北京西城区高三数学模拟测试二模文

1 北京市西城区北京市西城区 20182018 届高三数学届高三数学 5 5 月模拟测试（二模）试题月模拟测试（二模）试题 文文 第第卷卷（选择题 共 40 分） 一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分在每小题列出的 四个选项中， 选 出符合题目要求的一项 1若集合 |01Axx， 2 |20Bx xx，则下列结论中正确的是 （A）AB （B）AB R （C）AB（D）BA 2复数 1 1i （A） 1i 22 （B） 1i 22 （C） 1i 22 （D） 1i 22 3下列函数中，既是偶函数又在区间(0,)上单调递减的是 （A） 1 y x （B） 2 yx（C）cosyx（D）ln |yx 4某正四棱锥的正（主）视图和俯视图如图所示，该正四棱锥的 侧棱长是 （A）10 （B）11 （C）4 10 （D）4 11 5向量, ,a b c在正方形网格中的位置如图所示 若向量ab与c 共线，则实数 （A）2（B）1（C）1（D）2 6设, a bR，且0ab 则“1ab ”是“ 1 a b ”的 （A）充分而不必要条件（B）必要而不充分条件 （C）充分必要条件（D）既不充分也不必要条件 2 7设不等式组 1, 3, 25 x xy xy 表示的平面区域为D若直线0axy上存在区域D上的点， 则实数a的取值范围是 （A） 1 ,2 2 （B） 1 ,3 2 （C）1,2（D）2,3 8地铁某换乘站设有编号为 A，B，C，D，E 的五个安全出口若同时开放其中的两个安 全出口，疏散 1000 名乘客所需的时间如下： 安全出口编号A，BB，CC，DD，EA，E 疏散乘客时间（s） 120220160140200 则疏散乘客最快的一个安全出口的编号是 （A）A（B）B（C）D（D）E 第第卷卷（非选择题 共 110 分） 二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分 9函数 1 |2 y x 的最大值是_ 10执行如右图所示的程序框图，输出的k值为_ 11在ABC中，3a ，2b ， 4 cos 5 B ，则sin A _ 12双曲线 22 :1 916 yx C的焦距是_；若圆 222 (1)(0)xyrr与双曲线C的渐近线 相切，则r _ 3 13为绿化生活环境，某市开展植树活动今年全年植树 6.4 万棵，计划 3 年后全年植树 12.5 万棵若植树的棵数每年的增长率均为a，则a _ 14已知函数 2 ,1, ( ) 1 ,1, 2 x ax f x xa x 其中aR.如果函数( )f x恰有两个零点，那么a的取 值范围是_ 三、解答题：本大题共 6 小题，共 80 分解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步 骤 15 （本小题满分 13 分） 在等差数列 n a和等比数列 n b中， 11 1ab， 22 ab， 43 2ab （）求 n a和 n b的通项公式； （）求数列 nn ab的前n项和 n S 16 （本小题满分 13 分） 已知函数 cos2 ( ) sincos x f x xx （）求( )f x的定义域； 4 （）求( )f x的取值范围 17 （本小题满分 13 分） 在某地区，某项职业的从业者共约 8.5 万人，其中约 3.4 万人患有某种职业病为了 解这种职业病与某项身体指标（检测值为不超过 6 的正整数）间的关系，依据是否患有职 业病，使用分层抽样的方法随机抽取了 100 名从业者，记录他们该项身体指标的检测值， 整理得到如下统计图：（）求样本中患病者的人数和图中a，b的值； （）试估计此地区该项身体指标检测值不低于 5 的从业者的人数； （III）某研究机构提出，可以选取常数 0 4.5X ，若一名从业者该项身体指标检测值大于 0 X，则判断其患有这种职业病；若检测值小于 0 X，则判断其未患有这种职业 病从样本中随机选择一名从业者，按照这种方式判断其是否患病，求判断错误的 概率 18 （本小题满分 14 分） 如图，梯形ABCD所在的平面与等腰梯形ABEF所在的平面互相垂直， /ABCDEF，ABAD，G为AB的中点2CDDAAFFE，4AB （）求证：/DF平面BCE； （）求证：平面BCF 平面GCE； 5 （）求多面体AFEBCD的体积 19 （本小题满分 13 分） 已知函数 ln ( ) x f xax x ，曲线( )yf x在1x 处的切线经过点(2, 1) （）求实数a的值； （）设1b ，求( )f x在区间 1 , b b 上的最大值和最小值 20 （本小题满分 14 分） 已知椭圆C： 22 22 1 (0) xy ab ab 的离心率为 6 3 ，经过点(0,1) （）求椭圆C的方程； （）设直线yx与椭圆C交于A，B两点，斜率为k的直线l与椭圆C交于M，N两点， 与直线yx交于点P（点P与点A，B，M，N不重合） （）当1k 时，证明：|PA PBPMPN； （）写出 | | PA PB PMPN 以k为自变量的函数式（只需写出结论） 6 参考答案及评分标准 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 8 8 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 4040 分分. . 