学高中数学1.3正弦定理、余弦定理的应用练习苏教必修5

13正弦定理、余弦定理的应用1(1)仰角和俯角：在视线和水平线所成的角中，把视线在水平线上方的角称为仰角，视线在水平线下方的角称为俯角，如图1.(2)方位角：从指北方向线按顺时针转到目标方向线所成的水平角，如方位角是45，指北偏东45，即东北方向(3)方向角：从指定方向到目标方向线所成的水平角，如南偏西60，即以正南方向为始边，顺时针方向向西旋转60，如图2所示(4)李强出校门向东，前进200米，再向北走200米便回到家中，李强家在学校的哪个方向？答案：东偏北45度方向200米处2地面上三个点A、B、C，若B在A正北方向上，C在A北偏东20方向上，C在B东偏北25方向上，则C在A东偏北70方向上，C在B北偏东65方向上，A在C西偏南70方向上，B在C西偏南25方向上，B在C南偏西65方向上3(1)山下B点望山上A点仰角为30，则山上A点望山下B点俯角为30(2)方位角是指从正北方向顺时针旋转到达目标方向的水平角若水平面上点A处测得点B的方位角是120，则点B在点A东偏南30方向上4(1)A点望B、C的视角是指BAC的大小(2)在ABC中，A105，B30，则C点望A、B的视角为455(1)坡度是指斜坡所在平面与水平面的夹角(2)沿坡度为30的斜坡直线向上行走100米，实际升高了50米6东北方向是指东偏北45的方向7(1)三角形面积：ABC 中用a和BC边上的高h表示，三角形面积的公式为Sah(2)ABC 中，已知ABAC5，BC6，则ABC的面积为12(2)解析：由已知易得出BC边上的高为4，所以S6412.8(1)ABC中用a、b和角C表示三角形面积的公式为Sabsin_C(2)ABC中，已知A30，b4，c3，则ABC的面积为3解析：(2)由三角形面积公式知Sbcsin A3.9ABC 中，A与BC互补，与互余，所以sin(BC)sin_A，cos(BC)cos_A，sincos，cossin10设RtABC的两直角边长为a，b，则它的内切圆半径r(ab)11设ABC的周长为2p，内切圆半径为r，则ABC的面积pr12Sabsin Cacsin_Bbcsin_基础巩固一、选择题1在某测量中，设点A在点B的南偏东3427，则点B在点A的(A)A北偏西3427B北偏东5533C北偏西5533 D南偏西55332如图，为了测量某湖泊两侧A，B的距离，绘出下列数据，其中不能唯一确定A，B两点间的距离的是(D)A角A，B和边bB角A，B和边aC边a，b和角CD边a，b和角A解析：根据正弦定理和余弦定理可知，当知道两边和其中一边的对角解三角形时，得出的结果不一定唯一，故选D.3已知两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离都等于6 km，灯塔A在观察站C的北偏东20，灯塔B在观察站C南偏东40，则灯塔A与灯塔B的距离为(A)A6 km B3 kmC6 km D2 km解析：如下图，由余弦定理，得AB2AC2BC22ACBCcos 120363636108，AB6 km.4如图，设A，B两点在河的两岸，一测量者在A的同侧河岸边选定一点C，测出AC的距离为50 m，ACB45，CAB105，则AB(B)A50 mB50 mC25 mD. m解析：ACB45，CAB105，ABC30.根据正弦定理得，解得AB50 m.5某人向正东方走了 km后，突然向右转150，然后朝此方向前进了3 km，此时，他离出发点有(A)A. km B2 kmC3 km D3 km解析：依题作出题图(如图所示)，由余弦定理知AC2AB2BC22ABBCcos 3039233，AC km.6如图所示，D，C，B在地平面同一直线上，DC10 m，从D，C两地测得A点的仰角分别是30和45，则A点离地面的高AB等于(D)A10 mB5 mC5(1) mD5(1) m解析：ABAC5(1) m.二、填空题7某人在塔的正东沿着南偏西60的方向前进40 m后，望见塔在正北，若测途测得塔的最大仰角为30，则塔高为_m.解析：设塔高为AB，某人由C前进到D，依题意可得CD40 m，ACD906030，作AECD于点E，则AEB30，则ADCDsin 3020，AEADsin 6010，ABAEtan 301010 m.答案：108一树干被台风吹断，折断部分与残存树干成30角，树干底部与树尖着地处相距5 m，则树干原来的高度为_解析：如右图，ABACtan 605，BC10，ABBC(510)m.答案：(105)m三、解答题9一船以每小时15 km的速度向东航行，船在A处看到一个灯塔B在北偏东60，行驶4 h后，船到达C处，看到这个灯塔在北偏东15，求此时船与灯塔的距离解析：如题图，由正弦定理得，BC30 km.此时船与灯塔的距离为30 km.10如下图，在塔底D的正西方A处测得塔顶的仰角为45，在它的南偏东60的B处测得塔顶的仰角为30，AB的距离是84 m，求塔高解析：设塔高CDx m，则ADx m，DBx m.在ABD中，利用余弦定理得8422x2cos(9060)，解得x12(负值舍去)，故塔高为12 m.能力升级一、选择题11已知两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离相等，灯塔A在观察站C的北偏东40，灯塔B在观察站C的南偏东60，则灯塔A在灯塔B的(B)A北偏东10B北偏西10C南偏东10D南偏西10解析：如题图，结合题意得ACB180604080.ACBC，ABC50，605010.12若水平面上，点B在点A南偏东30方向上，则点A处测得点B的方位角是(C)A60 B120 C150 D210解析：根据方位角的意义，可得点B的方位角是18030150.13有一长1 km的斜坡，它的倾斜角为20，现要将倾斜角改为10，则坡底要伸长(A)A1 km Bsin 10 kmCcos 10 km Dcos 20 km解析：如图，ABD201010，ADAB1 km.二、填空题14(2014新课标全国卷)如图，为测量山高MN，选择A和另一座山的山顶C为测量观测点从A点测得M点的仰角MAN60，C点的仰角CAB45以及MAC75；从C点测得MCA60.已知山高BC100 m，测山高MN_m.解析：利用三角函数的定义及正弦定理求解根据图示，AC100m.在MAC中，CMA180756045.由正弦定理得AM100 m.在AMN中，sin 60，MN100150(m)答案：15015我舰在敌岛南偏西50相距12海里的B处，发现敌舰正由岛A沿北偏西10的方向以10海里/时的速度航行，我舰要用2小时追上敌舰，则需要的最小速度为_解析：如题图，BAC1801050120，AB12，AC21020，BC212220221220cos 120784，BC28，速度为14(海里/时)答案：14海里/时三、解答题16如右图，当甲船位于A处时获悉，在其正东方向相距20海里的B处有一艘渔船遇险等待营救甲船立即前往救援，