函数单调性问题的求解策略 辅导 不分本

函数单调性问题的求解策略周贤才 李小花 函数的单调性是函数的一个极其重要的性质，在高三的复习中经常会碰到有关函数单调性求解的问题。下面通过例子来说明此类问题的求解思路。一. 掌握几种常见函数的单调性，会求复合函数的单调区间 复习过程中要熟练掌握几种常见函数（如一次函数、二次函数、反比例函数、指、对数函数及三角函数）的单调性，并能利用复合函数单调性的性质求解复合函数的单调性问题。 例1. （1989年高考）已知，如果，那么（ ） A. 在区间（-1，0）上是减函数 B. 在区间（0，1）上是减函数 C. 在区间（-2，0）上是增函数 D. 在区间（0，2）上是增函数 解：函数是由和复合而成的。 又在上递减，在上递增； 上为减函数，在上为增函数。 当时，得 当时，得或 由此可得，函数在或时为减函数 函数在或时，为增函数 故选（A） 解题回顾：本题是有关二次函数的复合函数确定单调区间问题，要求会利用复合函数的单调性来研究简单复合函数的单调性的问题。复合函数单调性的判定法则是，若与同是增（减）函数，则在其定义域上是增函数；若是一增一减函数，则在其定义域上是减函数。上述法则可简述为：同增异减。二. 利用函数的图象求解 例2. 指出函数的单调区间。 解：作出函数的图象。 根据图象可得，函数在以及上为增函数； 在以及上为减函数图1三. 利用函数单调性的定义 例3. 求函数在上的单调区间。 解：任取，则 因为 所以 若函数为增函数，则 所以 因为 所以，故 同理，若为减函数，则 因此，当时，函数为增函数 当时，函数为减函数 解题回顾：从定义出发，利用定义解题是数学解题的一个基本出发点。本题从函数单调性的定义出发，把求字母a的取值范围的问题，转化为恒成立的问题来加以求解，同时得出了很重要的分式函数的单调区间。利用此结论，我们可以研究此类分式函数在某个区间上的最值问题。四. 利用导数求解 例4. 已知函数在上为单调增函数，求a的取值范围。 解：因为在上为单调增函数 所以在上恒成立 即恒成立 即恒成立 因为，所以 说明：导数是高中数学和高等数学的连接点，是高中教材新增加的内容，许多高次函数、分式函数以及无理函数的单调区间和最值问题的研究都离不开导数，因此不可忽视导数在函数中的作用。例1若用导数解则更简便，由得函数的增区间为及；由得减区间为及。很快就能确定答案为（A）。由此可以看出，导数在单调区间的求解方面有着很大的优势。 例5. 已知函数在区间上是减函数，求实数a的取值范围。 解法1：利用例3中的结论。 函数在上为减函数，在上为增函数。 由题知，该函数在上是减函数 所以，得 解法2：利用函数的单调性的定义。 任取，则 因为 所以且 因为在上为增函数 所以恒成立 所以恒成立 因为，所以，得 解法3：利用导数 因为 所以 因为在上为减函数，所以对恒成立 即对恒成立 因为当时， 所以 说明：本题从三个不同角度对问题作出了解答，不同的方法各有巧妙，突出了不同知识在解题中的作用。通过此问题的求解可加强各知识间的联系，提高对所学知识的全面认识。 例6. （2003年新课程高考理）设，求函数的单调区间。 解：求导数得： 当时 （1）当时，对所有，有 即 此时在内单调递增 （2）当，对，有 即 此时在（0，1）内单调递增，在内单调递增 又知函数在处连续，因此，函数在内单调递增 （3）当时，令 即 解得或 因此，函数在区间内单调递增 在区间内也单调递增 令，即 解得 因此，函数在区间内单调递减 解题回顾：本题主要