天津高三数学份联考

天津市2019届高三4月份联考数学试题一、选择题（本大题共8小题，共40.0分）1.设全集，集合，则（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】首先求出集合，然后再求出集合的补集，然后再根据集合的交集运算即可求出结果.【详解】由于，所以，所以，故选D.【点睛】本题主要考查集合的补集、交集运算，熟练掌握补集、交集的运算公式是解决问题的关键.2.设，则“”是“”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】首先解出不等式和，然后再根据充分必要条件的定义即可求出结果.【详解】由，得；由，得或；所以“”是“”的充分不必要条件，故选A.【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，比较基础3.若变量x，y满足约束条件，则目标函数z=-2x-y的最大值为（）A. 16B. 0C. D. 不存在【答案】B【解析】【分析】作出可行域，平移目标函数，结合z的几何意义可得最值.【详解】作出可行域如图：可得目标函数在点A处取到最大值，联立解得,此时，故最大值为0.故选B.【点睛】本题主要考查线性规划.线性规划问题求解方法注意可行域确定及z的几何意义.4.阅读如图所示的程序框图，则输出的数据为（ ）A. 21B. 58C. 141D. 318【答案】C【解析】经过第一次循环得到的结果为，；经过第二次循环得到的结果为，；经过第三次循环得到的结果为，；经过第四次循环得到的结果为，；经过第五次循环得到的结果为，此时输出结果.故选C.5.抛物线的准线与双曲线的两条渐近线所围成的三角形面积为，则的值为 ( )A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】求得抛物线的准线方程和双曲线的渐近线方程，解得两交点，由三角形的面积公式，计算即可得到所求值【详解】抛物线的准线为， 双曲线的两条渐近线为， 可得两交点为， 即有三角形的面积为，解得，故选A【点睛】本题考查三角形的面积的求法，注意运用抛物线的准线方程和双曲线的渐近线方程，考查运算能力，属于基础题6.的图像经过怎样的平移后所得的图像关于点中心对称（ ）A. 向左平移个单位B. 向左平移个单位C. 向右平移个单位D. 向右平移个单位【答案】C【解析】【分析】设出将函数y=sin（2x+）的图象平移个单位得到关系式，然后将x=代入使其等于0，再由正弦函数的性质可得到的所有值，再对选项进行验证即可【详解】假设将函数y=sin（2x+）的图象平移个单位得到y=sin（2x+2+）关于点（，0）中心对称将x=代入得到sin（+2+）=sin（+2）=0+2=k，=+，当k=0时，=，向右平移，故选：B【点睛】本题考查的是三角函数的平移问题，首先保证三角函数同名，不是同名通过诱导公式化为同名，在平移中符合左加右减的原则，在写解析式时保证要将x的系数提出来，针对x本身进行加减和伸缩.7.已知定义在上的函数满足，且对任意（0，3)都有，若，则下面结论正确的是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】由条件，可知函数关于对称，由对任意（0，3)都有，可知函数在（0，3)时单调递减，然后根据单调性和对称性即可得到的大小【详解】因为，得函数关于对称，又对任意（0，3)都有，所以函数在（0，3)时单调递减，因为，所以，又，所以，所以，故选C.【点睛】本题主要考查函数值的大小比较,利用条件求出函数的单调性和对称性,利用单调性和对称性之间的关系是解决本题的关键.8.边长为的菱形中，与交于点，是线段的中点，的延长线与相交于点.若，则（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据两个三角形相似对应边成比例，得到，运用向量的加减运算和向量中点的表示，结合向量数量积的定义和性质，向量的平方即为模的平方，将向量用表示，利用数量积公式计算即可得到结果【详解】由题意可知，做出菱形ABCD的草图，如下图：由题意易知，可得，所以，又，所以，故选B.【点睛】本题考查平面向量的基本定理，向量数量积的定义及性质，考查了学生的归纳分析能力，和运算能力，属于中档题二、填空题（本大题共6小题，共30.0分）9.设复数，则=_【答案】【解析】【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简得到，再由共轭复数的概念得到，进而求出结果【详解】.