天津和平区高三数学下学期第二次质量调查试卷理

天津市和平区2018-2019学年度第二学期高三年级第二次质量调查数学（理）学科试卷第卷 选择题（共40分）注意事项:1. 答第卷前，考生务必将自己的姓名、准考号、科目涂写在答题卡上。2. 每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。答在试卷上的无效。3. 本卷共8小题，每小题5分，共40分。参考公式：如果事件互斥,那么 如果事件相互独立,那么 . 柱体的体积公式. 锥体的体积公式. 其中表示柱体的底面积, 其中表示锥体的底面积,表示柱体的高. 表示锥体的高.一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.设全集，集合,则A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】由集合M=xy=lg(x21)=x|x1,N=x0x2，先求解CUM，再由集合N能够求出答案.【详解】因为全集U=R,集合M=xy=lg(x21)=x|x1,N=x0x2，所以CUM=x|1x1，所以N(CUM)=x|0b”是“ac2bc2”的充分不必要条件C. 命题：“xR， x2x0”的否定是“xR， x2x0”D. 若“pq”为假命题，则p,q均为假命题【答案】B【解析】【分析】由逆否命题的定义考查选项A，由不等式的性质考查选项B，由全称命题的否定考查选项C，由真值表考查选项D，据此确定所给的说法是否正确即可.【详解】逐一考查所给命题的真假：A. 同时否定条件和结论，然后以原来的条件为结论，以原来的结论为条件即可得到原命题的逆否命题，故命题：“若x2-3x+2=0，则x=2”的逆否命题是“若x2，则x2-3x+20”B. 若“ab”，当c=0时不满足“ac2bc2”，即充分性不成立，反之，若“ac2bc2”，则一定有“ab”，即必要性成立，综上可得，“ab”是“ac2bc2”的必要不充分条件C. 特称命题的否定是全称命题，命题：“xR，x2-x0”的否定是“xR，x2-x0”，D. 由真值表可知：若“pq”为假命题，则p,q均为假命题.即结论错误的为B选项.故选：B.【点睛】当命题真假容易判断时，直接判断命题的真假即可.否则，可利用以下结论进行判断：一个命题的否定与原命题肯定一真一假;原命题与其逆否命题同真假.5.f(x)=sin(2x+)|2的图象向右平移12个单位，所得到的图象关于y轴对称，则的值为A. 3B. 4C. 3D. 6【答案】A【解析】【分析】由题意首先确定函数平移之后的函数解析式，所得到的图象关于y轴对称，则x=0时函数取得最大值或最小值，据此确定的值即可.【详解】f(x)=sin(2x+)|2的图象向右平移12个单位后的解析式为：gx=fx12=sin2x12+=sin2x6+，图象关于y轴对称，则当x=0时函数取得最大值或最小值，即：206+=6+=k+2，故=k+23kZ，令k=1可得：=3.故选：A.【点睛】本题主要考查三角函数的平移变换，三角函数的对称性等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.6.已知f(x)是定义在R上的偶函数，且在(,0上是增函数，设a=f(ln), b=f(log52), c=f(e12),则a,b,c的大小关系是A. bcaB. abcC. cbaD. ac1，0log52log55=12，且12=141ee-12log52，函数为偶函数，则：a=fln,b=flog52,c=fe-12，由偶函数的性质可知：函数在区间0,+上单调递减，故flnfe-12f-log52，即ac0,b0)的右焦点为F(c,0)，直线x=a2c与一条渐近线交于点P，POF的面积为a2 (O为原点），则抛物线y2=2bax的准线方程为A. y=12B. x=1C. x=1D. x=2【答案】C【解析】【分析】首先联立双曲线的渐近线方程和直线x=a2c确定点P的坐标，然后求解POF的面积得到a,b的关系，最后由抛物线方程确定其准线方程即可.【详解】不妨取双曲线的渐近线方程为bxay=0，与直线x=a2c联立可得：x=a2cy=abc，即Pa2c,abc,由题意可得SPOF12cabc=ab2=a2，b2a,2ba=4，抛物线方程为y2=4x，其准线方程为x=-1.