四川师大附中高考数学二模理

2017年四川师大附中高考数学二模试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1设集合，若MN，则实数a的取值范围是（）A0a2B0aC2aDa22若z=1i，则复数z+z2在复平面上对应的点的坐标为（）A（1，3）B（3，1）C（1，1）D（1，1）3（12x）5的展开式中含x3的系数为（）A80B80C10D104运行下面的程序，如果输入的n是6，那么输出的p是（）A120B720C1440D50405已知an为等比数列且满足a6a2=30，a3a1=3，则数列an的前5项和S5=（）A15B31C40D1216已知，则tan=（）AB2CD7已知函数f（x）的定义域为R且满足f（x）=f（x），f（x）=f（2x），则=（）A1B1CD08某几何体的三视图如图所示，则其侧面积为（）ABCD9已知点A，B，C在球O的表面上且A=，b=1，c=3三菱锥OABC的体积为，则球O的表面积为（）A16B32C20D510设函数f（x）的定义域为D，若f（x）满足条件：存在a，bD（ab），使f（x）在a，b上的值域也是a，b，则称为“优美函数”，若函数为“优美函数”，则t的取值范围是（）AB（0，1）CD11在ABC中为边BC的三等分点，则的最小值为（）ABCD312已知双曲线，抛物线，C1与C2有公共的焦点F，C1与C2在第一象限的公共点为M，直线MF的倾斜角为，且，则关于双曲线的离心率的说法正确的是（）A仅有两个不同的离心率e1，e2且e1（1，2），e2（4，6）B仅有两个不同的离心率e1，e2且e1（2，3），e2（4，6）C仅有一个离心率e且e（2，3）D仅有一个离心率e且e（3，4）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13已知3位男生和3位女生共6位同学站成一排，则3位男生中有且只有2位男生相邻的概率为 14已知x、y满足，则的取值范围是 15已知圆C：（x3）2+（y4）2=25，圆C上的点到直线l：3x+4y+m=0（m0）的最短距离为1，若点N（a，b）在直线l位于第一象限的部分，则的最小值为 16已知数列an的前n项和为Sn，a1=1，a2=2且Sn+23Sn+1+2Sn+an=0，（nN*），记Tn=，若（n+6）Tn对nN*恒成立，则的最小值为 三、解答题（本大题共5小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17已知=（2sinx，sinx+cosx），=（cosx，（sinxcosx）（0），函数f（x）=的最大值为2（）求函数f（x）的单调递减区间；（）在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，cosA=，若f（A）m0恒成立，求实数m的取值范围18一个盒子装有六张卡片，上面分别写着如下六个函数：f1（x）=x3，f2（x）=5|x|，f3（x）=2，f4（x）=，f5（x）=sin（+x），f6（x）=xcosx（）从中任意拿取2张卡片，若其中有一张卡片上写着的函数为奇函数在此条件下，求两张卡片上写着的函数相加得到的新函数为奇函数的概率；（）现从盒子中逐一抽取卡片，且每次取出后均不放回，若取到一张写有偶函数的卡片则停止抽取，否则继续进行，求抽取次数的分布列和数学期望19如图，在菱形ABCD中，ABC=60，AC与BD相交于点O，AE平面ABCD，CFAE，AB=AE=2（ I）求证：BD平面ACFE；（ II）当直线FO与平面BDE所成的角为45时，求二面角BEFD的余弦角20已知椭圆与椭圆有相同的离心率，且经过点P（2，1）（ I）求椭圆C1的标准方程；（ II）设点Q为椭圆C2的下顶点，过点P作两条直线分别交椭圆C1于A、B两点，若直线PQ平分APB，求证：直线AB的斜率为定值，并且求出这个定值21已知函数，曲线y=f（x）在点（1，f（1）处的切线方程为（其中e=2.71828是自然对数的底数）（ I）求实数a、b的值；（ II）求证：f（x）1请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分选修4-4：坐标系与参数方程22已知曲线C的参数方程为（为参数），以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为（ I）写出曲线C的极坐标方程和直线l的直角坐标方程；（ II）若直线l与曲线C交于A、B两点，求OAB的面积选修4-5：不等式选讲23已知函数f（x）=|x+5|x1|（xR）（ I）解关于x的不等式f（x）x；（ II）证明：记函数f（x）的最大值为k，若lga+lg（2b）=lg（a+4b+k），试求ab的最小值2017年四川师大附中高考数学二模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1设集合，若MN，则实数a的取值范围是（）A0a2B0aC2aDa2【考点】18：集合的包含关系判断及应用【分析】由2xx20，解得M=0，2根据MN，即可得出a的取值范围【解答】解：由2xx20，解得0x2M=0，2MN，2a故选：C2若z=1i，则复数z+z2在复平面上对应的点的坐标为（）A（1，3）B（3，1）C（1，1）D（1，1）【考点】A4：复数的代数表示法及其几何意义【分析】把z=1i代入z+z2，然后利用复数代数形式的乘法运算化简得答案【解答】解：z=1i，z+z2=1i+（1i）2=1i2i=13i，则复数z+z2在复平面上对应的点的坐标为（1，3）故选：A3（12x）5的展开式中含x3的系数为（）A80B80C10D10【考点】DB：二项式系数的性质【分析】根据二项式展开式的通项公式，令x的指数为3，求出展开式中x3的系数【解答】解：（12x）5展开式的通项公式为Tr+1=（2x）r，令r=3，得（12x）5展开式中x3的系数为（2）3=80故选：A4运行下面的程序，如果输入的n是6，那么输出的p是（）A120B720C1440D5040【考点】E7：循环结构【分析】讨论k从1开始取，分别求出p的值，直到不满足k6，退出循环，从而求出p的值，解题的关键是弄清循环次数【解答】解：根据题意：第一次循环：p=1，k=2；第二次循环：p=2，k=3；第三次循环：p=6，k=4；第四次循环：p=24，k=5；第五次循环：p=120，k=6；第六次循环：p=720，k=7；不满足条件，退出循环故选B5已知an为等比数列且满足a6a2=30，a3a1=3，则数列an的前5项和S5=（）A15B31C40D121【考点】89：等比数列的前n项和【分析】根据等比数列的通项公式列方程组求出a1公比q，再计算数列an的前5项和【解答】解：等比数列an中，a6a2=30，a3a1=3，=10，即q（q2+1）=10，q3+q10=0，即（q2）（q2+2q+5）=0，q2=0或q2+2q+5=0，解得q=2，a1=1；数列an的前5项和为S5=31故选：B6已知，则tan=（）AB2CD【考点】GI：三角函数的化简求值【分析】利用诱导公式，同角三角函数的基本关系，二倍角公式求得 tan2的值，可得tan的值【解答】解：已知，即sin（）cos（）=，即sin（2）=，即cos2=，cos2=，tan2=4再结合tan0，可得tan=2，故选：B7已知函数f（x）的定义域为R且满足f（x）=f（x），f（x）=f（2x），则=（）A1B1CD0【考点】3Q：函数的周期性；3T：函数的值【分析】由已知可得函数f（x）是奇函数，且f（0）=0，函数f（x）的周期为4又=2+，即可【解答】解：f（x）=f（x），函数f（x）是奇函数，且f（0）=0f（x）=f（2x）f（x）=f（2x）f（x）=f（x+2）f（x）=f（x+4），函数f（x）的周期为4又=2+=f（4）=f（0）=0故选：D8某几何体的三视图如图所示，则其侧面积为（）ABCD【考点】L!