1C 2A 3D 4B 5D 6D 7B 8C 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 6 6 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 3030 分分. . 9 1 2 105 11 9 10 1210， 3 5 1325% 14 1 2,) 2 注：第注：第 1212 题第一空题第一空 3 3 分，第二空分，第二空 2 2 分分. . 三、解答题：本大题共三、解答题：本大题共 6 6 小题，共小题，共 8080 分分. . 其他正确解答过程，请参照评分标准给分其他正确解答过程，请参照评分标准给分. . 15 （本小题满分 13 分） 解：（）设等差数列 n a的公差为d，等比数列 n b的公比为q 依题意，得 2 1, 2(13 ). dq dq 2 分 解得 2, 3, d q 或 1, 0. d q （舍去） 4 分 所以 21 n an， 1 3n n b 6 分 （）因为 1 213n nn abn ， 7 7 分 所以 21 135(21)(1333) n n Sn 9 分 1(21)13 213 n nn 11 分 2 31 2 n n 13 分 16 （本小题满分 13 分） 解：（）由 sincos0 xx， 2 分 得 2sin()0 4 x ， 3 分 所以 4 xk，其中kZ 4 分 所以( )f x的定义域为 |, 4 xxkkRZ 5 分 （）因为 22 cossin ( ) sincos xx f x xx 7 分 cossinxx 9 分 2cos() 4 x 11 分 由（）得 4 xk，其中kZ， 所以 1cos()1 4 x ， 12 分 所以 ( )f x的取值范围是(2,2) 8 13 分 17 （本小题满分 13 分） 解：（）根据分层抽样原则，容量为 100 的样本中，患病者的人数为 3.4 10040 8.5 人 2 分 10.100.350.250.150.100.05a ， 10.100.200.300.40b 4 分 （）指标检测值不低于 5 的样本中， 有患病者40(0.300.40)28人，未患病者60(0.100.05)9人，共 37 人 6 分 此地区该项身体指标检测值不低于 5 的从业者的人数约为 37 8500031450 100 人 8 分 （）当 0 4.5X 时，在 100 个样本数据中， 有40(0.100.20)12名患病者被误判为未患病， 10 分 有60(0.100.05)9名未患病者被误判为患病者， 12 分 因此判断错误的概率为 21 100 13 分 18 （本小题满分 14 分） 解：（）因为 /CDEF，且CDEF， 9 所以 四边形CDFE为平行四边形， 所以 /DFCE 2 分 因为 DF 平面BCE， 3 分 所以 /DF平面BCE 4 分 （）连接FG 因为 平面ABCD 平面ABEF，平面ABCDI平面ABEFAB，ADAB， 所以 AD 平面ABEF， 所以 BFAD 6 分 因为 G为AB的中点， 所以 /AG CD，且AGCD；/EFBG，且EFBG， 所以 四边形AGCD和四边形BEFG均为平行四边形 所以 /AD CG， 所以 BFCG 7 分 因为 EFEB， 所以 四边形BEFG为菱形， 所以 BFEG 8 分 所以 BF 平面GCE 9 分 所以 平面BCF 平面GCE 10 分 （）设 BFGEOI 由（）得 /DFCE，所以 /DF平面GCE， 由（）得 /AD CG，所以 /AD平面GCE， 所以 平面/ADF平面GCE， 所以 几何体ADFGCE是三棱柱 10 11 分 由（）得 BF 平面GCE 所以 多面体AFEBCD的体积 ADF GCEB GCE VVV 12 分 1 3 GCEGCE SFOSBO 48 3 33 GCE SFO 14 分 19 （本小题满分 13 分） 解：（）( )f x的导函数为 2 2 1 ln ( ) xax fx x ， 2 分 所以(1)1fa 依题意，有 (1)( 1) 1 12 f a ， 即 1 1 12 a a ， 4 分 解得 1a 5 分 （）由（）得 2 2 1ln ( ) xx fx x 当0 1x时， 2 10 x，ln0 x，所以( )0fx，故( )f x单调递减 所以 ( )f x在区间(0,1)上单调递增，在区间(1,)上单调递减 8 分 因为 1 01b b ， 所以 ( )f x最大值为(1)1f 9 分 设 111 ( )( )( )()lnh bf bfbbb bbb ，其中1b 10 分 11 则 2 1 ( )(1)ln0h bb b ， 故 ( )h b在区间(1,)上单调递增 11 分 所以 ( )(1)0h bh， 即 1 ( )( )f bf b ， 12 分 故 ( )f x最小值为 11 ( )lnfbb bb 13 分 20 （本小题满分 14 分） 解：（）设椭圆C的半焦距为c依题意，得 6 3 c a ， 1b ， 且 222 abc 2 分 解得 3a 3 分 所以 椭圆C的方程是 2 2 1 3 x y 4 分 （） （）由 22 , 33, yx xy 得 33 (,) 22 A， 33 (,) 22 B 5 分 1k 时，设直线l的方程为yxt 由 22 , 33, yxt xy 得 22 46330 xtxt 6 分 令 22 3648(1)0tt ，解得 2 4t 设 1122 (,),(,)M x yN xy ， 则 12 3 2 t xx ， 2 12 33