故选：C.【点睛】本题主要考查双曲线的渐近线方程，抛物线准线方程的求解等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.8.在ABC中，AB=2AC=6，BABC=BA2，点P是ABC所在平面内的一点，则当PA2+PB2+PC2取得最小值时，APBC=A. 35B. 9C. 7D. 25【答案】B【解析】【分析】由题意结合平面向量的定义可得CAB=2，建立平面直角坐标系，结合平面向量的坐标运算法则确定当PA2+PB2+PC2取得最小值时点P的坐标，然后求解APBC的值即可.【详解】BABC=|BA|BC|cosB=|BA|2，|BC|cosB=|BA|，CAAB，CAB=2，以A为坐标原点建如图所示的平面直角坐标系，则B(6,0),C(0,3)，设P(x,y)，则PA2+PB2+PC2=x2+y2+(x6)2+y2+x2+(y3)2=3x212x+3y26y+45=3(x2)2+(y1)2+10，所以当x=2，y=1时PA2+PB2+PC2取最小值，此时APBC=(2,1)(6,3)=9.故选：B.【点睛】本题主要考查平面向量的数量积运算法则，平面向量的坐标运算，二次函数最值的求解等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.第卷 非选择题（共110分）注意事项:1. 用钢笔或圆珠笔直接答在答题卷上，答在本试卷上的无效。2. 本卷共12小题，共110分。二、填空题：本大题共6小题,每小题5分,共30分.把答案填在答题卷上. 9.如果21i=1+mi（mR,i表示虚数单位），那么m= _.【答案】1【解析】【分析】首先化简21-i，然后由复数相等的充分必要条件可得m的值.【详解】由于21i=1+i1i1i=1+i，结合题意可得：1+i=1+mi，由复数相等的充分必要条件可得：m=1.故答案为：1【点睛】本题主要考查复数的运算法则，复数相等的充分必要条件等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.10.若直线y=x+2与曲线x=1+2cosy=2+2sin(为参数)交于两点A,B，则AB=_.【答案】14【解析】【分析】首先将参数方程化简为直角坐标方程，然后求得圆心到直线的距离，最后利用弦长公式求解弦长即可.【详解】曲线x=-1+2cosy=2+2sin(为参数)消去参数可得：x+12+y22=4，表示圆心为1,2，半径为r=2的圆，圆心到直线x+y2=0距离：d=1+221+1=22，由弦长公式可得弦长为：2r2d2=2412=14.故答案为：14【点睛】本题主要考查参数方程与直角坐标方程的互化，圆的弦长公式等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.11.在一次医疗救助活动中，需要从A医院某科室的6名男医生、4名女医生中分别抽调3名男医生、2名女医生，且男医生中唯一的主任医师必须参加，则不同的选派案共有_种.(用数字作答)【答案】60【解析】【分析】首先选派男医生中唯一的主任医师，由题意利用排列组合公式即可确定不同的选派案方法种数.【详解】首先选派男医生中唯一的主任医师，然后从5名男医生、4名女医生中分别抽调2名男医生、2名女医生，故选派的方法为：C52C42=106=60.故答案为：60【点睛】解排列组合问题要遵循两个原则：一是按元素(或位置)的性质进行分类；二是按事情发生的过程进行分步具体地说，解排列组合问题常以元素(或位置)为主体，即先满足特殊元素(或位置)，再考虑其他元素(或位置)12.一个四棱柱的各个顶点都在一个直径为2cm的球面上，如果该四棱柱的底面是对角线长为2cm的正方形，侧棱与底面垂直，则该四棱柱的表面积为_.【答案】2+42cm2【解析】【分析】题意可得题中的四棱柱是一个正四棱柱，利用正四棱柱外接球半径的特征求得正四棱柱的高度，然后求解其表面积即可.【详解】由题意可得题中的四棱柱是一个长方体，且正四棱柱的底面边长为1cm，设高为hcm，由题意可得：12+12+h2=22，h2=2,h=2，该四棱柱的表面积为S=211+12+12=2+42cm2.