导数及其应用选修II陈晓龙

专题：导数及其应用（选修II）温州中学 陈晓龙一、知识地位分析：导数是高中数学新教材中新增的知识之一,体现了现代数学思想，在研究函数性质时，有独到之处。纵观2004年各地的新课程高考试卷，大多数以一个大题的形式考察这部分内容。内容主要是与单调性、最值、切线这三方面有关。今年是我省新教材实施的第二届高考，虽然去年已然考察这方面的内容，但作为新教材的新增内容，仍应引起我们足够的重视。复习中注重导数在解决科技、经济、社会中的某些实际问题中的应用。本节专题分两个课时：1、导数的知识点回顾及基本运用；2、应用导数工具解决函数、不等式等问题及应用问题。二、教学设计第一课时：考点回顾：设计三个小题，回顾导数定义及其基本运用1、 设f（x）在x处可导，a，b为非零常数，则= A、f（x） B、（a+b）f（x） C、（a-b）f（x） D、f（x）答案B2、 某汽车启动阶段的路程函数为S（t）=2t-5t，则t=2秒时，汽车的速度和加速度分别为 答案：4，33、（2004年浙江T12）设是函数的导函数，的图象如图1所示，则的图象最有可能的是（ ）图1答案D例题讲解：（包括4个大题，强调导数的运算法则和简单运用）例1、求下列函数的导数：设计意图：复习导数的运算法则（1） f（x）=e（sinx+cosx）答案：2ecosx（2） f（x）=ln（x+2）答案：（3） f（x）=答案：易错点：混淆e与a、lnx与logx导数之间的区别。例2、2004全国卷T22.已知函数求证：所有的极值点纵坐标排成的数列为等比数列；设计意图：本小题主要考查函数的导数，三角函数的性质，等比数列的概念和性质证明：由得解出为整数，从而 所以数列是公比的等比数列。例3、过曲线C：y=x-1（x0）上的点P作C的切线L与坐标轴交于M,N两点,试求P点的坐标,使OMN的面积最小（与2004年浙江高考题20T类似，设计意图:1、利用导数的几何意义，研究曲线的切线方程,2、利用导数求函数最值）点拨：1、设点P（x，x-1），求出y|=2x，即切线斜率。写出切线方程：y-（ x-1）=2x（x-x）2、分别令x=0，y=0求出M，N点的坐标，则S可表示。3、通过求导求S的最小值及P点坐标。答案：P（）思考：若P点不在曲线上，如何求切线方程？已知曲线C：y=x-1（x0），过点P（2，1）作C的切线L与坐标轴交于M,N两点,试求OMN的面积。易错点：学生往往会把过P点的切线斜率算成y| =22=4。点拨：设切点Q（x，x-1），过Q点的切线斜率为y| =2x，得切线方程y-（ x-1）=2x（x- x），P点代入，得x=，代回得切线方程，下略。例4、 2004年湖南卷T20 已知函数为自然对数的底数.（）讨论函数的单调性；（）求函数在区间0，1上的最大值. （设计意图：本小题主要考查导数应用导数研究函数性质的方法及推理和运算能力. 以及分类讨论的思想方法。根据学生情况不同，可事先在题干中对a的范围特殊化，防止分类讨论对导数应用的淡化作用）解：（）（i）当a=0时，令 若上单调递增；若上单调递减.（ii）当a0时,（2）求证（3） 求证 点拨：(1)证f（x）g（x），x则令h（x）=f（x）-g（x），I)证明h（x）0， II)h（a）0（2）学生往往采用第（1）小题的解法,令h(x)= ,却发现h(x)=0,与预料不符,另外h(0)不能计算,于是产生这是一道错题的感觉。难道这真是一道错题吗？h(x)0就能说明h(x)0吗?可以举出很多例子说明以上想法是错的,如:y=(x0).所以上述错解只能说明证明策略有问题.那怎么办呢? 通过换原,证其等价形式,并且绕开h(0)不能计算的困扰。证，记h（x）= 可改证：f（t）=ln（1+t）-t0 (t0), f(t)=0,而f(0)=0,所以f(x)0且a1,数列a是首项为a,公比也为a的等比数列,令b=alg a(n),问是否存在实数a,对任意正自然数n,数列 b中的每一项总小于它后面的项?若存在,求出相应的a的范围;若不存在,说明理由。点拨：a=a，b= anlg a，而b递增，可解得a1或0a0对x恒成立,得a1或0a。两种解法的答案不相同,为什么出现这种情况？举一个例子，先在坐标系内取若干个整点（单调“增”）则数列为递增，然后用一些曲线来连接这些点，记为f（x），则f（x）不一定递增。总结：连续型函数的性质可以应用于相应的离散型函数（如例2，是用f（x）=的最值推算数列的最值）；而离散型函数的性质却不能推广到相应的连续型函数（如思考题，企图用数列b= anlg a的单调性来规定相应函数的单调性，结果可想而知）。从最后答案中a的范围中也可体会到对连续函数的单调性要比离散型函数的要求要严格。例3、设计意图：注意导数在社会发展中的运用由于工业发展迅速，温瑞塘河受到一定的污染。设其湖水容积为v立方米，每天流进和流出的水量都是r立方米。现假设下雨和蒸发正好平衡，且污染物与河水能很好的混合，用g（t）表示某一时刻t每立方米河水所含污染物的克数，我们称为在时刻t时的河水污染质量分数。已知目前污染源以每天p克的污染物质污染河水，河水污染质量分数满足关系式g（t）=（p0），其中g（0）是河水污染的初始质量分数。（1） 当河水污染质量分数为常数时，求河水污染的初始质量分数。（2） 求证：当g（0）0(3)天。训练题： 1已知直线与曲线切于点（1，3），则b的值为（ ）A3B3C5D53设在点处可导,且及,则的值等于( )A2 B1C3D不存在4若函数，在R上是增函数，则（ ） A B. C. D.5若点P在曲线上移动，经过点P的切线的倾斜角为，则的取值范围为（ ） A. B. C. D.6设正三棱柱的体积为V，那么其表面积最小时底面边长为（ ）ABCD7有一深为20cm，上底半径为10cm的圆锥形容器，以每分钟15cm3的速度向容器内注水，则在水深为8cm时液面上升速度为 8已知函数在x与x1