天津第一中学高三数学上学期第三次月考试卷理

天津一中2018-2019 高三年级第三次月考数学试卷（理）一、选择题：1.已知集合，则等于（）A. B. C. D. 【答案】C【解析】试题分析：由 ，解得集合，集合，故 .考点：集合的运算.2.已知实数满足约束条件，则的取值范围是（）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，进行求最值即可【详解】如图，作出不等式组表示的平面区域，由zx+4y可得：y=14x+z4，平移直线y=14x+z4，由图像可知：当直线y=14x+z4过点B时，直线y=14x+z4的截距最小，此时z最小。将B23,13代入目标函数得：zmin=x+4y=23+413=2，故选：C。【点睛】本题主要考查线性规划的基本应用，利用目标函数的几何意义是解决问题的关键，利用数形结合是解决问题的基本方法3.执行如图所示的程序框图,则输出的n值是（ ）A. 5B. 7C. 9D. 11【答案】C【解析】【分析】模拟执行程序框图，只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可得到输出的n的值.【详解】执行程序框图，n=1时，S=113=13；n=3时，S=113+135=25；n=5时，S=113+135+157=37；n=7时，S=113+135+157+179=49，n=9，满足循环终止条件，退出循环，输出的n值是9，故选C.【点睛】本题主要考查程序框图的循环结构流程图，属于中档题. 解决程序框图问题时一定注意以下几点：(1) 不要混淆处理框和输入框；(2) 注意区分程序框图是条件分支结构还是循环结构；(3) 注意区分当型循环结构和直到型循环结构；(4) 处理循环结构的问题时一定要正确控制循环次数；(5) 要注意各个框的顺序,（6）在给出程序框图求解输出结果的试题中只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可.4.下列判断正确的是（）A. “x2”是“ln(x+3)0,2019x+20190”的否定是“x00,2019x0+20190”【答案】C【解析】【分析】利用特殊值判断A；利用基本不等式的条件 “一正二定三相等”判断B，利用原命题与逆否命题的等价性判断C；利用全称命题的否定判断D.【详解】当x=-4时，x-2成立，ln(x+3)0不成立，所以A不正确；对f(x)=x2+9+1x2+92，当x2+9=1x2+9，即x2+9=1时等号成立，而x2+93，所以fx=x2+9+1x2+92,即x2+9+1x2+9的最小值不为2，所以B不正确；由三角函数的性质得 “若=,则sin=sin”正确，故其逆否命题为真命题，所以C正确；命题“x0,2019x+20190”的否定是“x00,2019x0+20190”，所以D不正确，故选C.【点睛】本题主要通过对多个命题真假的判断，主要考查充分条件与必要条件、基本不等式的性质、原命题与逆否命题的等价性、全称命题的否定，属于中档题.这种题型综合性较强，也是高考的命题热点，同学们往往因为某一处知识点掌握不好而导致“全盘皆输”，因此做这类题目更要细心、多读题，尽量挖掘出题目中的隐含条件，另外，要注意从简单的、自己掌握熟练的知识点入手、结合特殊值的应用，最后集中精力突破较难的命题.5.已知函数f(x)=sin(x+)，(0,|0)，直线倾斜角是45且过抛物线C1的焦点，直线被抛物线C1截得的线段长是16，双曲线C2:x2a2y2b2=1的一个焦点在抛物线C1的准线上，则直线与y轴的交点P到双曲线C2的一条渐近线的距离是（）A. 2B. 3C. 2D. 1【答案】D【解析】抛物线的焦点为(2a,0),由弦长计算公式有8asin2450=16a=16,a=1 ,所以抛物线的标线方程为y2=8x,准线方程为x=2 ,故双曲线的一个焦点坐标为(2,0),即c=4 ,所以b=c2a2=41=3 ,渐近线方程为y=3x,直线方程为y=x2,所以点P(0,2),点P到双曲线的一条渐近线的距离为|-2|3+1=1 ,选D.点睛: 本题主要考查了抛物线与双曲线的简单几何性质, 属于中档题. 先由直线过抛物线的焦点,求出弦长,由弦长求出a的值,根据双曲线中a,b,c的关系求出b ,渐近线方程等,由点到直线距离公式求出点P到双曲线的一条渐近线的距离.7.