宁夏六盘山高级中学高三数学下学期第一次模拟考试试题理（含解析） (1)

宁夏六盘山高级中学2019届高三下学期第一次模拟考试数学(理)试题一、选择题(本大题共12小题，共60.0分)1.设集合，则中元素的个数为()A. 3B. 2C. 1D. 0【答案】B【解析】【分析】可求出集合，然后进行交集的运算即可求出，从而得出元素的个数【详解】； ； 中元素的个数为2 故选：B【点睛】考查描述法、列举法的定义，以及交集的运算，集合元素的概念，熟记概念即可，属于基础题型.2.满足i(i为虚数单位)的复数z等于()A. B. C. 12+12iD. 1212i【答案】D【解析】z+iz=i得z=i1+i=i(1i)(1+i)(1i)=ii22=1212i，故选B3.函数fx=ex2x的部分图象大致为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】利用函数为奇函数排除A；再由当x+时，y+，排除B；利用导数判断单调性且求极值得答案【详解】函数的定义域为（-，0）（0，+），且f（-x）=-f（x），函数为奇函数，排除A；又当x+时，y+，排除B；而x0时，fx=ex2x,fx=exx12x2可得x=1为函数的极小值点，结合图象可知，函数fx=ex2x的部分图象大致为C故选C【点睛】本题考查函数的定义域、值域、奇偶性、单调性图象等基础知识，考查逻辑推理能力、抽象概括能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、数形结合思想、特殊与一般思想等，是中档题4.已知向量a，b满足a=1，b=2，a(a2b)=0，a+b= ()A. 6B. 4C. 6D. 5【答案】C【解析】【分析】由已知可求ab，然后由a+b=a2+2ab+b2，代入即可求解【详解】aa-2b=0，a2-2ab=0，a=1，b=2，ab=12，a+b=a2+2ab+b2=1+1+4=6，故选：C【点睛】本题主要考查了向量的数量积的性质的简单应用，熟记模的计算公式即可，属于基础试题5.设ABC的内角A、B、C的对边分别是a、b、c，若a=22，c=2，cosA2=144，则b= ()A. 1B. 3C. 2D. 4【答案】D【解析】【分析】由已知利用二倍角的余弦函数公式可求cosA的值，根据余弦定理即可解得的值【详解】a=22，c=2，cosA2=144，cosA=2cos2A21=2(144)21=34，由余弦定理a2=b2+c22bccosA，可得：(22)2=b2+222b234，可得：b23b4=0，解得：b=4，或1(舍去)故选：D【点睛】本题主要考查了二倍角的余弦函数公式，余弦定理在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题6.已知双曲线my2x2=1(mR)与抛物线x2=8y有相同的焦点，则该双曲线的渐近线方程为()A. y=3xB. y=33xC. y=13xD. y=3x【答案】A【解析】【分析】由已知条件求出双曲线的一个焦点为0,2，可得关于m的方程，求出m，由此能求出双曲线的渐近线方程【详解】抛物线x2=8y的焦点为0,2，双曲线的一个焦点为0,2，1m+1=4，m=13，双曲线的渐近线方程为y=3x故选：A【点睛】本题主要考查圆锥曲线的基本元素之间的关系问题，同时双曲线、椭圆的相应知识也进行了综合性考查7.秦九韶是我国南宋时期的数学家，他在所著的数书九章中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法.如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例，若输入n，x的值分别为4，2，则输出v的值为A. 66B. 33C. 16D. 8【答案】A【解析】初始值n=4,x=2，程序运行过程如下：v=2,i=4,v=22+3=7;i=2,v=14+2=16;i=1,v=162+1=33;i=0,v=332+0=66;i=-1跳出循环，输出v的值为66,故选A.8.