故答案为：2+42cm2【点睛】本题主要考查正四棱柱外接球的性质，正四棱柱的表面积的计算等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.13.若不等式x2x+2213a对任意实数x都成立,则实数a的最大值为_.【答案】13【解析】【分析】首先利用绝对值三角不等式确定|x-2|-|x+2|的最大值，然后由恒成立的条件确定实数a的取值范围即可确定实数a的最大值.【详解】由绝对值三角不等式可得：|x2|x+2|(x2)(x+2)|=4，213a4，即13a2，解得a13，综上可知：实数a的最大值为13.故答案为：13【点睛】本题主要考查绝对值三角不等式求最值的方法，恒成立问题的处理方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.14.已知函数f(x)=1x+13，x(1，0，3x，x(0，1，且函数g(x)=f(x)mxm在(1，1内有且仅有两个不同的零点，则实数m的取值范围是_.【答案】94,20,32【解析】【分析】将原问题转化为两个函数有且仅有两个不同的交点的问题，则实数m的值等价于直线的斜率，结合函数的图像研究临界情况即可确定实数m取值范围.【详解】函数g(x)=f(x)-mx-m在(-1,1内有且仅有两个不同的零点，即函数fx与函数y=mx+1在(-1,1内有且仅有两个不同的交点，y=mx+1表示过点1,0，斜率为m的直线，绘制函数fx的图像如图所示，考查临界情况：首先考查经过点1,0且与y=1x+13相切的直线方程的斜率：由y=1x+13可得y=1(x+1)2，故切点坐标为x0,1x0+13，切线的斜率k=1x0+12，切线方程为：y1x0+13=1(x0+1)2xx0,切线过点1,0，故01x0+13=1(x0+1)21x0，解得：x0=13，故切线的斜率k=113+12=94，由K(1,0),B(0,2)可得kKB=200(1)=2，由K(1,0),C(1,3)可得kKC=301(1)=32，结合图形可得实数m取值范围是94,20,32.【点睛】本题主要考查已知函数零点求参数取值范围的方法，数形结合的数学思想，导函数研究函数的切线方程等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.三、解答题：本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.15.已知函数f(x)=sin2x3sinxcosx()求f(x)在0,上的单调递增区间；()在ABC中，a,b,c分别是角A,B,C的对边，A为锐角，若f(A)+sin(2A6)=1， 且ABC的面积为23，求b+c的最小值.【答案】()6,23；()42.【解析】【分析】()首先化简三角函数式，由化简的三角函数式得到函数的单调增区间，然后与0,进行交集运算可得函数的单调增区间；()首先化简f(A)+sin2A-6=1求得A的大小，然后利用面积公式确定bc的值，最后由基本不等式可得b+c的最小值.【详解】()f(x)=sin2x3sinxcosx=1cos2x23sin2x2=32sin2x12cos2x+12=sin2x+6+12，由2x+62k+2,2k+32可得：xk+6,k+23kZ.设A=0,B=k+6,k+23kZ，则AB=6,23，故f(x)在0,上的单调递增区间为6,23.()由f(A)+sin2A6=1可得：sin2A+6+12+sin2A6=1，化简可得：cos2A=12，又0Ab0）的左、右焦点为F1,F2，右顶点为A，上顶点为B已知|AB|=32|F1F2|（1）求椭圆的离心率；（2）设P为椭圆上异于其顶点的一点，以线段PB为直径的圆经过点F1，经过原点O的直线与该圆相切，求直线的斜率【答案】（1）e=22；（2）直线的斜率为4+15或415【解析】试题分析：（1）设椭圆的右焦点F2的坐标为(c,0)，由已知|AB|=32|F1F2|，可得a2+b2=3c2，结合b2=a2c2，可得c2a2=12，从而可求得椭圆的离心率；（2）在（1）的基础上，可先利用F1PF1B=0及数量积的坐标运算求出P点的坐标，再求出以线段PB为直径的圆的方程（圆