已知函数y=f(x)对于任意的x(0,2)满足f(x)cosx+f(x)sinx=1+lnx，其中f(x)是函数y=f(x)的导函数，则下列不等式成立的是（）A. 2f(3)f(4)C. 2f(6)3f(4)D. 3f(3)f(4)cos4，即2f(3)f(4)；故选B.点睛：处理本题的关键是合理利用f(x)cosx+f(x)sinx的形式，恰当构造g(x)=f(x)cosx，这是导数在函数中应用中的常见题型，要在学习过程中积累构造方法.8.已知A,B,C是半径为2的圆O上的三点，若AB+AC=AO且(ABAC)AO，则ABAC=（）A. 23B. 23C. 2D. 2【答案】C【解析】【分析】先根据向量加法几何意义以及向量垂直确定四边形ABOC形状，再根据向量数量积定义求结果.【详解】因为AB+AC=AO，(AB-AC)AO，所以平行四边形ABOC的对角线相互垂直，即四边形ABOC为菱形，因为AO=BO=2，所以AB=AC=2,BAC=23,因此ABAC=22cos23=-2,选C.【点睛】本题考查向量加法几何意义以及向量数量积，考查基本分析求解能力，属中档题.二、填空题：9.已知为虚数单位，复数z=1+2ii，则|z|=_.【答案】5【解析】【分析】根据复数模的性质与定义求解.【详解】z=-1+2ii=|-1+2i|i|=5.【点睛】本题考查复数模的性质与定义，考查基本分析求解能力，属基础题.10.在极坐标系中，直线cos3sin1=0与圆=2cos交于A，B两点，则|AB|=_.【答案】2【解析】试题分析：直线x3y1=0过圆(x1)2+y2=1的圆心，因此|AB|=2.【考点】极坐标方程【名师点睛】将极坐标或极坐标方程转化为直角坐标或直角坐标方程，直接利用公式即可将直角坐标或直角坐标方程转化为极坐标或极坐标方程时，要灵活运用以及，同时要掌握必要的技巧.【此处有视频，请去附件查看】11.已知a,bR，且2a3b=1，则9a+127b 的最小值是_ 【答案】23【解析】【分析】根据基本不等式求最小值.【详解】因为9a+127b29a127b=232a3b=23,当且仅当9a=127b，2a=3b=12时取等号，所以9a+127b 的最小值是23.【点睛】在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误.12.如图，有7个白色正方形方块排成一列，现将其中4块涂上黑色，规定从左往右数，无论数到第几块，黑色方块总不少于白色方块的涂法有 _ 种【答案】14【解析】【分析】用黑白两种颜色随机地涂如图所示表格中7个格子，每个格子都有2种染色方法，利用分类讨论方法求出出现从左至右数，不管数到哪个格子，总有黑色格子不少于白色格子个数。【详解】由题意可判断第一格涂黑色，则在后6格中有3个涂黑色，共有C63=20种涂法，满足从左往右数，无论数到第几块，黑色方块总少于白色方块的有：（1）第2,3格涂白色共4种涂法，（2）第3,4,5格涂白色共1种涂法，（3）第2,4,5格涂白色共1种涂法。所以满足从左往右数，无论数到第几块，黑色方块总不少于白色方块的涂法有C63411=14种。【点睛】本题考查计数原理，是基础题，解题时要认真审题，注意分类讨论思想的合理运用13.已知三棱锥SABC的所有顶点都在同一球面上，底面ABC是正三角形且和球心O在同一平面内，若此三棱锥的最大体积为163，则球O的表面积等于_【答案】64【解析】【分析】先根据球体的性质判断当S到ABC所在面的距离为球的半径R时，SABC体积最大，再将最大体积用球半径R表示，由棱锥的体积公式列方程求解即可.【详解】ABC与球心O在同一平面内，O是ABC的外心，设球半径为R，则ABC的边长a=3R，SABC=34a2=343R2=334R2，当S到ABC所在面的距离为球的半径R时，SABC体积最大，VSABC=13SABCR=13343R2R=163，R3=64,R=4，球表面积为4R2=416=64，故答案为64.【点睛】本题主要考查球体的性质、棱锥的体积公式及立体几何求最值问题，属于难题.解决立体几何中的最值问题一般有两种方法：一是几何意义，特别是用立体几何和平面几何的有关结论来解决，非常巧妙；二是将立体几何中最值问题转化为函数问题，然后根据函数的特征选用参数法、配方法、判别式法、三角函数有界法、函数单调性法以及均值不等式法求解.14.若函数f(x)=2x-2a,(x0)x2-4ax+a,(x0)，有三个不同的零点，则实数a的取值范围是_.【答案】140)有两个零点，因此a0202a0且a0=16a24a0，解得14a12.