函数与方程思想的应用新课标人教

函数与方程思想的应用陕西洋县中学 刘大鸣http:/www.DearEDU.com【思想方法精析】函数的思想，就是用运动变化的观点，分析和研究具体问题中的数量关系，建立函数关系，运用函数的知识加以解决.这种思想方法在于揭示问题的数量关系的本质特征，重在对问题的动态研究，以变量的运动变化，联系和发展角度打开思路 .和函数有必然联系的是方程，方程实质为函数值为0时自变量满足的关系式.要确定变化过程中的某些变量，往往要转化为方程（组）的求解问题.方程的思想是“动中求静，研究运动中的等量关系”.函数思想和方程思想密切相关，相辅相成，为解决数学综合问题提供了思路和方法.【经典问题回放】1 利用函数思想沟通变量和知识间的关系.例1. 函数f(x)使 f(x2-1)=对于f(x)值域中的任何实数p,都有x2+(p-2)x+(1-p)0，求x的范围.简析：换元法求解析式，函数思想,选主元沟通变量间的关系，用“一次函数的保号性”解决.换元易求f(x)=,且为减函数，由单调性知，0=f(3)于是，问题化为，0中的任何实数p，都有x2+(p-2)x+(1-p)0.若视关于x的二次不等式需分类研究.若“函数思想沟通化参数p为主元”可构造“一次函数的保号性”求解“简单且具有操作性”.x2+(p-2)x+(1-p)0,问题化为g(p)= 由“一次或常函数函数在闭区间上的图象是线段”只需g(0)=x2-2x+10,g(解之所求x的范围为（-例2 RtABC中C=90o , A、B、C的对应边分a、b、c且a+b=cx，以斜边AB为轴将ABC旋转一周，所得几何体的表面积为S1，ABC的内切圆面积为S2，求函数f(x)=的最小值.简析：运动变换的观念，构建函数关系，由方程观念确定自变量的范围，用函数单调性求最值.由旋转体的构成过程有，S1=pabx， ，则f（x）=2（x-1）+6=+6，而a+b=cx，则，定义法或导数法可证，+6在上是减函数，故f(x)=的最小值.2 函数思想认识不等式，构建不等式求参数范围.例3不等式+a（a-1）+对一切大于1的自然数n都成立，求实数a的取值范围.简析：不等式左端无法求和，思维中断.若用函数认识不等式其左端为一个函数，研究其单调性转化构建不等式易解.可设函数f（n）=+（n2），由于f(n+1)-f(n)=，所以f(n)为增函数，故f（n）f（2）=，构建不等式有 a（a-1）+，解得 1a.3用函数思想，构建二次函数解决代数逻辑推理问题.例4已知函数f(x)=ax2+bx+c,(abc)图象上有两点A(m1,f(m1),B(m2,f(m2)满足f(1)=0 且a2+(f(m1)+f(m2)a+f(m1)f(m2)=0. 求证 b; 能否保证f(m1+3)和f(m2+3)中至少有一个为正数？请证明你的结论.简析：把握方程根的意义，构建二次方程的判别式和函数的单调性和不等式结论求解. 由a2+(f(m1)+f(m2)a+f(m1)f(m2)=0知，f(m1)=-a或f(m2)=-a.即m1,m2是方程ax2+bx+c=-a的两根.则,即.而f(1)=a+b+c=0.即a+b+c=0,且abc,则a0,c0,所以b; 设f(x)=ax2+bx+c的两根x1,x2. 由f(1)=0，显然，其中一根为1，另一根为c/a,又a0,c0,c/abc，且b=-a-c,则a-a-c.故. 即 |x1-x2|设f(x)=a(x-x1)(x-x2)=a(x-1)(x-c/a).由已知f(m1)=-a或f(m2)=-a.若f(m1)=-a，a(m1-1)(m1-c/a)=-a0,c/am1c/a+31,又f(x)在(1,+上为增函数，所以f(m1+3)0. 同理，当f(m2)=-a时，有f(m2+3)0.故f(m1+3)和f(m2+3)中至少有一个为正数.4 构造 “二次方程根的分布问题”解题.例5 设函数.若函数的定义域为，则函数的值域为，求实数a的取值范围.简析：由值域确定定义域，构造方程，用根的分布求解.的真数是熟知的函数，题设给出定义域和值域的关系，是否具有单调性？函数隐含因为函数的定义域为，所以，从而，又而，这说明.又则在上是增函数，从而在上是减函数，故函数的值域为，据题设有，由方程根的定义知，是方程的两根，且两根均大于.整理为二次方程=的两根均大于，由根的分布，只需 解之，.故实数的取值范围为.【实例演练】1关于x的不等式loga(2-ax)0.g(2)=2-a0,而a0.故不等式有意义隐含0a1.于是，不等式loga(2-ax)0（0a1）在1,2上恒成立在1,2恒成立1,2上恒成立，由“保号性”只需解得,所求a的取值范围为（0，2 (97高考)甲乙两地相距s千米，汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度不得超过c (千米/小时)，已知汽车每小时的运输成本（单位：元）由可变部分和固定部分组成：可变部分与速度 v 的平方成正比，其系数为b ，固定部分为a 元，为了使全程运输成本最低，汽车应以多大速度行驶？简析 构建目标函数，易求运输成本：y=s (),(0,c),化为f(v)= s ()在 (0,c)上的最小值，定义法易证f(v)在（0，）上减， 在 ，+上增， 讨论c 和的大小，分两类研究.当c时,f(v)min =f (c),此时v=c； 当c时, f(v)min =f()，此时v= .3对于函数，若存在使成立，则称为的“不动点”.已知函数 当时，求的不动点； 若对任意实数b,函数恒有两个相异的不动点，求a的取值范围; 在下，若的图象上两点的横坐标是函数的不动点，且两点关于直线对称，求的最小值.简析：信息迁移题，阅读理解的基础上，两次构建二次函数的判别式求参数范围，利用对称的意义和二次的韦达定理目标函数求最值. ，由不动点意义，解，得-1，3为的不动点； 由有两个不动点，则，即有两个不相等的实根，故恒成立，注意到目标意识，选为主元，即对任意恒成立，所以，解得，； 由上讨论知，而题设的图象上两点的横坐标是函数的不动点，易知，即，设的中点为E,则E,而由对称性知可得，解出，当且仅当时，取得最小值为.3设试确定实数的取值范围，使对于，不等式恒成立。（研究的单调性构建不等式求解）。 4 已知关于的实系数二次方程有两个实根.证明：是的充要条件.简析：分清充分条件和必要条件，用