心坐标和半径），最后设经过原点O的与该圆相切的直线的方程为y=kx，由圆心到切线的距离等于半径，列方程，解方程即可得求得直线的斜率（1）设椭圆的右焦点F2的坐标为(c,0)由|AB|=32|F1F2|，可得a2+b2=3c2，又b2=a2c2，则c2a2=12，椭圆的离心率e=22（2）由（1）知a2=2c2，b2=c2，故椭圆方程为x22c2+y2c2=1设P(x0,y0)由F1(c,0)，B(0,c)，有F1P=(x0+c,y0)，F1B=(c,c)由已知，有F1PF1B=0，即(x0+c)c+y0c=0又c0，故有x0+y0+c=0又点P在椭圆上，故x022c2+y02c2=1由和可得3x02+4cx0=0而点P不是椭圆的顶点，故x0=4c3，代入得y0=c3，即点P的坐标为设圆的圆心为4+15，则，进而圆的半径设直线的斜率为，依题意，直线的方程为y=kx由与圆相切，可得，即，整理得，解得直线的斜率为或考点：1椭圆标准方程和几何性质；2直线和圆的方程；3直线和圆的位置关系【此处有视频，请去附件查看】19.已知单调等比数列an中，首项为 12，其前n项和是Sn，且12a3+S3,S5,a4+S4成等差数列,数列bn满足条件1a1a2a3an=(2)bn.() 求数列an、bn的通项公式；() 设 cn=an-1bn,记数列cn的前n项和 Tn.求 Tn;求正整数k，使得对任意nN*，均有 TkTn.【答案】() an=(12)n；bn=n(n+1)；()见解析；见解析.【解析】【分析】()由题意首先求得数列的公比，据此即可确定数列an的通项公式，进一步利用递推关系可得数列bn的通项公式；().结合()中求得的通项公式分组求和即可确定Tn的值；.利用作差法结合指数函数和一次函数增长速度的关系可得k的值.【详解】()设an=a1qn-1. 由已知得 2S5=12a3+S3+a4+S4 即 2S5=12a3+2S4进而有2(S5-S4)=12a3. 所以2a5=12a3，即q2=14 ，则q=12，由已知数列an是单调等比数列，且a1=12. 所以取q=12，数列an的通项公式为an=(12)n.1a1a2a3an=(2)bn ， 222232n= 2n+1n2=2bn2 则bn=n(n+1).数列bn的通项公式为bn=n(n+1). ()由()得cn=an-1bn=12n-1n(n+1) 设pn=an，pn的前n项和为Pn.则Pn=12+122+12n=1-12n.又设qn=1bn=1n-1n+1，qn的前n项和为Qn.则Qn=(1-12)+(12-13)+(1n-1n+1)=1-1n+1.所以Tn=Pn-Qn= 1-12n -(1-1n+1)=1n+1-12n令Tn+1-Tn=1n+2-12n+1-1n+1+12n= (n+1)(n+2)-2n+12n+1(n+1)(n+2).由于2n+1比(n+1)(n+2)变化快，所以令Tn+1-Tn0得n4.即T1,T2,T3,T4递增，而T4,T5,T6Tn递减.所以，T4最大.即当k=4时，TkTn.【点睛】本题主要考查数列通项公式的求解，分组求和的方法，数列中最大项的求解方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.20.已知函数f(x)=ax+bsinx，当x=3时，f(x)取得极小值3-3.（1）求a,b的值；（2）记hx=185x-fx，设x1是方程hx-x=0的实数根，若对于hx定义域中任意的x2，x3.当x2-x11且x3-x11时，问是否存在一个最小的正整数M，使得hx3-hx2M|恒成立，若存在请求出M的值；若不存在请说明理由.（3）设直线l:y=g(x)，曲线S:y=F(x).若直线与曲线S同时满足下列条件：直线与曲线S相切且至少有两个切点；对任意xR都有g(x)F(x).则称直线与曲线S的“上夹线”.试证明：直线l:y=x+2是曲线S:y=ax+bsinx“上夹线”.【答案】(1)a=1，b=2；(2)答案见解析；(3)证明见解析.【解析】【分析】(1)由题意可得f3=3-3，f3=0，据此可得a,b的值，然后验证所得的结果满足题意即可；(2)首先由函数的单调性确定x1的值，然后求得函数hx的最大值和最小值，结合恒成立的条件即可确定M的值； (3)由