函数图象的几何变换教案

函数图象的几何变换教案【教学目标】1让学生熟练掌握各种图象变换，能迅速作出给定的函数图象；2让学生了解用数形结合法解决方程、不等式、含参问题的讨论；3培养学生主动运用数形结合方法解题的意识【教学重点】函数图象的几何变换【教学难点】1各种图象变换之间的区别及灵活应用；2运用数形结合方法解题【例题设置】例1（平移易错点剖析），例2、4（函数作图），例3（找中心），例5（图象法解不等式）【教学过程】第一课时一、复习九种基本函数及圆锥曲线的图象正比例函数，反比例函数， 其图象是以原点为中心，以直线和为对称轴的双曲线一次函数，一元二次函数指数函数且（特征线：） 对数函数且（特征线：）正弦函数，周期余弦函数，周期正切函数周期一个小结论：在区间上恒有（证明文科留至三角函数一节再给出，理科用导数证明如下）证明：记，则在上恒成立，故在上为增函数，所以，即当时，恒有记，则在上恒成立，故在上为增函数，所以，即当时，恒有综上所述，在区间上恒有椭圆X型：；Y型： 双曲线X型： ； Y型： 抛物线； ； 注意：1牢记九种基本函数及圆锥曲线图象是进行函数图象变换的基础，也是提高用数形结合方法解题速度的关键2理解各种曲线图象的较为精确的画法，这在用数形结合法解题，涉及两个图象之间关系时，才不至于造成误解二、图象的初等变换A、平移变换1要作出函数的图象，只需将函数的图象向左或向右平移个单位即可2要作出函数的图象，只需将函数的图象向上或向下平移个单位即可例1的图象可由的图象经过如何变换得到？误解：将的图象往右平移个单位可得到的图象点评：该种解法是学生中最常见的一种错误解法，造成这个错误的主因还是对变换规则理解不透，规则中强调的是将换成而必须将中的换成才会得到，故应是将的图象往右平移个单位可得到的图象B、局部对称变换3要作函数的图象，只需将函数在轴左侧的图象擦掉，再将在轴右侧的图象作关于轴对称，并保留在轴右边部分即可得到4要作函数的图象，只需将函数的图象轴下方的部分沿着轴对折到轴上方，去掉原轴下方部分，并保留的轴上方部分即可得到点评：区别这两种变换的一种方法为偶函数，故其图象关于轴对称；的函数值非负，故在下方无图象作函数与的图象亦可用零点分区间法将其化为分段函数形式再进行作图如：并不是所有含绝对值的函数图象均可用这两种变换作出，如：，此时只能将其化为分段函数：，再作出其图象C、整体对称变换5要作的图象，只需将函数的图象以轴为对折线进行翻转即可得到6要作函数的图象，只需将函数的图象以轴为对折线进行翻转即可得到7要作函数的图象，只需将函数的图象作关于原点对称即可得到8要作函数的图象，只需将函数的图象作关于直线对称即可得到点评：与比较：若值一样，则值相反，故与的图象关于轴对称其它同理可知D、伸缩变换9要作函数的图象，只需将函数图象上所有点的横坐标缩短或伸长为原来的（纵坐标不变）即可（若，还得同时进行关于轴的翻转变换）10要作函数的图象，只需将函数图象上所有点的纵坐标伸长或缩短到原来的倍（横坐标不变）即可（若，还要再进行关于轴的翻转变换）点评：伸缩变换叙述时一定要注意用辞，注意“缩短”与“缩短为”的区别E、按向量平移11若将函数按向量平移，则可依据向量图象将平移转化为：先向左（）或向右（）平移个单位，再向上（）再向下（）平移个单位如按向量平移可转化为先向右平移2个单位，再向上平移1个单位热身训练1函数的图象按平移后得到的图象的函数解析式为 （答案：）解析：即向左平移1个单位，再先向下平移2个单位2利用函数图象变换，快速作出下列函数图象例2利用函数图象变换，快速作出下列函数图象解：步骤处，可能会出现与例1类似的错误：由变为法一：法二：法三：课后练习法一：法二：法一：法二：法三： 法一：法二：解： 【课堂小结】1要牢记九种基本函数与圆锥曲线图象，这是快速作图的基础；2通过图象变换可以解决大部分的函数图象，但还有一些函数（如高次函数、较复杂的复合函数）无法通过变换得到，此时可通过导数的知识作出其草图；3注意各种变换之间的区别，注意各种变换中所改变的量是什么；4利用图象变换作图时，一定要注意所变换的每个步骤都要能够实现【教后反思】第二课时函数的图象画法可参照例3，先通过变量分离确定其图象中心，再由的符号确定其图象位置三、几种中心（或顶点）不在原点的曲线图象的画法1圆圆心：2椭圆中心：3双曲线中心：4抛物线顶点：5函数（） 