 1 zYznTyy zn )()(lim 0 sUssG s 根匹配法应用举例根匹配法应用举例 as b sG )( 已知：已知： 1. 将将G(s)转换为零极形式 得系统零、极点 零点： 极点： 转换为零极形式 得系统零、极点 零点： 极点： 2. 根据 根据 z = esT 匹配离散 系统零、极点 零点： 极点： 于是得系统模型离散 零极形式 匹配离散 系统零、极点 零点： 极点： 于是得系统模型离散 零极形式 as b sG )( aT z ez K zG )( a 无 无 无 无 aT e 根匹配法应用举例（续根匹配法应用举例（续1） 3. 在在G(z)分子上附加分子上附加1个在原点处的零点，有个在原点处的零点，有 4. 遵循终值相等原则，在单位阶跃输入作用下， 根据终值定理确定 遵循终值相等原则，在单位阶跃输入作用下， 根据终值定理确定Kz aT z ez zK zG )( a b sas b ssUssGy ss 1 lim)()(lim)( 00 aT z aT z z e K z z ez zK z z y 11 1 lim)(* 1 根匹配法应用举例（续根匹配法应用举例（续2） 因此 得系统离散传递函数 因此 得系统离散传递函数 5. 得后向差分方程得后向差分方程 )1 ( aT z e a b K 1 1 1)1 ( )( ze e a b ez ze a b zG aT aT aT aT )()1 () 1()(kue a b kyeky aTaT aT ez bz sG )(Z )1()( 2 ) 1( 2 2 )( kuku aT bT ky aT aT ky 根匹配法应用注意事项根匹配法应用注意事项 as s sG )( aT z ez z KzG 1 )( 0 1 lim)()(lim)( 00 sas s ssUssGy ss 0 1 ) 1(1 lim)(* 1 z z ez zK z z y aT z z 已知：已知： 在单位阶跃输入作用下确定在单位阶跃输入作用下确定G(z)增益 匹配 增益 匹配 根匹配法的特点根匹配法的特点 根匹配法是恒稳的，与采样周期大小无关根匹配法是恒稳的，与采样周期大小无关 根匹配法具有一定的精度根匹配法具有一定的精度 当附加零点配在 当附加零点配在 z = 0（即原点）处时，离散化模型 （即原点）处时，离散化模型 G(z)与原模型与原模型G(s)的幅频特性相接近，但在相频特性 上有较大的超前； 的幅频特性相接近，但在相频特性 上有较大的超前； 当附加零点配在 当附加零点配在 z = -1处时， 处时， G(z)与与G(s)的幅值误差 增大，但相位略有滞后； 的幅值误差 增大，但相位略有滞后； 为使离散化模型为使离散化模型G(z)与原模型与原模型G(s)的相位误差为零， 可以将附加零点配在（ 的相位误差为零， 可以将附加零点配在（-1，0）之间）之间 MATLAB中中c2d( )的的“matched”方法即采取了上述处 理方法 方法即采取了上述处 理方法 零极匹配法仿真零极匹配法仿真转角系统转角系统 )()( )( ass b sU sY 已知已知： 0)0( , 0)0(yy 求：等效离散系统的求：等效离散系统的G(z)及其差分方程及其差分方程 利用上述结果，自定义不同的采样步长T，编程实 现该连续系统的仿真 利用上述结果，自定义不同的采样步长T，编程实 现该连续系统的仿真 比较原连续系统的理论输出曲线与不同采样步长 对应离散系统的输出响应曲线（同图绘出） 比较原连续系统的理论输出曲线与不同采样步长 对应离散系统的输出响应曲线（同图绘出） 比较原连续系统与不同采样步长对应离散系统的 频率特性（试验 比较原连续系统与不同采样步长对应离散系统的 频率特性（试验“matchedmatched”方法）方法） 6224.66 5147.37 b a 输入为单位阶跃，初始条件输入为单位阶跃，初始条件 )(tu G(s) )(tu)(ty)(ty T )(zG )( zG 离散相似度分析离散相似度分析 )(tu )( tu )(tu )( ty)(tu G(s) T )(ty T H(s) )( tu)( ty)( ty T )(tu )(tu T G(s) ？)