吉林东北师范大学附属中学高中数学4.1.3第三讲直线和圆教案新人教选修4

第三讲 直线和圆教学目标知识与技能：证明圆周角定理、圆的切线的判定定理及性质定理。过程与方法：以“圆周角定理”和“圆的切线概念”为起点，采用从特殊到一般的思想方法，得出圆内接四边形的性质和判定定理的猜想及其证明，圆的切线的性质和判定的有关定理；情感态度价值观：从特殊到一般的思想方法，通过观察、探索、发现的创造性过程，培养创新意识。.教学重点圆周角定理、圆的切线的判定定理及性质定理教学难点圆周角定理、圆的切线的判定定理及性质定理课时3课时一基础知识回顾1、下列命题中错误的是（ ）A过一个圆的直径两端点的两条切线互相平行B直线AB与O相切于点A，过O作AB的垂线，垂足必是AC若同一个圆的两条切线互相平行，则连结切点所得的线段是该圆的直径D圆的切线垂直于半径答案:D.2、如图15-29，PA、PB、CD都是O的切线，A、B、E为切点.若APPB，垂足为P，PDC的周长为C，O的周长为C1，则C1与3C的大小关系是（ ）AC13C BC13C CC1=3C D与半径有关答案:A.3、如图15-30，点P是O的直径BA延长线上一点，PC与O相切于点C，CDAB，垂足为D，连结AC、BC、OC，那么下列结论中正确结论的个数有（ ）PC2=PAPB；PCOC=OPCD；OA2=ODOP；OA（CPCD）=APCDA1 B2 C3 D4AODPCB图15-30OBPDCE图15-29A答案:D.BADCEOm图15-314、如图15-31，已知AB是O的弦，AC切O于点A，BAC=60，则ADB的度数为 答案:120.二典型例题讲解例1已知：ABC内接于O，BT为O的切线，P为直线AB上一点，过点P作BC的平行线交直线BT于点E，交直线AC于点F.（1）如图15-32（1），求证：当点P在线段AB上时，PAPB=PEPF；（2）如图15-32（2），当点P在线段AB的延长线上时，上述结论是否还成立？如果成立，请给予证明；如果不成立，请说明理由.PBTEOACF15-32（2）MPTEOCFAB15-32（1）分析：第（1）问中，要证明PAPB=PEPF，就是证明四条线段所在的两个三角形相似 解：（1）证明：BT切O于点B ， EBA=C EFBC ， AFP=C EBA=AFP BPE=FPA， PBEPFA PAPB=PEPF（2）当P为AB延长线上一点时，（1）中的结论仍成立. BT切O于点B ， ABM=ACB ABM=PBE ， PBE=ACB EFBC， F=ACB PBE=F P是公共角 ， PBEPFA PAPB=PEPF评析：本题第（1）小题是在圆中求证等积式的问题根据弦切角定理及已知条件PEBC，证得PBEPFA，得到，从而有PAPB=PEPF第（2）题中当点P为AB延长线上一点时，由于相切及PEBC的条件没变，因此相关的角的相等关系不变，仍可证得PBEPFA，得出相同的结论例2如图15-33，已知A、B都经过点C，BC是A的切线，B交AB于点 D，连结CD并延长交A于点E，连结AE.（1）求证：AEAB；（2）求证：DEDC=2ADDB；（3）如果DEDC=8，AE=3，求BC的长.分析：要证明AEAB，只要证明EAD=90，也就是证明ADE的另外两个角互余，结合圆的基本性质和切线的性质可得证FEDCBA图15-33解：（1）证明：AC与B相切 ，ACBC， ACDBCD=90 AC=AE，BC=BD， ACD=E，BCD=BDC ADE=BDC， EADE=90 EAD=90 AEAB（2）证明：延长DB交B于点E，连结FC，则DF=2DB，DCF=90 AC与B相切， ACD=F E=F RtADERtCDF DEDC=ADDF DF=2DB， DEDC=2ADDB（3）DEDC=2ADDB，DEDC=8， ADDB=4 AC=AE=3，BD=BC，AB2=AC2BC2 （ADDB）2=AE2BC2 AD22ADDBDB2=9BC2 AD28=9 AD=1 BD= 4 即BC= 4评析：第（2）题的突破口在2ADDB的转化，除了延长半径成直径这一方法外，还可以延长DA到G，使AG=DA等其它方法事实上，在证明一些带有倍数的乘积式（或比例式）时，常常需要将它转化为标准的比例式，即用具体的线段代换“倍线段”，以便进一步探寻本题的第（3）问还可以通过切割线定理来解决，同样需要运用整体思维方法和方程的思想.例3已知O1与O2的直径分别为4和2，如果它们有两条公切线互相垂直，试画出所有可能的图形，并求出圆心距的长.分析：条件中没有明确说明公切线的类型，因此应分为三类：两条都是外公切线；两条都是内公切线；一条外公切线、一条内公切线解析：共有三种可能的图形，如下所示： B C E O1A AAAAAAAAAA D O2图1 B A AAAAAAAAAA C D O1 O2图2 E O2图3A AAAAAAAAAA B C D O1 E图1：连结O1A、O2B，则O1AAB，O2BAB作O2EO1A，垂足为E根据条件可得在RtO1O2E中，O1E=O1AO2B=21=1，O1O2A= 45，圆心距O1O2=图2：连结O1O2，则O1O2经过两条公切线的交点E.