山东安丘、诸城、五莲、兰山区高三数学校级联合考试理

山东省安丘市、诸城市、五莲县、兰山区2019届高三数学5月校级联合考试试题 理（含解析）考生注意：1.答题前，考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上。考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人准考证号、姓名是否一致。2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3.考试结束，监考员将试题卷、答题卡一并收回。一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知，则A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】由一元二次不等式解出集合，根据集合交集的定义即可求得。【详解】由，得，所以，故选B.【点睛】本题考查一元二次不等式的解以及集合交集的运算，属于基础题。2.已知，则（ ）A. B. C. 2D. 【答案】A【解析】【分析】首先求出，代入中，利用复数模的公式即可得到。【详解】由，所以.故选A.【点睛】本题考查复数幂的运算以及复数模的计算公式，属于基础题。3.已知平面向量、，满足，若，则向量、的夹角为A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据向量的点积运算得到，进而得到角的余弦值，求出角.【详解】设向量夹角为，根据向量的点积运算得到：故夹角为：.故答案为：C.【点睛】本题主要考查向量的模及平面向量数量积公式、余弦定理的应用，属于中档题.平面向量数量积公式有两种形式，一是，二是，主要应用以下几个方面:(1)求向量的夹角， （此时往往用坐标形式求解）；（2）求投影， 在 上的投影是；（3）向量垂直则;(4)求向量 的模（平方后需求）.4.已知角的终边经过点，则A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】先求出点P到原点的距离，再用三角函数的定义依次算出正、余弦值，利用二倍角公式计算结果即可【详解】角的终边经过点p（1，），其到原点的距离r2故cos，sinsin cos.故选：B【点睛】本题考查了任意角三角函数的定义，考查了二倍角公式，属于基础题5.在矩形中，以，为焦点的双曲线经过，两点，则此双曲线的离心率为A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】以所在直线为轴，线段的中垂线为轴，根据题意设出双曲线的方程，可得双曲线过点，代入双曲线方程，化简即可得到该双曲的离心率。【详解】以所在直线为轴，线段的中垂线为轴，可设双曲线方程为，由题意双曲线过点，代入得，由，所以，故.故选C.【点睛】本题考查了双曲线定义的应用以及离线率的求解，考查学生的计算能力，属于基础题。6.如图，矩形中，点的坐标为，点的坐标为.直线的方程为，四边形为正方形.若在五边形内随机取一点，则该点取自三角形（阴影部分）的概率为A. B. C. D. 【答案】D【解析】在中，令，得，即，则，所以，由几何概型概率公式，得在五边形内随机取一点，该点取自三角形(阴影部分)的概率.故选D.7.已知是定义域为的奇函数,满足.若，则（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】分析：先根据奇函数性质以及对称性确定函数周期，再根据周期以及对应函数值求结果.详解：因为是定义域为的奇函数，且，所以,因此，因为，所以，从而，选C.点睛：函数的奇偶性与周期性相结合的问题多考查求值问题，常利用奇偶性及周期性进行变换，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解8.在各项均为正数的等比数列an中，a12，且a2，+2，a5成等差数列，记Sn是数列an的前n项和，则S6（ ）A. 62B. 64C. 126D. 128【答案】C【解析】【分析】a2，a4+2，a5成等差数列，可得a2+a5=2（a4+2），把已知代入解得q再利用求和公式即可得出【详解】设正数的等比数列an的公比为q0，a1=2，a2，a4+2，a5成等差数列，a2+a5=2（a4+2），2q+2q4=2（2q3+2），解得q=2S6=.故选C.【点睛】本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及其求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题9.