已知定义在(0,+)上的函数f(x)=x2+m，g(x)=6lnx4x，设两曲线y=f(x)与y=g(x)在公共点处的切线相同，则m值等于A. 5B. 3C. 3D. 5【答案】D【解析】【分析】分别求得fx和gx的导数，令它们的导数相等，求得切点的横坐标，进而求得纵坐标，代入fx求得m的值.【详解】fx=2x,gx=1x4，令2x=6x4，解得x=1，这就是切点的横坐标，代入gx求得切点的纵坐标为4，将1,4代入fx得1+m=4,m=5.故选D.【点睛】本小题主要考查函数导数与切线，考查两个函数公共点的切线方程，有关切线的问题关键点在于切点和斜率.属于基础题.9.中国古代数学名著九章算术中记载：“圆周与其直径之比被定为3，圆中弓形面积为12a(a+c)（为弦长，a为半径长与圆心到弦的距离之差）.”据此计算，已知一个圆中弓形所对应的弦长c=6，a=1，质点M随机投入此圆中，则质点M落在该弓形内的概率为（ ）A. 730B. 175C. 7150D. 350【答案】C【解析】【分析】利用圆中弓形面积为12a(a+c),可求得弓形的面积，根据勾股定理求得圆的半径r=5，可得圆的面积，由勾股定理可得结果.【详解】由圆中弓形面积为12a(a+c)可知：弓形的面积S1=121(6+1)=72.设圆的半径为，则r2=(r1)2+32，解得r=5，所以圆的面积S2=3r2=75，所以质点落在弓形内的概率为P=S1S2=7275=7150,故选C.【点睛】本题主要考查“面积型”的几何概型，属于中档题. 解决几何概型问题常见类型有：长度型、角度型、面积型、体积型，求与面积有关的几何概型问题关鍵是计算问题的总面积以及事件的面积；几何概型问题还有以下几点容易造成失分，在备考时要高度关注：（1）不能正确判断事件是古典概型还是几何概型导致错误；（2）基本事件对应的区域测度把握不准导致错误 ；（3）利用几何概型的概率公式时 , 忽视验证事件是否等可能性导致错误.10.已知正四棱锥SABCD的侧棱长与底面边长都相等，E是SB的中点，则AE，SD所成的角的余弦值为（ ）A. 13B. 23C. 33D. 23【答案】C【解析】试题分析：设AC、BD的交点为O，连接EO，则AEO为AE,SD所成的角或其补角；设正四棱锥的棱长为a，则AE=32a,EO=12a,OA=22a，所以cosAEO=AE2+OA2EO22AEOA=(32a)2+(12a)2(22a)22(32a)(12a)=33，故C为正确答案考点：异面直线所成的角【此处有视频，请去附件查看】11.已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x+2)=f(x)，当x0,1时，f(x)=x，则函数g(x)=f(x)1x2在区间4,8上所有零点之和为()A. 8B. 6C. 4D. 2【答案】A【解析】【分析】根据的奇偶性和对称性，推出函数的周期性，根据函数与方程之间的关系，转化为两个函数交点问题，利用对称性进行求解即可【详解】解：奇函数fx满足fx+2=f-x，fx+4=-fx+2=fx，即fx是周期为4的周期函数，同时函数fx关于x=1对称，若-1x0，则0-x1，f-x=-x=-fx即fx=-x，-1x0，若1x2，则-1x-20，02-x1此时fx=f2-x=2-x，1x2，若2x3，则0x-21，-12-x0此时fx=f2-x=-x-2，2x3，由gx=fx-1x-2=0得fx=1x-2，作出函数fx与y=1x-2，在-3,6上的图象，由图象知两个函数图象有4个交点，且四个交点，两两关于点2,0对称，设彼此对称的交点横坐标为a，b，d，则a+b2=2，c+d2=2，得a+b=4，c+d=4，即a+b+c+d=4+4=8，函数gx=fx-1x-2在区间-4,8上所有零点之和为8，故选：A【点睛】本题主要考查函数与方程的应用，根据条件求出函数的周期，利用数形结合转化为两个函数的交点问题是解决本题的关键12.