生存模型与生命表

.,第三章生存模型与生命表,.,一、关于生存模型,（1）通常，我们把寿险公司出售的合同称为寿险保单，按照寿险保单的约定，保险人（即保险公司）根据被保险人在约定时间内的生存或死亡决定是否给付保险金；,（2）这种只有在特定事件发生时才给付的保险金称为条件支付，其重要特征是它发生的不确定性，一个人的未来生存时间是不确定的（事先不可预知）；,.,（3）被保险人在未来某个时期的生死是不确定事件，对这个不确定事件的研究是寿险精算的主要工作之一，他决定着保险金的给付与否，他的研究把数学和生存与死亡概率联系在了一起。,.,从数学的角度看，生存与死亡状态是一个简单的过程，这个过程有以下特征：（1）存在两个状态：生存和死亡；（2）对单个个体可描述出它们所处的状态：即可划分为生存者和死亡者；（3）生命个体可从“生存状态”转化到“死亡状态”，但不能相反；（4）任何个体的未来生存时间是未知的，所以只能从生存与死亡的概率探讨并着手去研究生存状态；（5）生存模型就是对这一过程所建立起来的数学模型，用数学公式作清晰地描述，从而对死亡率的问题做出部分解释。,.,下面就是生存模型可给出回答的一些问题：（1）一个50岁的人下一年死亡的概率是多少？（2）假如有1000名50岁的人中，下一年可能死去多少人？（3）如果某50岁的人，投保了一个10年定期的某种人寿保险，那么应该向他收取多少保费？（即定价问题！）（4）一些特定因素（如一天吸60根烟卷）对50岁男性公民未来的生存时间有怎样的影响？,.,二、新生婴儿的生存分布,T0：一个刚出生的个体的寿命,下面引入生存分布概念。,假定T0的分布函数和密度函数,.,生存函数（或生存分布）,定义：寿命X的生存函数（或分布）为与分布函数的关系：与密度函数的关系：新生儿将在m岁至n岁之间死亡的概率：,.,注：生存函数的性质,.,例如：（1）一个0岁的人在50岁之后死亡的概率是；（2）而在60岁之前死亡的概率可表示成,（3）而在50岁到60岁之间死亡的概率可表示为,.,三、岁个体的生存分布,一个刚出生的个体生存至x岁，记此时的个体用符号(x)表示，假设x为整数。个体(x)的未来生存时间为一随机变量，记为，则。又记的整数部分为，小数部分为则,.,Tx的分布函数：生存函数（生存分布）：密度函数：,同时，的分布函数、生存函数及密度函数分别用表示。,.,.,所以有，,.,.,四、未来生存时间的密度函数（一些国际通用精算表示法）,1）个体(x)在x+1岁仍然生存的概率；被称为生存概率。,注明从定义中可以看出：,2）个体(x)在未来一年内死亡的概率；称为死亡概率。,（一）未来一年的生存与死亡概率,.,1）:个体(x)活过年龄x+t岁的概率，即(x)至少再活t年的概率；,2）:个体(x)未来t年内死亡的概率；,3）:个体(x)在年龄段（x+u,x+u+t死亡的概率，即(x)活过x+u岁，但在接下来的t年内死亡的概率。特别地，,注明从定义中可以看出：,（二）未来任意期限内的生存与死亡概率,.,定理1（1）生存概率（2）对生存概率与死亡概率有如下的关系：（3）对，有,.,定理证明:(1),(2)由的定义可知,又由条件概率公式，有,.,（3）对，,.,例2已知生存函数计算和。,解:,.,例3已知18岁的小王，再生存10年的概率为0.95，再生存30年的概率为0.75.则其现年28岁在48岁之前的死亡概率为。,解:已知,.,第二节死亡力（或死亡效力）,寿命X的瞬时死亡率（或死亡力（度）定义为,当为连续函数时，有下面关系式成立，即,.,Remark：,.,注：（1）从以上关系式可以把解释为一个活到x岁的个体恰好在此年龄时死亡的可能性（概率）。,（2）应满足的条件：,.,死亡力、密度函数及生存函数三者关系：,定理和可由死亡力函数表示，即,.,定理证明：由死亡力的定义可知,解这个微分方程可知，存在常数C，使得满足取x=0,则,.,将这个关系式代入到，可得,所以当x=0时，C=0，由此可知,.,结论（1）（2）（3）,死亡力与生存函数、密度函数的关系,.,证明：,.,死亡概率、生存概率与死亡力的关系,结论：,.,三个函数之间转换的例子,求生存分布和死亡力。,例4设密度函数为,解：,.,根据死亡力函数的定义，对，,例5设生存分布为如下形式，即服从指数分布（其中为参数）,求出相应的死亡力。,解：,.,.,.,例7已知当时，计算和。,.,.,几种常见的死亡力函数,.,练习：1、验证函数可作为生存函数，并给出对应的死亡力，T0的密度函数与分布函数.2、设3、设,4已知生存函数计算和。,.,.,第三节生命期望值,定义（两个期望生存时间）其中，前者为(x)个体寿命的期望值（完全生命期望值），后者为（x）个体生存整年数的期望值（简单生命期望值），且两者之间满足不等式,下面讨论这两个期望值的具体表达式：,.,定理（1）和与生存函数有如下的关系：（2）和的二阶矩满足下面的公式：,.,补充定理对非负随机变量及正整数n，若，则有,其中，,.,定理的证明：（1）由于，利用前述补充定理可得,又由于假定是连续型随机变量，故在单点上的概率等于0，即,.,（2）,.,定理得证。,.,例8设密度函数为，计算。,可直接写出,解：由生存函数,.,例9设，计算。,解,.,.,例12证明下面等式：（1）（2）,证明：因为，两边对x求导数，有,.,（2）因为,所以,.,对等式的统计意义解释事实上，x岁个体的未来生存整年数的期望可看成是由如下两部分之和构成：,（1）在年龄区间的生存整年数的期望。因为个体(x)生存至x+1岁时生存整年数为1年，否则为0.而个体（x）生存至年龄x+1岁的概率为。因此，在此区间个体（x）的生存整年数的期望为。,.,（2）在年龄区间的生存整年数的期望。因为当个体(x)活过x+1岁时生存整年数的期望为，否则为0.而个体（x）活过年龄x+1岁的概率为。因此，个体（x）在年龄区间的生存整年数的期望为。,综上所述，将两部分结合起来便有下面结果：,.,部分习题,1.试说明生存函数所应满足的条件为：,解事实上，由分布函数的性质和分布函数与生存函数之间的关系直接可导出：,.,部分习题,又因为是单调不减且左连续函数，所以是单调下降且又连续函数。,2.试描述死亡力函数应该满足的条件,首先应满足非负性，即对事实上，,.,部分习题,其次，应满足：事实上，,.,作业：,4.在某特定的人口群体中，所有年龄的死亡力为0.025，计算：（1）年龄为10岁的人在12岁前死亡的概率。（2）年龄为5岁的人在10-12岁死亡的概率。（3）新生婴儿的完全生命期望（4）新生婴儿的简单生命期望,.,5、设死亡力,试求（1）随机变量T0的分布函数与密度函数（2）,.,本章中英文单词对照,