【点睛】涉及函数的零点问题、方程解的个数问题、函数图像交点个数问题，一般先通过研究函数的单调性、最大值、最小值、变化趋势等，再借助函数的大致图象判断零点、方程根、交点的情况，归根到底还是研究函数的性质，如单调性、极值，然后通过数形结合的思想找到解题的思路.三、解答题：15.已知向量m=(3cosx1)，n=(sinx,cos2x)，函数f(x)=mn+12.（）若x0,4，f(x)=33，求cos2x的值；（）在ABC中，角A,B,C对边分别是a.b.c，且满足2bcosA2c3a，求f(B)的取值范围.【答案】（1）2236；（2）12,12.【解析】【分析】()利用三角恒等变换化简fx=3sinxcosx-cos2x+12=sin2x-6=33得出cos2x-6=63，通过配凑角的方法即可得出cos2x的值.()由2bcosA2c-3a，结合余弦定理即可得出a2+c2-b23ac从而cosB32，得出B的范围即可求得fB的取值范围.【详解】()fx=3sinxcosx-cos2x+12=32sin2x-12cos2x =sin2x-6=33 又 x0,4 -62x-63cos2x-6=63 cos2x=cos2x-6+6 =cos2x-632-sin2x-612=6332-1233=22-36 ()由2bcosA2c-3a，得2bb2+c2-a22bc2c-3aa2+c2-b23ac cosB=a2+c2-b22bc32 B(0,)0B6, 从而得-62B-66 故fB=sin2B-6-12,12【点睛】本题考查了三角恒等变换、三角函数求值及解三角形，考查了学生的化简运算能力，通过配凑角进行求值是难点.16.一位网民在网上光顾某网店，经过一番浏览后，对该店铺中的三种商品有购买意向已知该网民购买种商品的概率均为，购买种商品的概率均为，购买种商品的概率为假设该网民是否购买这三种商品相互独立（）求该网民至少购买种商品的概率；（）用随机变量表示该网民购买商品的种数，求的概率分布和数学期望【答案】(1) .(2)分布列见解析，.【解析】试题分析：（1）记“该网民购买i种商品”为事件，由互斥事件概率加法公式能求出该网民至少购买2种商品的概率；（2）随机变量的可能取值为，分别求出相应的概率，由此能求出的概率分布.试题解析：解：（1）记“该网民购买i种商品”为事件，则：,所以该网民至少购买2种商品的概率为.答：该网民至少购买2种商品的概率为.（2）随机变量的可能取值为,又P(=2)=P(A2)=1124,P(=3)=P(A3)=14,所以P(=1)=1124112414=14.所以随机变量的概率分布为：0123P12414112414 考点：互斥事件的概率加法公式；相互独立事件的概率乘法公式；离散型随机变量及其分布列.17.如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是边长为2的菱形，DAB=60，ADP=90，平面 ADP平面ABCD，点F为棱PD的中点（）在棱B上是否存在一点E，使得AF平面PCE，并说明理由；（）当二面角DFCB的余弦值为24时，求直线PB与平面ABCD所成的角【答案】（1）见解析（2）60【解析】【分析】（）取PC的中点Q，连结EQ、FQ，得到故AE/FQ且AE=FQ，进而得到AF/EQ，利用线面平行的判定定理，即可证得AF/平面PEC.（）以D为坐标原点建立如图空间直角坐标系，设FD=a，求得平面FBC的法向量为m，和平面DFC的法向量n，利用向量的夹角公式，求得a=3，进而得到PBD为直线PB与平面ABCD所成的角，即可求解.【详解】（）在棱AB上存在点E，使得AF/平面PCE，点E为棱AB的中点理由如下：取PC的中点Q，连结EQ、FQ，由题意，FQ/DC且FQ=12CD，AE/CD且AE=12CD，故AE/FQ且AE=FQ.所以，四边形AEQF为平行四边形.所以，AF/EQ，又EQ平面PEC，AF平面PEC，所以，AF/平面PEC.（）由题意知ABD为正三角形，所以EDAB，亦即EDCD，又ADP=90，所以PDAD，且平面ADP平面ABCD，平面ADP平面ABCD=AD，所以PD平面ABCD，故以D为坐标原点建立如图空间直角坐标系，设FD=a，则由题意知D0,0,0，F0,0,a，C0,2,0，B(3,1,0)，FC=0,2,-a，CB=3,-1,0，设平面FBC的法向量为m=(x,y,z)，则由mFC=0mCB=0得2y-az=03x-y=0，令x=1，则y=3，z=23a，所以取m=1,3,23a，显然可取平面DFC的法向量n=(1,0,0)，由题意：24=cos=11+3+12a2，所以a=3.