( )()( * 更相似谁与 相比与 ty ，tyty 采样保持器法采样保持器法传递函数传递函数 基本思想：根据采样系统理论，在原连续系统 输入端添加 基本思想：根据采样系统理论，在原连续系统 输入端添加虚拟虚拟采样开关采样开关T和保持器和保持器H(s)，在输 出端添加 ，在输 出端添加虚拟虚拟采样开关采样开关T将系统离散化，因此将系统离散化，因此 离散化模型离散化模型G(z)与原系统与原系统G(s)的相似程度取决于 采样周期 的相似程度取决于 采样周期T和保持器和保持器H(s)的特性的特性 )()()(sGsHzGz )( zG H(s) )( tu)( ty)( ty T )(tu )(tu T G(s) 零阶保持器法应用举例零阶保持器法应用举例 as b sG )( 已知：已知： aT ez bz sG )(Z )()()( 0 sGsHzGZ ) 1()1 () 1()( kue a b kyeky aTaT as b s e sT 1 Z as b s z 1 )1 ( 1 Z assa b z z111Z aT ez z z z z z a b 1 1 aT aT ez e a b 1 1 1 1 )1 ( ze ze a b aT aT c2d( Gs, T, zoh ) 采样周期的影响（稳快准）采样周期的影响（稳快准） Shannon采样定理采样定理 要保证信号恢复精度， 采样周期 要保证信号恢复精度， 采样周期T必须满足采样 定理的要求，即 必须满足采样 定理的要求，即 确定确定T的经验公式的经验公式 根据上两式选择根据上两式选择T可获得 约 可获得 约0.5%的仿真精度的仿真精度 max 2 min 1 . 0 TT 1 )5030( c T T1 * U max 2 2 2 0 T1 2 * U max 2 2 0 保持器的特性保持器的特性 保持器作用：保持器作用： 从时域看是使采样信号在 采样间隔内保持连续性 从时域看是使采样信号在 采样间隔内保持连续性 从频域角度看是把离散化 产生的高频分量滤掉 从频域角度看是把离散化 产生的高频分量滤掉 理想滤波器特性理想滤波器特性 满足满足Shannon采样定理条 件下，用上述理想滤波 器 滤 掉 采样定理条 件下，用上述理想滤波 器 滤 掉 u*(t) 的 高 频 分 量，保留主要频谱，即 可无失真复现原连续信 号 的 高 频 分 量，保留主要频谱，即 可无失真复现原连续信 号u(t) 保持器应具有接近理想 滤波器的频率特性 保持器应具有接近理想 滤波器的频率特性 常用保持器：零阶、一 阶和三角形保持器 常用保持器：零阶、一 阶和三角形保持器 )(jW 2 0 1 2 零阶保持器零阶保持器ZOH 按常值规律外推保持按常值规律外推保持 时域角度看时域角度看 复域角度看复域角度看 频域角度看频域角度看 s e sH sT 1 )( 0 2/)( 2/ )2/sin( )( 0 0 TjH T T TjH TktkTkTutu) 1( ),()( T 0 H 23 23 0 H 0 滞后T/2 )( tu t 一阶保持器一阶保持器FOH 按线性规律外推保持按线性规律外推保持 时域角度看时域角度看 复域角度看复域角度看 频域角度看频域角度看 2 1 1)1 ( )( s e T sT sH sT )()(tg)( 2/ )2/sin( )(1)( 1 1 2 2 1 TTjH T T TTjH T T uu utu kk k 0 ,)( 1 T 1 H 23 55 . 1 1 H 0 )( tu t 三角形保持器三角形保持器PFOH 按线性规律内插保持，能更好地复现原信号按线性规律内插保持，能更好地复现原信号 时域角度看时域角度看 复域角度看复域角度看 频域角度看频域角度看 实际能够采用的是迟后一拍的三角形保持器实际能够采用的是迟后一拍的三角形保持器 T T uu utu kk k 0 ,)( 1 2 1 1 )( s e T e sH sTsT T 1 H 2 1 H )( tu t 保持器的影响（稳快准）保持器的影响（稳快准） 每种保持器都会产生一定的相位滞后，因此影 响离散系统的稳定性：零阶保持器延迟最小， 在实际中应用最多，一般不使用高阶保持器 每种保持器都会产生一定的相位滞后，因此影 响离散系统的稳定性：零阶保持器延迟最小， 在实际中应用最多，一般不使用高阶保持器 每种保持器都只能近似恢复原来的连续信号， 因此影响离散化的精度：零阶保持器可较好地 恢复阶跃信号，一阶保持器可较好地恢复斜坡 信号，三角形保持器可以较好地恢复更一般的 连续信号 每种保持器都只能近似恢复原来的连续信号， 因此影响离散化的精度：零阶保持器可较好地 恢复阶跃信号，一阶保持器可较好地恢复斜坡 信号，三角形保持器可以较好地恢复更一般的 连续信号 结论：对系统离散化时，应尽量减少虚拟采样 开关和保持器的数目 结论：对系统离散化时，应尽量减少虚拟采样 开关和保持器的数目 零阶保持器法仿真零阶保持器法仿真转角系统转角系统 )()( )( ass b sU sY 已知已知： 0)0( , 0)0(yy 求：等效离散系统的求：等效离散系统的G(z)及其差分方程及其差分方程 利用上述结果，自定义不同的采样步长T，编程实 现该连续系统的仿真 利用上述结果，自定义不同的采样步长T，编程实 现该连续系统的仿真 比较原连续系统的理论输出曲线与不同采样步长 对应离散系统的输出响应曲线（同图绘出） 比较原连续系统的理论输出曲线与不同采样步长 对应离散系统的输出响应曲线（同图绘出） 比较原连续系统与不同采样步长对应离散系统的 频率特性（试验 比较原连续系统与不同采样步长对应离散系统的