已知点P(x0,y0)是抛物线y2=4x上的一个动点，Q是圆C：(x+2)2+(y4)2=1上的一个动点，则x0+|PQ|的最小值为（ ）A. 251B. 25C. 3D. 4【答案】C【解析】由题意可知圆C的圆心坐标C(-2,4)，半径为1；抛物线的焦点F(1,0)，虚线为抛物线的准线；|PM|为点到虚线的距离且PM=x+1，由抛物线的性质可知，PF=|PM|.故可知x0+PQ=PQ+PF-1 |PM|1+|PF|1 |PM|1+|PF|1 |CF|2 =(21)2+422=3。故本题正确答案为C.二、填空题(本大题共4小题，共20.0分)13.设x=是函数fx=sinx+2cosx的一个极值点，则tan2=_【答案】43【解析】【分析】利用f=0可得tan的值，从而得打tan2的值【详解】因为x=为f的极值点，故f=0即cos2sin=0，所以tan=12，故tan2=212114=43，填43【点睛】函数的极值刻画了函数局部性质，它可以理解为函数图像具有“局部最低”的特性，用数学语言描述则是：“在x0的附近的任意x ，有fxfx0（fx0)的最小正周期为，则函数在3,6内的值域为_【答案】12,1【解析】【分析】利用两角和的差的三角公式化简函数的解析式，再利用余弦函数的周期性、定义域和值域，得出结论【详解】函数fx=12cosx-32sinx=cosx+30的最小正周期为2=，=2，fx=cos2x+3，则在-3,6内，2x+3-3,23，cos2x+3-12,1，故答案为：-12,1【点睛】本题主要考查两角和的差的三角公式，余弦函数的周期性、定义域和值域，属于基础题16.在三棱锥PABC中，ABC是等边三角形，PB底面ABC， AB=23，PB=2，则该三棱锥的外接球的表面积为_【答案】20【解析】【分析】设底面中心为M，PB中点为N，作图找到球心O的位置，OM平面ABC，ONPB，利用直角三角形建立方程求得半径，以及球表面积【详解】如图，M为底面中心，N为PB中点，球心OOM平面ABC，ONPB，所以N为中点，OM=BN=1在RtBMO中，BM=2，OM=1，OB=R，可得R=5，故外接球表面积为：20故答案为：20【点睛】此题考查了三棱锥外接球问题，熟记球的体积公式即可，难度适中三、解答题(本大题共7小题，共82.0分)17.已知正项等比数列an满足S2=6,S4=30(1)求数列an的通项公式；(2)若bn=log2an，已知数列1bnbn+1的前n项和为Tn，试证明：Tn0，由题意构建基本量的方程即可得到数列an的通项公式；（2）1bnbn+1=1nn+1=1n-1n+1，利用裂项相消法求和即可.【详解】（1）设等比数列an的首项为a1，公比为qq0，由S2=6,S4=30得a1+a1q=6,a1q2+a1q2=24,，解得a1=2,q=2-2舍去，所以数列an是以2为首项.2为公比的等比数列，其通项公式为an=2n（2）由（1）知，an=2n，所以bn=log2an=log22n=n，所以1bnbn+1=1nn+1=1n-1n+1所以T=1b1b2+1b2b3+1b3b4+1bnbn+1.=1-12+12-13+13-14+1n-1n+1，=1-1n+11，【点睛】裂项相消法是最难把握的求和方法之一，其原因是有时很难找到裂项的方向，突破这一难点的方法是根据式子的结构特点，常见的裂项技巧：(1)1nn+k=1k1n-1n+k；（2） 1n+k+n =1kn+k-n； （3）12n-12n+1=1212n-1-12n+1；（4）1nn+1n+2=12 1nn+1-1n+1n+2；此外，需注意裂项之后相消的过程中容易出现丢项或多项的问题，导致计算结果错误.18.