“”是“函数在区间内单调递减”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】C【解析】试题分析：令t=（ax-1）x=ax2-x,则，设=0，解得x=，所以，当a0时，函数t=（ax-1）x在（，）上是减函数，在（，+）上是增函数，即极小值为，当x0,所以a0时，函数在区间（，0）内单调递减；若函数在区间（，0）内单调递减，则x时，0,即成立,所以2a 0，故选A.考点：1.导数的应用；2.充分必要条件的判断.10.若，是正数，且，则的值是A. 3B. 4C. 5D. 6【答案】B【解析】【分析】令，可得到关于的关系式，代入进行化简，并利用基本不等式即可得到的取值范围，求出的值。【详解】令，得，则，得，所以，注意到，即，且，所以，设，则.所以.故选B.【点睛】本题考查指数与对数的互化，对数的基本运算法则，以及基本不等式的应用，考查学生转化的能力，属于中档题。11.如图，在三棱柱中，底面，ACB=90，为上的动点，则的最小值为( )A. B. C. 5D. 【答案】C【解析】【分析】易得平面，故.将二面角沿展开成平面图形，此时的长度即的最小值，利用余弦定理求出这个最小值.【详解】由题设知为等腰直角三角形，又平面，故=90，将二面角沿展开成平面图形，得四边形如图示，由此，要取得最小值，当且仅当三点共线，由题设知,由余弦定理得 .【点睛】本小题主要考查空间线面垂直关系的证明，考查空间两条线段长度和的最小值的求法，属于中档题.12.设直线l与抛物线相交于A，B两点，与圆相切于点M，且M为线段AB的中点.若这样的直线l恰有4条，则r的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】试题分析：设，当斜率存在时，设斜率为，则，相减得：，因为直线与圆相切，所以，即，的轨迹是直线，代入抛物线得：，所以，又在圆上，代入得：，所以，因为直线恰好有四条，所以，所以，即时直线恰好有两条，当直线斜率不存在时，直线有两条，所以直线恰有条时，故选D考点：1直线和圆的位置关系；2直线和抛物线的位置关系【方法点晴】本题主要考查的是直线与圆锥曲线的位置关系，以及直线与圆的相切问题，属于中档题解题时一定要注意分析条件，根据条件首先求出中点的轨迹方程，这里主要考查的是点差法，问题转化为与圆有交点，从而当直线斜率存在时，半径大于且小于有两条，当直线斜率不存在时，也有两条符合条件，故需要【此处有视频，请去附件查看】二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。13.已知，则_.【答案】8【解析】【分析】由题意可知表示二项式展开式中一次项的系数，利用二项式展开式的通项公式即可求出【详解】由题意可知表示二项式展开式中一次项系数，展开式的通项公式，当时，【点睛】本题考查二项式展开式中某一项系数求法，熟练掌握展开式的通项公式是关键，属于基础题。14.若函数的图象在点处的切线过点，则_.【答案】1【解析】【分析】求出函数的导数，求出切点坐标，得到切线方程，然后代入（2，2）得到结果即可【详解】函数f（x）=xlnx+a，可得f（x）=lnx+1，所以f（1）=1，又f（1）=a，所以切线方程为：y=x-1+a，切线经过（2，2），所以2=2-1+a，解得a=1故答案为1【点睛】本题考查函数的导数的应用，导数的几何意义，切线方程的求法，考查分析问题解决问题的能力15.已知函数满足，且在区间上单调，则的值有_个.【答案】9【解析】【分析】由，结合正弦函数图像的特征可知（），由正弦函数最小正周期公式可得，因为在区间上单调可得范围，从而求出的整数解的个数，得到值的个数。【详解】由题意知函数的周期，由，结合正弦函数图像的特征可知，故，；又因为在区间上单调，所以，故，所以，即，符合条件的的值有9个.【点睛】本题考查正弦函数图像的特点，最小正周期的公式，熟练掌握正弦函数图像是解题关键，属于中档题。16.已知数列的前项和为，且，若，则取最小值时_.【答案】10【解析】【分析】由题意结合递推关系可得，即数列为隔项等差数列，结合数列的性质可得取最小值时的值.【详解】由，两式作差可得：，即，由，两式作差可得：，则，故，进一步可得：，又，则，且，则取最小值时.【点睛】本题主要考查数列的递推关系，数列中最值问题的处理方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。17.在中，角，的对边分别为，且，.（1）求；（2）若，求的面积.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由正弦定理化简可得，利用余弦定理即可得到的值。（2）结合（1）可得以及边的长，利用面积公式即可得到答案。【详解】解：（1）因为，所以，即. 又因为，所以. （2）因为，所以.因为，在中，所以 所以.【点睛】本题主要考查正弦定理的边角互化以及余弦定理与面积公式，考查学生基本的计算能力，属于基础题。18.如图所示的多面体是由一个直平行六面体被平面所截后得到的，其中，.