：由三视图求面积、体积【分析】从三视图可以推知，几何体是四棱锥，底面是一个直角梯形，一条侧棱垂直底面，易求侧面积【解答】解：几何体是四棱锥，底面是一个直角梯形，一条侧棱垂直底面且底面直角梯形的上底为1，下底为2，高为1，四棱锥的高为1四个侧面都是直角三角形，其中PBC的高PB=故其侧面积是S=SPAB+SPBC+SPCD+SPAD=故选A9已知点A，B，C在球O的表面上且A=，b=1，c=3三菱锥OABC的体积为，则球O的表面积为（）A16B32C20D5【考点】LG：球的体积和表面积【分析】利用解三角形得出截面圆的半径r，利用d2+r2=R2，求解R，计算球的表面积【解答】解：在ABC中，由a2=b2+c22bccosA得a=设ABC的外接圆的圆心为r，则2r=，即r=三菱锥OABC的体积为，h=O到平面ABC的距离h=球O的半径为R=则球O的表面积为4R2=20故选：C10设函数f（x）的定义域为D，若f（x）满足条件：存在a，bD（ab），使f（x）在a，b上的值域也是a，b，则称为“优美函数”，若函数为“优美函数”，则t的取值范围是（）AB（0，1）CD【考点】34：函数的值域【分析】由题意得，函数是增函数，构造出方程组，利用方程组的解都大于0，求出t的取值范围【解答】解：为增函数，存在a，bD（ab），使f（x）在a，b上的值域也是a，b，则，即a，b是方程为4x2x+t=0的两个不等的根，设2x=m，m2m+t=0有两个不等的实根，且两根都大于0，解得0t，故选：D11在ABC中为边BC的三等分点，则的最小值为（）ABCD3【考点】9R：平面向量数量积的运算【分析】用表示出，得出关于bc的函数，利用基本不等式得出最小值【解答】解： =+， =+，=+，b+c=4，b2+c2=162bc， +=（162bc），=bccosA=bc，=（162bc）+=bc，bc（）2=4，当bc=4时，取得最小值=故选：C12已知双曲线，抛物线，C1与C2有公共的焦点F，C1与C2在第一象限的公共点为M，直线MF的倾斜角为，且，则关于双曲线的离心率的说法正确的是（）A仅有两个不同的离心率e1，e2且e1（1，2），e2（4，6）B仅有两个不同的离心率e1，e2且e1（2，3），e2（4，6）C仅有一个离心率e且e（2，3）D仅有一个离心率e且e（3，4）【考点】KC：双曲线的简单性质【分析】由倾斜角的范围可得cos（1，1），求得0a1，求出抛物线的焦点和准线方程，设M（m，n），m0可得|MF|，由双曲线的第二定义可得|MF|=ema，求得m，再在MFF中运用余弦定理，化简整理，可得a的方程，解方程即可得到a的值，进而得到离心率【解答】解：直线MF的倾斜角为，可得cos（1，1，由题意可得cos（1，1），由，可得|1，解得0a1，由题意可得F（1，0），准线方程为x=1，即c=1，设M（m，n），m0由抛物线的定义可得|MF|=m+1，由双曲线的第二定义可得，|MF|=ema=a，求得m=，m+1=，设双曲线的左焦点为F，由双曲线的第一定义可得|MF|=2a+m+1，在MFF中，可得cos=a=，=，即有a25a+2=0，解得a=（舍去大于1的数），可得a=，即有e=（2，3）故选：C二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13已知3位男生和3位女生共6位同学站成一排，则3位男生中有且只有2位男生相邻的概率为【考点】CB：古典概型及其概率计算公式【分析】先求出基本事件总数n=，再求出3位男生中有且只有2位男生相邻位包含的基本事件个数m=，由此能求出男生中有且只有2位男生相邻的概率【解答】解：3位男生和3位女生共6位同学站成一排，基本事件总数n=，3位男生中有且只有2位男生相邻位包含的基本事件个数m=，男生中有且只有2位男生相邻的概率为p=故答案为：14已知x、y满足，则的取值范围是【考点】7