某糕点房推出一类新品蛋糕，该蛋糕的成本价为4元，售价为8元受保质期的影响，当天没有销售完的部分只能销毁经过长期的调研，统计了一下该新品的日需求量现将近期一个月(30天)的需求量展示如下：日需求量x (个)20304050天数510105(1)从这30天中任取两天，求两天的日需求量均为40个的概率；(2)以表中的频率作为概率，根据分布列求出该糕点房一天制作35个该类蛋糕时，对应的利润的期望值E(X)=3203；现有员工建议扩大生产一天45个，试列出生产45个时，利润Y的分布列并求出期望E(Y)，并以此判断此建议该不该被采纳【答案】（1）329；（2）见解析【解析】【分析】(1)从这30天中任取2天，基本事件总数n=C302，2天的日需求量均为40个包含的基本事件个数m=C102，由此能求出两天的日需求量均为40个的概率(2)设该糕点房制作45个蛋糕对应的利润为y，分虽求出相应的概率，能求出y的分布列和Ey=2803，由28033203，得到此建议不该被采纳【详解】(1)从这30天中任取2天，基本事件总数n=C302，2天的日需求量均为40个包含的基本事件个数m=C102，两天的日需求量均为40个的概率P=C102C302=329(2)设该糕点房制作45个蛋糕对应的利润为y，Py=-20=16，Py=60=13，Py=140=13，Py=180=16，y的分布列为：y-2060140180P16131316Ey=-2016+6013+14013+18016=2803，该糕点房一天制作35个该类蛋糕时，对应的利润的期望值EX=3203，2803b0)的右焦点F与抛物线y2=8x焦点重合，且椭圆的离心率为63，过x轴正半轴一点(m,0)且斜率为33的直线交椭圆于A,B两点(1)求椭圆的标准方程；(2)是否存在实数m使以线段AB为直径的圆经过点F，若存在，求出实数m的值；若不存在说明理由【答案】（1）x26+y22=1；（2）存在，m=3.【解析】【分析】（1）根据抛物线焦点可得,又根据离心率可求a,利用b2=a2-c2，即可写出椭圆的方程（2）由题意可设直线的方程为y=-33x-mm0，联立方程组，消元得一元二次方程，写出FAFB，利用根与系数的关系可求存在m.【详解】解：（1）抛物线y2=8x的焦点是2,0F2,0，c=2，又椭圆的离心率为63，即ca=63a=6，a2=6，则b2=a2-c2=2故椭圆的方程为x26+y22=1.（2）由题意得直线的方程为y=-33x-mm0由x26+y22=1y=-33x-m消去y得2x2-2mx+m2-6=0.由=4m2-8m2-60，解得-23m0，0m23.设Ax1,y1，Bx2,y2，则x1+x2=m，x1x2=m2-62.y1y2=-33x1-m-33x2-m=13x1x2-m3x1+x2+m23.FA=x1-2,y1，FB=x2-2,y2，FAFB=x1-2x2-2+y1y2=43x1x2-m+63x1+x2+m23+4=2mm-33若存在m使以线段AB为直径的圆经过点F，则必有FAFB=0，即2mm-33=0，解得m=0,3.又0m23，m=3.即存在m=3使以线段AB为直径的圆经过点.【点睛】本题主要考查了抛物线的简单几何性质，待定系数法求椭圆的标准方程，直线和椭圆相交的问题，向量的运算，属于难题.20.如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，平面A1BC侧面A1ABB1，且AA1=AB=2(1) 求证：ABBC；(2) 若直线AC与平面A1BC所成的角为6，求锐二面角AA1CB的大小。【答案】（1）见解析； （2）3.【解析】试题分析：本题以直三棱柱为背景，考查线线垂直、线面垂直、面面垂直、二面角、向量法等基础知识，考查学生的空间想象能力、逻辑思维能力、转化能力、计算能力.第一问，作出辅助线AD，即可得到ADA1B，利用面面垂直的性质，得到AD平面A1BC，再利用线面垂直的性质，得到ADBC，同理，得到AA1BC，利用线面垂直的判定，得到BC侧面A1ABB1，从而利用线面垂直的性质，得到ABBC；第二问，可以利用传统几何法，证明二面角AA1CB的平面角为AED，在三角形中，利用边角关系解出角AED的值，还可以利用向量法，建立空间直角坐标系，计算出平面A1BC和平面A1AC的法向量，利用夹角公式计算.试题解析：（1）证明：如图，取A1B的中点D，连接AD， 1分因AA1=AB，则ADA1B2分由平面A1BC侧面A1ABB1，且平面A1BC 侧面A1ABB1 =A1B， 3分得AD平面A1BC，又BC 平面A1BC，所以ADBC. 