【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查了共轭复数的概念，是基础题10.已知正方体内切球的体积为36，则正方体的体对角线长为_【答案】【解析】【分析】正方体的内切球的直径与正方体的边长相等，即可得出结论【详解】正方体的内切球体积为，设内切球的半径为， ，所以内切球的半径为， 正方体的内切球的直径与正方体的边长相等， 正方体的边长为6， 故该正方体的体对角线长为【点睛】本题考查了学生的空间想象力，考查学生的计算能力，属于基础题11.已知直线为圆的切线，则_【答案】【解析】【分析】由于直线与圆相切，利用圆心到直线的距离公式求出圆到直线的距离等于半径，即可求出结果.【详解】因为直线为圆的切线，所以圆心到直线的距离为，又，所以，故填.【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，考查点到直线的距离公式的运用，属于基础题12.已知函数是定义在R上的奇函数，当时，则不等式的解集是_ 【答案】【解析】【分析】由函数是定义在R上的奇函数，则，则可以将定义域分为四个区间结合单调性进行讨论，可得答案【详解】依题意，当时，所以，得函数在上为增函数；又由，得函数在上为偶函数；函数在上为减函数，又，所以，作出草图，由图可知解集是，故答案为.【点睛】本题综合考查了导数的四则运算，导数在函数单调性中的应用，及函数奇偶性的判断和性质，解题时要能根据性质画示意图，数形结合解决问题.13.已知，若，则的最小值为_【答案】【解析】【分析】利用换元法，和对数的运算法则化简表达式，然后利用基本不等式求解最小值即可【详解】令，则，所以，所以，当且仅当时取等号，故的最小值为3.【点睛】本题考查对数值的最小值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意均值不等式和对数性质的合理运用14.已知函数，若方程有八个不等的实数根，则实数的取值范围是_【答案】【解析】【分析】利用导数求出函数的单调性，然后作出的简图，由图象可得当时，有四个不同的与对应再结合题中“方程有8个不同实数解“，可以分解为形如关于的方程在内有两个不等的实数根，然后再根据二次函数根的分布即可求出结果【详解】当时令，得，可知函数在上单调递减，在上单调递增，所以；当时，可知函数在上单调递增，在上单调递减，所以；由此作出函数的草图，如下图：有图像可知当时，有四个不同的x与f（x）对应，令，又方程有八个不等的实数根，所以在内有两个不等的实数根，令，可得，得.故答案为：【点睛】本题考查函数的单调性的运用，主要考查方程与函数的零点的关系，掌握二次方程实根的分布是解题的关键，属于中档题三、解答题（本大题共6小题，共80.0分）15.在中，内角所对的边分别为.，.（）求边的值；（）求的值.【答案】（）（）【解析】【分析】（）由已知利用诱导公式，可求得值，利用正弦定理化简已知等式可求得的值，再根据余弦定理可解得的值；（）利用同角三角函数的基本关系式可求得的值，根据二倍角公式可求得的值，进而根据两角和的余弦函数公式，即可求解.【详解】（）由，得，因为，由，得， ，由余弦定理，得，解得或（舍）（）由得，【点睛】本题主要考查了诱导公式、正弦定理、余弦定理，以及三角恒等变换公式的综合应用，其中解答中合理应用正弦定理和余弦定理，以及熟记三角恒等变换的公式化简、运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.16.点外卖现已成为上班族解决午餐问题的一种流行趋势.某配餐店为扩大品牌影响力，决定对新顾客实行让利促销，规定：凡点餐的新顾客均可获赠10元或者16元代金券一张，中奖率分别为和，每人限点一餐，且100%中奖.现有A公司甲、乙、丙、丁四位员工决定点餐试吃.() 求这四人中至多一人抽到16元代金券的概率；() 这四人中抽到10元、16元代金券的人数分别用、表示，记，求随机变量的分布列和数学期望.【答案】（）；（）答案见解析.【解析】【分析】(1)设“这4人中恰有i人抽到16元代金券”为事件.由题意求解“四人中至多一人抽到16元代金券”的概率即可；(2)设“这4人中恰有i人抽到500元代金券”为事件.由题意可知可取0,3,4.求得相应的概率值，列出分布列，最后求解数学期望即可.【详解】(1)设“这4人中恰有i人抽到16元代金券”为事件.易知“四人中至多一人抽到16元代金券”的概率：.