由于PD平面ABCD，所以PB在平面ABCD内的射影为BD，所以PBD为直线PB与平面ABCD所成的角，易知在RtPBD中，tanPBD=PDBD=a=3，从而PBD=60，所以直线PB与平面ABCD所成的角为60.【点睛】本题考查了立体几何中的面面垂直的判定和直线与平面所成角的求解问题，意在考查学生的空间想象能力和逻辑推理能力；解答本题关键在于能利用直线与直线、直线与平面、平面与平面关系的相互转化，通过严密推理，明确角的构成，着重考查了分析问题和解答问题的能力.18.设等差数列an的公差为d，点(an,bn)在函数f(x)=2x的图象上（nN*）.（1）若a1=2，点(a8,4b7)在函数f(x)的图象上，求数列an的前n项和Sn；（2）若a1=1，函数f(x)的图象在点(a2,b2)处的切线在x轴上的截距为21ln2，求数列anbn的前n项和Tn.【答案】（1）Sn=n(n3)；（2）Tn=2n+1n22n.【解析】试题分析：据题设可得，bn=2an.（1）b7=2a7=22+6d,422+6d=22+7d,d=2，由等差数列的前n项和公式可得Sn.（2）首先可求出f(x)=2x在(a2,b2)处的切线为yb2=2a2ln2(xa2)，令y=0得b2=(2a2ln2)(xa2),x=a21ln2,a2=2，由此可求出an=n，bn=2n.所以anbn=n2n，这个数列用错位相消法可得前n项和Tn.试题解答：bn=2an.（1）b7=2a7=22+6d,422+6d=22+7d,d=2，所以Sn=2n+n(n1)=n(n3).（2）将f(x)=2x求导得f(x)=2xln2，所以f(x)=2x在(a2,b2)处的切线为yb2=2a2ln2(xa2)，令y=0得b2=(2a2ln2)(xa2),x=a21ln2,a2=2，所以d=21=1,an=n，bn=2n.所以anbn=n2n，其前n项和Tn=121+222+323+n12n1+n2n两边乘以2得：2Tn=11+221+322+n2n1得：2TnTn=11+121+122+12n1n2n=212n1n2n，所以Tn=2n+1n22n.【考点定位】等差数列与等比数列.【此处有视频，请去附件查看】19.在平面直角坐标系xOy中，设椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0)的下顶点为A，右焦点为F，离心率为32.已知点P是椭圆上一点，当直线AP经过点F时，原点O到直线AP的距离为32.（）求椭圆C的方程；（）设直线AP与圆O:x2+y2=b2：相交于点M（异于点A），设点M关于原点O的对称点为N，直线AN与椭圆相交于点Q（异于点A）若|AP|=2|AM|，求APQ的面积；设直线MN的斜率为k1，直线PQ的斜率为k2，求证：k1k2是定值【答案】（1）x24+y2=1（2）见证明【解析】【分析】（1）运用椭圆的离心率公式以及点到直线的距离公式，解方程可得a，b，进而得到所求椭圆方程；（2）设直线AP的斜率为k，则直线AP的方程为y=kx-1，联立椭圆方程可得P的坐标，联立圆方程可得M的坐标，运用两直线垂直的条件：斜率之积为-1，求得Q的坐标，由|AP|=2|AM|可得k，求得P，Q坐标，以及AP，AQ，由APQ的面积为12APAQ，计算可得；运用两点的斜率公式，分别计算线MN的斜率为k1，直线PQ的斜率为k2，即可得证.【详解】（1）据题意，椭圆C的离心率为32，即ca=32.当直线AP经过点F时，直线AP的方程为xc+y-b=1，即bx-cy-bc=0，由原点O到直线AF的距离为32，可知-bcb2+c2=32，即bcb2+c2=32.联立可得，a=2，c=3，故b2=a2-c2=1.所以椭圆C的方程为x24+y2=1.（2）据题意，直线AP的斜率存在，且不为0，设直线AP的斜率为k，则直线AP的方程为y=kx-1，联立x24+y2=1，整理可得(1+4k2)x2-8kx=0，所以x=0或x=8k1+4k2.所以点P的坐标为(8k1+4k2,4k2-14k2+1)，联立y=kx-1和x2+y2=1，整理可得(1+k2)x2-2kx=0，所以x=0或x=2k1+k2.所以点M的坐标为(2k1+k2,k2-1k2+1).显然，MN是圆O的直径，故AMAN，所以直线AN的方程为y=-1kx