4分因为三棱柱ABCA1B1C1是直三棱柱，则AA1底面ABC，所以AA1BC.又AA1AD=A，从而BC侧面A1ABB1，又AB侧面A1ABB1，故ABBC. 7分（2）解法一：连接CD，由（1）可知AD平面A1BC，则CD是AC在平面A1BC内的射影ACD即为直线AC与平面A1BC所成的角，则ACD=68分在等腰直角A1AB中，AA1=AB=2，且点D是A1B中点AD=12A1B=2，且ADC=2，ACD=6AC=229分过点A作AEA1C于点E，连DE由（1）知AD平面A1BC，则ADA1C，且AEAD=AAED即为二面角AA1CB的一个平面角 10分且直角A1AC中：AE=A1AACA1C=22223=263又AD=2，ADE=2sinAED=ADAE=2263=32，且二面角AA1CB为锐二面角AED=3，即二面角AA1CB的大小为314分解法二（向量法）：由（1）知ABBC且BB1底面ABC，所以以点B为原点，以所在直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系Bxyz，如图所示，且设BC=a，则A(0,2,0)，B(0,0,0)，C(a,0,0)，A1(0,2,2)BC=(a,0,0)，BA1=(0,2,2)，AC=(a,2,0)，AA1=(0,0,2)9分设平面A1BC的一个法向量n1=(x,y,z)由BCn1，BA1n1得：xa=02y+2z=0令y=1，得x=0,z=1，则n1=(0,1,1)10分设直线AC与平面A1BC所成的角为，则=6得sin6=|ACn1|AC|n1|=|2|4+a22=12，解得a=2，即AC=(2,2,0)12分又设平面A1AC的一个法向量为n2，同理可得，n2=(1,1,0)设锐二面角AA1CB的大小为，则cos=cos=n1n2|n1|n2|=12，且(0,2)，得=3 锐二面角AA1CB的大小为3。 14分考点：线线垂直、线面垂直、面面垂直、二面角、向量法.21.已知函数f(x)=exa(x+1),aR(1)求函数f(x)的单调区间和极值；(2)设g(x)=f(x)+aex，且A(x1,y1)、B(x2,y2)(x1x2)是曲线y=g(x)上的任意两点，若对任意的a1，直线AB的斜率恒大于常数m，求m的取值范围【答案】（1）见解析；（2）m3【解析】【分析】（1）定义域为R，求其导函数f(x)=ex-a，aR。讨论当当a0与a0两种情况下导函数的符号，即可判断单调区间与极值。（2）设x1、x2是任意的两实数，且x1m，化简得g(x2)-mx2g(x1)-mx1；构造函数F(x)=g(x)mx，求导得F(x)=g(x)-m0恒成立，即mgxmin，进而求得m的取值范围。【详解】（1）由题知定义域为-,+，f(x)=ex-a，aR，当a0时，fx0，fx在-,+上单调递增，即增区间为-,+；则fx无极值；当a0时，f(x)=ex-a=0的解为x=lna，当x-,lna时，fx0， fx的增区间为lna,+则fx极小值为flna=a-alna+1=-alna，无极大值；（2）设x1、x2 是任意的两实数，且x1m ，故g(x2)-mx2g(x1)-mx1，令函数F(x)=g(x)mx ，则F(x)在（-，+）上单调递增，F(x)=g(x)-m0恒成立，对任意的a-1，xR，mg(x)恒成立，mgxmin又当a-1时，g(x)=exaaex2exaexa =a+2a=a+1213 故m3【点睛】本题考查了导数的综合应用，根据对参数分类讨论判断函数的单调性与极值，导数在恒成立问题中的综合应用，是高考的重点和难点，属于难题。22.在直角坐标系中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C的极坐标方程为24cos+1=0，直线的参数方程为：x=3+32ty=3+12t(为参数)，点A的极坐标为(23,6)，设直线与曲线C相交于P,Q两点(1)写出曲线C的直角坐标方程和直线的普通方程；(2)求APAQOPOQ的值【答案】（1）(x-2)2+y2=3，x-3y=0（2）1【解析】【分析】（）