C：简单线性规划【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，联立直线方程与抛物线方程，化为关于x的一元二次方程，利用判别式为0求得目标函数最小值；数形结合得到使目标函数取得最大值的最优解，把最优解的坐标代入目标函数求得最大值【解答】解：由约束条件作出可行域，化目标函数为y=，联立，得2x2x2z=0由=1+16z=0，得z=由图可知，当直线y=过A（1，1）时，直线在y轴上的截距最大，z有最大值为的取值范围是：故答案为：15已知圆C：（x3）2+（y4）2=25，圆C上的点到直线l：3x+4y+m=0（m0）的最短距离为1，若点N（a，b）在直线l位于第一象限的部分，则的最小值为【考点】JE：直线和圆的方程的应用；7G：基本不等式在最值问题中的应用【分析】求出圆的圆心与半径，利用圆C上的点到直线l：3x+4y+m=0（m0）的最短距离为1，求出m，然后推出a，b的方程，利用基本不等式求解表达式的最值【解答】解：圆C：（x3）2+（y4）2=25，圆心坐标（3，4），半径为5，圆C上的点到直线l：3x+4y+m=0（m0）的最短距离为1，可得=6，解得m=55点N（a，b）在直线l位于第一象限的部分，可得3a+4b=55则=（）（3a+4b）= 7+（7+）=当且仅当3a2=4b2，a=取等号故答案为：16已知数列an的前n项和为Sn，a1=1，a2=2且Sn+23Sn+1+2Sn+an=0，（nN*），记Tn=，若（n+6）Tn对nN*恒成立，则的最小值为【考点】8K：数列与不等式的综合【分析】推导出Sn+23Sn+1+2Sn+an=an+22an+1+an=0，从an+2an+1=an+1an，进而an是首项为1，公差为21=1的等差数列，由此得到=2（），由此利用裂项求和法能求出的最小值【解答】解：数列an的前n项和为Sn，a1=1，a2=2且Sn+23Sn+1+2Sn+an=0，（nN*），Sn+23Sn+1+2Sn+an=Sn+2Sn+12（Sn+1Sn）+an=an+22an+1+an=0，an+2an+1=an+1an，an是首项为1，公差为21=1的等差数列，an=1+（n1）1=n，=2（），Tn=2（）=，（n+6）Tn对nN*恒成立，n=2或n=3时，有最大值，的最小值为故答案为：三、解答题（本大题共5小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17已知=（2sinx，sinx+cosx），=（cosx，（sinxcosx）（0），函数f（x）=的最大值为2（）求函数f（x）的单调递减区间；（）在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，cosA=，若f（A）m0恒成立，求实数m的取值范围【考点】HR：余弦定理；GL：三角函数中的恒等变换应用；H2：正弦函数的图象【分析】（）利用两个向量的数量积公式，三角恒等变换，求得f（x）的解析式，再利用正弦函数的单调性，求函数f（x）的单调递减区间（）利用余弦定理求得cosC的值，可得C的值，再利用正弦函数的定义域和值域，求得f（A）的最小值，可得m的范围【解答】解：（）函数=sin2xcos2x =2（sin2xcos2x）=2sin（2x），因为f（x）的最大值为2，所以解得=1，则由，可得：，所以函数f（x）的单调减区间为，kZ（）由可得2b2ab=b2+c2a2，即b2+a2c2=ab，解得，即因为，因为恒成立，则恒成立，即m118一个盒子装有六张卡片，上面分别写着如下六个函数：f1（x）=x3，f2（x）=5|x|，f3（x）=2，f4（x）=，f5（x）=sin（+x），f6（x）=xcosx（）从中任意拿取2张卡片，若其中有一张卡片上写着的函数为奇函数在此条件下，求两张卡片上写着的函数相加得到的新函数为奇函数的概率；（）现从盒子中逐一抽取卡片，且每次取出后均不放回，若