内蒙古鄂尔多斯第一中学高二数学上学期第三次月考理

市一中20172018学年度第一学期第三次月考高二数学（理科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.1.“直线与平面内无数条直线都垂直”是“直线与平面垂直”的（ ）条件A. 充要 B. 充分非必要 C. 必要非充分 D. 既非充分又非必要【答案】C【解析】试题分析：由“直线与平面内无数条直线都垂直”不能得到“直线与平面垂直”，反之，由“直线与平面垂直”可得到“直线与平面内无数条直线都垂直”，所以“直线与平面内无数条直线都垂直”是“直线与平面垂直”的必要非充分条件考点：充分条件与必要条件2.2.若命题“xR，使x2(a1)x10，即方程x2-2bx+b2+b=0有实根，即“若b-1，则方程x2-2bx+b2+b=0有实根”是真命题，其逆否命题为真命题，即正确；若AB=B，则BA，即“若AB=B，则AB”及其逆否命题都为假命题，即错误；故选C.6.6.如右图在一个二面角的棱上有两个点A，B，线段AC，BD分别在这个二面角的两个面内，并且都垂直于棱AB，AB=4cm，AC=6cm，BD=8cm，CD=217cm，则这个二面角的度数为( )A. 30 B. 60 C. 90 D. 120【答案】B【解析】过点A作AEBD且AE=BD，连接CE,DE，则AEAB，即CAE为二面角的平面角，由题意，得AE=BD=8，AC=6，CE2=CD2ED2=52，由余弦定理，得cosCAE=AE2+AC2CE22AEAC=64+3652286=12，则CAE=600，即这个二面角的度数为600；故选B.7.7.如图是某次拉丁舞比赛七位评委为甲、乙两名选手打出的分数的茎叶图(其中m为数字09中的一个)，去掉一个最高分和一个最低分后，甲、乙两名选手得分的平均数分别为a1、a2，则a1、a2的大小关系是（ ）A. a1a2 B. a1a2 C. a2a1 D. 无法确定【答案】C【解析】由茎叶图，得甲、乙两名选手得分的平均数分别为a1=85+84+85+85+815=84，a2=84+84+86+84+875=85，即a2a1；故选C.8.8.曲线y=ln(2x1)上的点到直线的最短距离是（ ）A. 5 B. 25 C. 35 D. 0【答案】B【解析】试题分析：曲线y=ln（2x-1），y=22x1，分析知直线2x-y+8=0与曲线y=ln（2x-1）相切的点到直线2x-y+8=0的距离最短，y22x1=2，解得x=1，把x=1代入y=ln（2x-1），y=0，点（1，0）到直线2x-y+8=0的距离最短，d=|2+8|4+1=1055=25，故答案为B.考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；两条平行直线间的距离.9.9.如图，圆C内切于扇形AOB，AOB=3，若在扇形AOB内任取一点，则该点在圆C内的概率为（ ）A. 16 B. 34 C. 13 D. 23【答案】D【解析】设圆C的半径为R，连接OC并延长交AB于点M，作CHOA，因为圆C内切于扇形AOB，且AOB=3，所以OC=2CH=2R,OM=3R，由几何概型的概率公式，得在扇形AOB内任取一点，则该点在圆C内的概率为P=S圆S扇形=R2123(3R)2=23；故选D.10.10.如图所示，在三棱柱ABCA1B1C1中，AA1底面ABC，ABBCAA1，ABC90，点E、F分别是棱AB、BB1的中点，则直线EF和BC1的夹角是（ ）A. 45 B. 60 C. 90 D. 120【答案】B【解析】解：连接AB1，易知AB1EF，连接B1C交BC1于点G，取AC的中点H，连接GH，则GHAB1EF设AB=BC=AA1=a，连接HB，在三角形GHB中，易知GH=HB=GB=22a，故两直线所成的角即为HGB=60故选B11.11.