连结O1A、O2B，则O1AAB，O2BAB在RtO1AE中，O1A=2，O1EA=45 ，O1E=2在RtO1BE中，O2B=1，O2EB= 45 ，O2E=圆心距O1O2=3图3：连结O1A、O2B、O1C、O2D，则O1AAB、O2BAB、O1CCD，O2DCD连结O1O2，作O2EO1A，垂足为E，此时O2、D、E三点共线在RtO1O2E中，O1E=O1AO2B=21=1，O2E=AB=O1CO2D=21=3，圆心距O1O2=评析：因为两个圆的半径分别为2和1，因此若两个圆外切，不可能出现两条外公切线互相垂直或一条外公切线与一条内公切线互相垂直的情况由此可以断定两圆的位置关系为相交或外离当两圆外离时，又会有两条内公切线互相垂直（如图2）和一条外公切线与一条内公切线互相垂直（如图3）这两种可能在解题过程中，应用了这样一些性质：如果两圆有两条外（或内）公切线，并且它们相交，那么交点一定在两圆的连心线上，并且连心线平分两条外（或内）公切线的夹角图3是容易被遗漏的一种情况，在图3中，两条互相垂直的公切线和两圆的半径构成两个正方形ABCDE图15-34APDCOB图15-35DBAC图15-36三精选试题演练1、如图15-34，AB=BC=CD，E=40，则ACD= 答案: 15. 2、如图15-35，已知O的切线PC与直径BA的延长线相交于点P，C是切点，过A的切线交PC于D，如果CDPD=12，DA=2，那么O的半径OC= 答案:2；3、如图15-36，ABC内接于O，AD切O于A，BAD=72，则ACB= 答案:108. 4、如图15-37，已知AD、AE分别和圆相切于点D、E，直线BC和圆相切于点F，和AD、AE分别相交于B、C两点.AB=8，BC=7，AC=9，DAE=50，则AD=，BF=，OAD=，DOE=，DFE=.答案:12，4，25，130，115.5、如图15-38，ABCD是O的内接四边形，AC平分BAD并与BD交于E点，CF切O于C交AD延长线于F，图中四个三角形：1ACF；ABC；ABD；BEC，其中与CDF一定相似的是（ ）A B C D答案:D；OABCDF图15-38ADBCFOm图15-376、如图15-39，已知O1与O2外切于点A，O1的弦BC的延长线切2于点D，BA交O2于点E求证：CAD=DAEABCDEO1O2图15-39提示：过A作两圆的公切线AF交BD于F，AF、BD都是O的切线，FAC=B，FDA=FADDAE=FDAB，CAD=FACFAD，CAD=DAE图15-40EABGDCO7、如图15-40，CA、CD分别切O于A、D，AB是O的直径，DEAB，垂足为E，DE交BC于点G，求证：EG=DG提示：过B作O的切线交直线CD于F，由,可得EG=DG8、如图15-41，AB是O的直径，AB=2R，直线l和O相切于点B，D是圆上的一个动点（不与A、B重合），过点D的O的切线交l于点C，连结AD、OC，则不论点D在圆上如何移动，总有ADOC，且ADOC=2R2，你能说出理由吗？OBAlCD图15-41提示：连结BD.CD、CB是圆的切线，CD=CB，CO平分BCDCOBDAB是O的直径，ADB=90ADBD，ADOCCB与O切于B，CBOB ADOC，DAB=COBRtADBRtOBCADOC=ABOB=2R29、已知：如图15-42，D为ABC外接圆的BC的中点，点I在DA上，且DI=DB，AD与BC相交于E.求证：（1）ID是AD和DE的比例中项；（2）I为ABC的内心.提示：（1）D是BC的中点， BD=DCDBE=DAB D是DBE和DAB的公共角，DBEDABIDECBA图15-42 DB:DA=DE:DB DB2=ADDE DI=DB， DI2=ADDE 即：I D是AD和DE的比例中项 （2）连结BI DI=DB， DBI=DIB DBEDAB， DBE=DAB DBI=DBE+IBE，DIB=DAB+IBA， IBE=IBA D是BC的中点， BAD=CAD 即IA平分BACI为ABC的内心10、如图15-43，已知BC为O的一条弦，它所对的劣弧CB的度数为124，CB的延长线上有一个动点P，PA切O于A，APB的平分线交AB于E，交AC于DA求证：（1）ADP的大小为定值；（2）PA2PB2=DCEBOBCDP图15-43提示：（1）证ADE=AED可得ADP=59；（2）证PADPBE，PCDPAEE四教学反思1、证明直线与圆相切的问题，其条件常常可归结为下面两种图形结构，如图所示为：BAO图2BACO图1 两个图形的区别在于图一中标注出了公共点C（已知直线过圆上某一点），因此在解决图一所代表的一类问题中，添加辅助线的方法是：连结OC. 通过证明OC AB.得到直线AB是圆的切线，即证明位置关系，其理论依据是直线与圆相切的判定定理.图二所代表的一类问题不给出公共点的字母（直线与圆的公共点没有确定），因此添加辅助线的方法是：过点O作OCAB，垂足为C. 通过证明OC等于O的半径得到直线AB是圆的切线，即证明数量关系，其理论依据是直线与圆相切的定义：如果O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d，那么直线l与