(2)设“这4人中恰有i人抽到500元代金券”为事件.由题意可知可取0,3,4.，.故的分布列为：.【点睛】本题主要考查离散型随机变量的分布列，离散型随机变量的期望的求解，古典概型计算公式等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.17.如图，在底面是直角梯形的四棱锥P-ABCD中，ADBC，ABC=90，PA面ABCD，PA=AB=BC=2，AD=1（）若M为PC的中点，求证DM面PAB；（）求证：面PAB面PBC；（）求AC与面PBC所成角的大小【答案】（1）见解析（2）见解析（3）【解析】【分析】（1）取中点，连接和，由中位线定理可知，且，再根据平行线的传递性可知，且所以四边形为平行四边形，所以，再根据线面平行的判定定理即可证明结果；（2）由线面垂直的判定定理即可证明面，再根据面面垂直的判定定理即可证明结果；（3），所以面，所以即为与面所成角，再根据正弦定理即可求出结果.【详解】（1）取中点，连接和， 且，且,则且所以四边形为平行四边形，所以面PAB， 面PAB，所以面； （2）， ，所以； （3），所以，所以即为所求. ，所以与面所成角的大小为.【点睛】本题主要考查线面平行判定定理，线面垂直、面面垂直的判定定理，以及线面角的求法，熟练掌握这些判定定理是解题的关键，本题属于基础题.18.已知等差数列的公差为2，前项和为，且成等比数列（）求数列的通项公式；（）令，求数列前项和；（）若对于，恒成立，求范围.【答案】（1）（2）（3）或【解析】【分析】（1）已知等差数列的公差为2，前项和为，且成等比数列可得，将代入，即求出结果 （2）由（1）可知，由于为偶数，再采用裂项相消即可求出结果；（3）由（2）可知，解不等式即可求出结果.【详解】（1）成等比，解得. （2） （3） ； 或【点睛】本题考查了等差数列的通项公式与求和公式、分组与“裂项求和”方法、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题19.已知椭圆（ab0）的左右焦点分别为F1，F2，左右顶点分别为A，B，过右焦点F2且垂直于长轴的直线交椭圆于G，H两点，|GH|=3，F1GH的周长为8过A点作直线l交椭圆于第一象限的M点，直线MF2交椭圆于另一点N，直线NB与直线l交于点P.（）求椭圆的标准方程；（）若AMN的面积为，求直线MN的方程；（）证明：点P在定直线上【答案】（）；（）x-y-1=0；（）见解析.【解析】【分析】（）利用三角形周长和通径列出关于a,b,c的方程，即可得解；（）利用待定系数法设出直线与椭圆方程联立，利用韦达定理表示出AMN的面积公式，求出系数；（）求出点P的坐标可得结论.【详解】（），解得：；所以椭圆方程为：（）设M（x1，y1），N（x2，y2），当直线MN斜率k存在时：设MN方程为y=k（x-1），联立得：（4k2+3）x2-8k2x+4k2-12=0，=144（k2+1）0，；A（-2，0）到MN直线kx-y-k=0的距离为，；当k=-1时，MN直线方程过F2（1，0）直线MN与椭圆的交点不在第一象限（舍）；所以MN方程为x-y-1=0当直线MN斜率k不存在时，（舍）综上：直线MN方程为：x-y-1=0（）设AM：y=k1（x+2）（k10），与椭圆联立：，同理设BN：y=k2（x-2）（k20），可得，所以MN的方程为：，以及MN方程过F2（1，0），将F2，M，N坐标代入可得：（4k1k2+3）（k2-3k1）=0，k1k20，k2=3k1又因为AM与NB交于P点，即，将k2=3k1代入得xP=4，所以点P在定直线x=4上.【点睛】本题主要考查椭圆的方程及直线方程的求解.方程求解一般是利用待定系数法.定值问题综合性较强，难度稍大一些.20.已知函数.（1）求在点处切线方程； （2）若函数与在内恰有一个交点，求实数的取值范围；（3）令，如果图象与轴交于，中点为，求证:.【答案】（1）（2）（3）见解析【解析】【分析】（1）利用导数的几何意义，求出斜率和切点，然后再根据点斜式即可求出结果；（2）利用导数求出函数在的单调性，根据函数的单调性做出草图，即可求出实数的取值范围；（3）由点在图象上，把点的坐标代入的解析式得方程组，两式相减得关于的方程，假设成立，求导，得关于的方程，由中点坐标公式转化关于的方程，两方程消去，得关于的方程，整理此方程，分子分母同除以，整理方程，右边为，设，左边得关于的函数，求此函数的导数，得函数的单调性，得函数值恒小于，所以方程不成立，所以假设不成立，所以【详解】（1）