若F(c,0)是双曲线x2a2y2b2=1(ab0)的右焦点，过F作双曲线一条渐近线的垂线与两条渐近线交于A,B两点，O为坐标原点，OAB的面积为12a27，则该双曲线的离心率e=（ ）A. 54 B. 43 C. 53 D. 85【答案】A【解析】因为ab0，所以0ba1，设AOF=，则tan=ba(0,1)，所以04,02b0往往是学生容易忽视的条件.12.12.已知函数fx=ax3-3x2+1，若fx存在唯一的零点x0，且x00，则的取值范围是（ ）A. 2，+ B. 1，+ C. -,-2 D. -,-1【答案】C【解析】显然，0不是f(x)=ax33x2+1的零点，令ax33x2+1=0，则a=3x21x3，则函数f(x)=ax33x2+1存在唯一零点x0，且x00等价于函数h(x)=3x21x3和y=a的图象有唯一交点，且交点在y轴右侧，因为h(x)=3(x21)x4，所以函数h(x)在(0,1)单调递增，在(1,+)上单调递减，当x=1时，h(x)取得极大值2，又因为函数h(x)为奇函数，所以函数h(x)的图象所图所示，由图象，得函数h(x)=3x21x3和y=a的图象有唯一交点，且交点在y轴右侧，则a0，则a0，得1x1，即函数f(x)的单调递增区间为(1,1)，又因为函数f(x)=4xx2+1在区间(m,2m+1)上单调递增，所以m12m+11m2m+1，解得10,n0的基本事件有3个，由古典概型的概率公式，得方程x2m+y2n=1表示焦点在x轴上的双曲线的概率是P=312=14；故填14.16.16.设aR，若函数y=eax+3x，xR有大于零的极值点，则的取值范围是_【答案】(,3)【解析】令，则，所以，所以，所以。三、解答题（共70分，解答应写出必要的文字、过程和步骤）17.17.已知椭圆的顶点与双曲线y24x212=1的焦点重合，它们的离心率之和为135，若椭圆的焦点在x轴上，求椭圆的方程.【答案】x225+y216=1【解析】试题分析：由双曲线方程可求得其焦点和离心率，进而可求得椭圆的顶点或椭圆的离心率，从而求得椭圆中的a,b,c的值，得到椭圆方程试题解析：设所求椭圆方程为x2a2+y2b2=1，其离心率为，焦距为2，双曲线y24x212=1的焦距为2c1，离心率为e1，则有：c12=4+12=16，c14e1=c12=2e=1352=35，即ca=35又b=c14 a2=b2+c2由、 、可得a2=25 所求椭圆方程为x225+y216=1考点：椭圆双曲线方程及性质18.18.如图（1），等腰直角三角形ABC的底边AB=2，点D在线段AC上，DEAB于E，现将ADE沿DE折起到PDE的位置（如图（2）（1）求证：PBDE；（2）若PEBE，直线PD与平面PBC所成的角为30，求平面PDE与平面PBC所成的锐二面角的正弦值.【答案】（1）见解析（2）sin=346【解析】试题分析：（1）要证PBDE，只要证DE平面PEB即可，由已知可证DEPE,DEEB，可证DE平面PEB；（2）以E为坐标原点建立空间直角坐标，设|PE|=a，写出相应点的坐标，求出平面PBC的法向量，由sin30o=|cos|，解方程求出的值即可.试题解析： （1）DEAB,DEPE,DEEB.又PEBE=E,DE平面PEB.PB平面PEB，PBDE.（2）由（1）知DEPE,DEEB，且PEBE，所以DE,BE,PE两两垂直.分别以ED,EB,EP的方向为x轴、y轴、轴的正方向建立空间直角坐标系.设|PE|=a，则B(0,4a,0)，D(a,0,0)，C(2,2a,0)，P(0,0,a)，可得PB=(0,4a,a),BC=(2,2,0).设平面PBC的法向量为n=(x,y,z)，则nPB=0nBC=0，所以(4a)yaz=02x2y=0，取n=(1,1,4aa).直线PD与平面PBC所成的角为30o,且PD=(a,0,a)，sin30o=|cos|=|a(4a)2a22+(4a)2a2|=12.解之得a=45，或a=4（舍去）.所以PE的长为45.考点：1.线面垂直的判定与性质；2.空间向量的应用.【名师点睛】本题考查线面垂直的判定与性质与空间向量的应用，中档题.