取到一张写有偶函数的卡片则停止抽取，否则继续进行，求抽取次数的分布列和数学期望【考点】CH：离散型随机变量的期望与方差；CB：古典概型及其概率计算公式；D8：排列、组合的实际应用【分析】（）所有的基本事件包括两类：一类为两张卡片上写的函数均为奇函数；另一类为两张卡片上写的函数为一个是奇函数，一个为偶函数，先求出基本事件总数为，满足条件的基本事件为两张卡片上写的函数均为奇函数，再求出满足条件的基本事件个数为，由此能求出结果（）可取1，2，3，4分别求出对应的概率，由此能求出的分布列和数学期望【解答】（本小题满分12分）解：（）为奇函数；为偶函数；f3（x）=2为偶函数；为奇函数；为偶函数； f6（x）=xcosx为奇函数所有的基本事件包括两类：一类为两张卡片上写的函数均为奇函数；另一类为两张卡片上写的函数为一个是奇函数，一个为偶函数；故基本事件总数为满足条件的基本事件为两张卡片上写的函数均为奇函数，故满足条件的基本事件个数为故所求概率为（）可取1，2，3，4，；故的分布列为1234P的数学期望为19如图，在菱形ABCD中，ABC=60，AC与BD相交于点O，AE平面ABCD，CFAE，AB=AE=2（ I）求证：BD平面ACFE；（ II）当直线FO与平面BDE所成的角为45时，求二面角BEFD的余弦角【考点】MT：二面角的平面角及求法；LW：直线与平面垂直的判定【分析】（ I）只需证明DBAC，BDAE，即可得BD平面ACFE； （ II）取EF的中点为M，以O为坐标原点，以OA为x轴，以OB为y轴，以OM为z轴，建立空间直角坐标系，则，D（0，0），F（1，0，h），E（1，0，2），则，利用向量法求解【解答】（ I）证明：在菱形ABCD中，可得DBAC，又因为AE平面ABCD，BDAE，且AEAC=A，BD平面ACFE； （ II）解：取EF的中点为M，以O为坐标原点，以OA为x轴，以OB为y轴，以OM为z轴，建立空间直角坐标系，则，D（0，0），F（1，0，h），E（1，0，2），则，设平面BDE的法向量，由，可取，|cos|=，h=3，故F（1，0，3），设平面BFE的法向量为，由，可取，设平面DFE的法向量为，由，可取，cos=， 二面角BEFD的余弦值为20已知椭圆与椭圆有相同的离心率，且经过点P（2，1）（ I）求椭圆C1的标准方程；（ II）设点Q为椭圆C2的下顶点，过点P作两条直线分别交椭圆C1于A、B两点，若直线PQ平分APB，求证：直线AB的斜率为定值，并且求出这个定值【考点】KQ：圆锥曲线的定值问题；K4：椭圆的简单性质；KL：直线与椭圆的位置关系【分析】（ I）求出离心率，结合椭圆经过的点，列出方程组求解a，b，即可求椭圆C1的标准方程；（ II）由直线PQ平分APB和Q（0，1），P（2，1）kPQ=.0kPA+kPB=0，而由直线AB：y=kx+m与椭圆联立，设A（x1，y1），B（x2，y2），结合韦达定理转化求解即可【解答】解：（ I）椭圆与椭圆有相同的离心率，可得e=，椭圆经过点P（2，1）可得：，解得a2=8，b2=2椭圆；（ II）由直线PQ平分APB和Q（0，1），P（2，1）kPQ=0kPA+kPB=0，而由直线AB：y=kx+m与，设A（x1，y1），B（x2，y2），则，由恒成立直线AB的斜率为定值21已知函数，曲线y=f（x）在点（1，f（1）处的切线方程为（其中e=2.71828是自然对数的底数）（ I）求实数a、b的值；（ II）求证：f（x）1【考点】6E：利用导数求闭区间上函数的最值；6H：利用导数研究曲线上某点切线方程【分析】（）求出b的值，求出函数的导数，根据f（1）=ae，求出a的值即可；（）问题转化为证明在（0，1）上恒成立，根据函数的单调性证明即可【解答】解：（ I）；（ II）要证明f（x）1，即证明xlnx+5e2xex，而函数y=xlnx在上单减，在上单增，同时函数在（0，1）上单增，在（1，）上单减（此处证明略），因此只须证明在（0，1）上恒成立首先证明，因=