函数的值域与最值第七讲新课标人教_第1页
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文档简介

函数的值域与最值第七讲值域是函数的三要素之一，在近几年高考中多在解答题中出现，而且由于有了导数的应用，可以求函数的最值，值域即是最大值与最小值为端点的区间，故在选择题、填空题中出现的情况极少，但必须掌握。此类问题主要利用求函数值域的常用方法：配方法、分离变量法、单调性法、图象法、换元法、不等式法等。无论用什么方法求函数的值域，都必须考虑函数的定义域。求函数值域（最值）的常见方法：（1）利用基本函数求值域：适用于当函数结构不复杂，可以通过基本函数的值域及不等式的性质直接观察出函数的值域。（2）反函数法：如所求值域的函数有反函数，用函数和它的反函数的定义域和值域的关系，通过求反函数的定义域而得到原函数的值域。但此种方法在理论上是有问题的，因为求反函数同样要面临求原函数的值域，即反函数的定义域，此种方法有缺陷。（3）换元法：通过换元把一个较复杂的函数变为简单易求值域的函数，其函数特征是函数解析式含有根式或三角函数公式模型，运用换元法时，要特别要注意新元的范围。如的值域为_（答：）；的值域为_（答：）（令，。的值域为_（答：）；的值域为_（答：）；（4）配方法：二次函数或形如类的函数。二次函数在给出区间上的最值有两类：一是求闭区间上的最值；二是求区间定（动），对称轴动（定）的最值问题。求二次函数的最值问题，勿忘数形结合，注意“两看”：一看开口方向；二看对称轴与所给区间的相对位置关系。（5）不等式法：利用基本不等式求函数的最值，其题型特征解析式是和式时要求积为定值，解析式是积时要求和为定值，不过有时须要用到拆项、添项和两边平方等技巧，要注意满足条件才能用，如利用基本不等式求函数的最值需满足“一正二定三相等”。（6）导数法：适用于在定义域上可导函数，作为高中数学而言这几乎是一种通过法（含有绝对值的函数一般不能用。（7）判别式法：对分式函数（分子或分母中有一个是二次）都可通用，但这类题型有时也可以用其它方法进行求解，不必拘泥在判别式法上，也可先通过部分分式后，再利用均值不等式：型，可直接用不等式性质，如求的值域（答：）型，先化简，再用均值不等式，如（1）求的值域（答：）；（2）求函数的值域（答：） 型，通常用判别式法；如已知函数的定义域为R，值域为0，2，求常数的值（答：）型，可用判别式法或均值不等式法，如求的值域（答：）（8）单调性法：利用一次函数，反比例函数，指数函数，对数函数等函数的单调性，如函数在所给区间上是单调的，则最值分别在两个端点处取到。如求，的值域为_（答：、）；（9）数形结合法：函数解析式具有明显的某种几何意义，如两点的距离、直线斜率、等等，如（1）已知点在圆上，求及的取值范围（答：、）；（2）求函数的值域（答：）；（3）求函数及的值域（答：、）注意：求两点距离之和时，要将函数式变形，使两定点在轴的两侧，而求两点距离之差时，则要使两定点在轴的同侧。（10）函数有界性法：直接求函数的值域困难时，可以利用已学过函数的有界性，来确定所求函数的
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