利用空间向量求空间角的常见类型及策略为：1.求直线与直线所成的角：求出两直线的方向向量m,n，设两直线的夹角为，则cos=|cos|；2.求直线和平面所成的角：求出直线的方向向量m与平面的法向量n，则sin=|cos|；3.求两个平面所成的角：求出两个平面的法向量m,n，通过法向量的夹角求两个平面的法向量即可，但要注意结合图形判断二面角的大小是锐角还是钝角；或分别在两个平面内找到与棱垂直的且以垂足出发的向量，则这两个向量的大小就是二面角的大小.19.19.为了解某校高三毕业生报考体育专业学生的体重（单位：千克）情况，将他们的体重数据整理后得到如下频率分布直方图，已知图中从左至右前3个小组的频率之比为1:2:3，其中第2小组的频数为12.（）求该校报考体育专业学生的总人数n；（）已知A，是该校报考体育专业的两名学生，A的体重小于55千克，的体重不小于70千克，现从该校报考体育专业的学生中按分层抽样分别抽取体重小于55千克和不小于70千克的学生共6名，然后再从这6人中抽取体重小于55千克学生1人，体重不小于70千克的学生2人组成3人训练组，求A不在训练组且在训练组的概率.【答案】（1）n=48（2）P=59【解析】试题分析：（）利用频率分布直方图的实际意义进行求解；（）列出所有基本事件，找出满足条件的基本事件，利用古典概型的概率公式进行求解.试题解析：（1）设该校报考体育专业的人数为n，前三小组的频率为P1,P2,P3，则由题意可得，P1=0.125,P2=0.25,P3=0.375.又因为P2=0.25=12n，故n=48.（2）由题意，报考体育专业的学生中，体重小于55千克的人数为480.125=6，记他们分别为A,B,C,D,E,F体重不小于70千克的人数为480.0125=3，记他们分别为a,b,c，从体重小于55千克的6人中抽取1人，体重不小于70千克的3人中抽取2人组成3人训练组，所有可能结果有：(A,a,b)，(A,a,c)，(A,b,c)，(B,a,b)，(B,a,c)，(B,b,c)，(C,a,b)，(C,a,c)，(C,b,c)，(D,a,b)，(D,a,c)，(D,b,c)，(E,a,b)，(E,a,c)，(E,b,c)，(F,a,b)，(F,a,c)，(F,b,c)，共18种；其中A不在训练组且a在训练组的结果有(B,a,b)，(B,a,c)，(C,a,b)，(C,a,c)，(D,a,b)，(D,a,c)，(E,a,b)，(E,a,c)，(F,a,b)，(F,a,c)，共10种.故概率为P=1018=5920.20.已知函数f(x)=exmx，其中m为常数.（）若对任意xR有f(x)0恒成立，求m的取值范围；（）当m1时，判断f(x)在0,2m上零点的个数，并说明理由.【答案】（1）(,1（2）f(x)在m,2m上有两个零点【解析】试题分析：（）求导，通过导函数的符号变换研究函数f(x)的单调区间、极值和最小值，再利用最小值非负进行求解；（）利用函数f(x)的单调性和零点存在定理进行判定.试题解析：（1）由题意可知f(x)在R上连续，且f(x)=ex-m-1，令f(x)=0得x=m当x(-,m)时，ex-m1,f(x)1,f(x)0,f(x)单调递增；故x=m时，f(m)为极小值也是最小值.令f(m)=1-m0得m1.即对任意xR,f(x)0恒成立时，m的取值范围是(-,1.（2）当m1时，f(m)=1-m0,f(0)f(m)1时，g(m)=em-20，g(m)在(1,+)上单调递增.g(m)g(1)=e-20，即f(2m)0.f(m)f(2m)0设A(x1,y1),B(x2,y2)解得y1=m+2m2+3m2+4,y2=m-2m2+3m2+4则y1-y2=4m2+3m2+4SAOB=12OEy1-y2=2m2+3m2+4=2m2+3+1m2+3设g(t)=t+1t,t=m2+3,t3则g(t)在区间3,+)上为增函数所以g(t)433所以SAOB32当且仅当m=0时取等号所以SAOB的最大值为