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2009年清华大学自主招生数学试题(理科)【考试时间】：2009年1月1日下午2：00-3：30 数学 100分1.设的整数部分为,小数部分为.(1)求；(2)求；(3)求.2.(1)已知为实数,且,求证:对于任意正整数都有.(2)已知为正实数,求证:,其中为的一种排列.3.请写出所有三个数均为质数,且公差为的等差数列,并证明你的结论.4.已知椭圆,过椭圆左顶点的直线与椭圆交于,与轴交于,过原点与平行的直线与椭圆交于,求证:,成等比数列.5.已知,设,求.6.随机挑选一个三位数,(1)求含有因子的概率；(2)求中恰有两个数码相等的概率.7.四面体中,(1)求证:四面体每个面的三角形为锐角三角形；(2)设三个面与底面所成的角分别为,求证:.8.证明:当均为奇数时,曲线与轴的交点横坐标为无理数.9.设均为整数,性质为:对中任意个数,存在一种分法可将其分为两组,每组个数,使得两组所有元素的和相等,求证:全部相等当且仅当具有性质.2009年清华大学自主招生数学试题解答（详细解答参见另一个PDF文件）1 2 345 【另解】显然是复数，利用复数的运算性质，结合三角恒等变换即可. 或 当时， 当时，【评析】本问题是三角函数与复数的综合，总体上不是很困难，问题的关键是求出t和分类讨论.本题涉及到的知识点包括：三角的恒等变换、复数的概念、等比数列求和；对于，也可以用辅助角公式：，则，解方程即可。对于等比数列求和一定要注意两点：公比是否为0，
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