中心：作图步骤：确定其图象中心（或顶点）；在其图象中心（或顶点）画一个十字架（可当作新坐标系）；在新坐标系中作出其图象小结：1证明可由坐标平移公式容易给出；2类比圆的方程或二次函数，可总结出以下规律：先将其化成为各自对应的“标准方程形式”，则减去的分别是中心（或顶点）的横纵坐标例3若椭圆按向量平移后所得方程为，则向量等于（C）A、B、C、D、随堂练习椭圆的中心为点，它的一个焦点为，相应于焦点的准线方程为，则这个椭圆的方程是（答案：）解析：依题意，解得四、无理函数的作图形如或（A0）的函数均可借助解几知识迅速而准确地作出，从而为研究函数、方程、不等式等问题提供极大的方便.例4作出下列函数图象：解：易知原函数的值域为，原函数可化为，在直角坐标系中作出其图象（如下图所示）解：易知原函数的值域为，原函数可化为，在直角坐标系中作出其图象（如下图所示）小结：作无理函数的步骤：确定原函数的值域（或定义域）；通过两边平方，化掉根式；根据新方程，由圆锥曲线或圆的定义给出图象（根据原函数的值域（或定义域）保留题意的一部分图象）五、利用函数图象解不等式例5利用图象解下列不等式：解：原不等式可化为在同一坐标系中分别作出函数与的图象，如下图所示：由上图可知：原不等式的解集为：解：在同一坐标系中分别作出函数与的图象，如下图所示：令，解得，即两函数图象的交点横坐标为由上图可知：原不等式的解集为：小结：通过变形，将不等式两边分别看作两个函数，并在同一坐标系中分别作出这两个函数的图象，从而通过图象可以得到原不等式的解集用同一思路，还可以解决超越方程根的个数的判断这几年高考对不等式的解法只要“掌握简单不等式的解法”，若在高考中出现无理不等式，必定可以用淘汰法或数形结合法得以解决 课后练习详见第三课时【课堂小结】1考察中心（或顶点）不在原点的圆锥曲线这几年高考基本不出现，只有06天津文8考查了它，值得我们加以一定的关注；2虽然高考对无理不等式的解法已不做要求，但在考查反函数和函数性质时还是会出现无理函数，故对无理函数的作图还是要求掌握的；3对于方程解的个数，同样可以将方程两侧（有些方程也需要进行一定的变形）分别看作两个函数，从而转化为两个函数交点的个数进行处理本课时中三、四部分有超纲的嫌疑，设置这两个部分的目的更多是为了培养学生的类比思想和数形结合思想【教后反思】第三课时（习题讲评）课后练习1迅速作出以下各函数图象2解下列不等式 答：；法二 ：原不等式等价于：解得：法一：答：；点评：并不是所有的不等式都适用数形结合法解题，第小题反映明显，利用数形结合法解题必须基于函数图象比较容易作出六判断以下各方程根的个数.有2根有3根有2根有2根有3根有7根变式：若方程与的根分别为，试比较与的大小1解析：由图易知点评：画对数函数图象时，至少要画两点：和课后练习详见第四课时【课堂小结】利用数形结合法解不等式或方程根的个数问题的前提是不等式（或方程）两侧的函数图象都要容易给出【教后反思】第四课时（习题讲评）思考题当实数取何值时，关于的方程恰有两解？法一：原方程可化为，记，令，解得，列表11极大值2极小值2当时，且当时，由上表可知，当时，方程有2个不同的解当时，关于的方程恰有两解法二：记，则令，解得，列表11极小值极大值当时，且当时，由上表可知，当时，曲线与轴恰有二个交点，即原方程恰有两解；当时，曲线与轴恰有二个交点，即原方程恰有两解当时，关于的方程恰有两解变式：讨论关于的方程解的个数当实数取何值时，函数与有两个不同的交点点评：函数、方程、不等式这三者完全可以根据图象将其联系在一起七含参问题的讨论若关于的不等式恒成立，则实数由图象可知：方程（）有两个相异的实根，则由图可知故方程有四个不同的实根，则联立消去得令，解得故切线斜率为当的图象与轴有交点时，即方程有解解关于的不等式：当时，当时，；当时，【课