（1）求证：平面平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值.【答案】（1）见解析（2）【解析】【分析】（1）在中，由余弦定理可得，则可得，在直平行六面体中，平面，则可得，由此说明平面，即可证明平面平面；（2）以为原点建立空间直角坐标系，表示出各点坐标，求出平面的法向量，由直线与平面所成角正弦值的公式即可得到直线与平面所成角的正弦值。【详解】（1）证明：在中，因为，.由余弦定理得，解得， 在直平行六面体中，平面，平面，又，平面，平面平面. （2）解：如图以为原点建立空间直角坐标系，因为，所以，.设平面的法向量， 令，得，. 设直线和平面的夹角为，所以，所以直线与平面所成角的正弦值为.【点睛】本题考查面面垂直的证明，以及利用空间向量求线面所成角的正弦值，熟练掌握面面垂直的判定以及线面所成角的公式是解题关键，考查学生基本的算能力，属于中档题。19.某手机公司生产某款手机，如果年返修率不超过千分之一，则生产部门当年考核优秀，现获得该公司2010-2018年的相关数据如下表所示：年份201020112012201320142015201620172018年生产量（万台）34567791012产品年利润（千万元）3.64.14.45.26.27.87.57.99.1年返修量（台）474248509283728790（1）从该公司2010-2018年的相关数据中任意选取3年的数据，以表示3年中生产部门获得考核优秀的次数，求的分布列和数学期望；（2）根据散点图发现2015年数据偏差较大，如果去掉该年的数据，试用剩下的数据求出年利润（千万元）关于年生产量（万台）的线性回归方程（精确到0.01）.部分计算结果：，.附：；线性回归方程中，.【答案】（1）见解析（2）【解析】【分析】（1）由题可得有五个年份考核优秀，即可求出可能的取值以及对应的概率，得出的分布列及其数学期望。（2）计算出去掉2015年数据之后的，将数据代入计算，再由计算出，即可得到线性回归方程。【详解】解：（1）由数据可知，2012，2013，2016，2017，2018五个年份考核优秀，所以的所有可能取值为0，1，2，3， 故的分布列为：0123 （2）因为，所以去掉2015年的数据后不影响的值，所以， 去掉2015年数据后，所以，故回归方程为：.【点睛】本题考查了离散型随机变量的分布列及其数学期望，线性回归方程，考查学生计算能力，属于中档题。20.已知椭圆的左、右焦点为，长轴端点为，为椭圆中心，斜率为的直线与椭圆交于不同的两点，这两点在轴上的射影恰好是椭圆的两个焦点.（1）求椭圆的方程；（2）若抛物线上存在两个点，椭圆上存在两个点，满足，三点共线，三点共线，且，求四边形面积的最小值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由，可得，由于斜率为的直线与椭圆交于不同的两点，这两点在轴上的射影恰好是椭圆的两个焦点，可知直线过原点，表示出直线方程，可得直线与椭圆的一个交点坐标，代入椭圆中，可得到，的值，由此得到椭圆的方程。（2）分类讨论直线斜率存在与不存在的情况，当斜率不存在时，根据题意可得，即可得到四边形的面积，当斜率存在时，设出直线的点斜式方程以及直线的方程，将直线的方程与抛物线联立方程，得到关于的一元二次方程，由弦长公式表示出，再联立直线与椭圆的方程，得出的长，最后表示出四边形面积关于斜率的表达式，利用基本不等式即可求出四边形面积最小值。【详解】解：（1）设椭圆方程为，利用数量积运算可得，可得， 直线的方程为，当时，代入椭圆方程可得，联立解得，椭圆方程. （2）当直线的斜率不存在时，直线的斜率为0，得到，； 当直线的斜率存在时，设直线方程为，与抛物线联立得。令，则， 因为，所以直线的方程为，将直线与椭圆联立，得，令，则，所以，所以四边形面积， 令，则，所以，其最小值为.【点睛】本题主要考查椭圆方程的求解，同时考查直线与椭圆、抛物线联立，运用韦达定理和弦长公式，以及四边形面积的最小值的求法，考查学生的运算求解能力，属于中档题。21.设函数.（1）讨论函数的单调性；（2）当时，求函数在上的最大值和最小值；若存在，使得成立，求的最大值.【答案】（1）见解析（2），【解析】【分析】（1）确定函数的定义域然后求导数，对参数的取值范围进行讨论，即可确定函数的单调区间；（2）当时，由（1）可得函数在上的单调性，即可确定函数的最大值与最小值；由可得时，即，取，即可满足题意，得到最大值为6。【详解】解：（1），故当时，所以函数在上单调递增； 当时，令，得，所以函数在上单调递增；令，得，所以函数在上单调递减.综上，当时，函数在上单调递增；当时，函数在上单调递增，在上单调递减 （2）当时，由（1）知，函数在上单调递减，在上单调递增.故，又因为，故. 由于，故.由于时，取，则，故的最大值为6.【点睛】本题主要考查利用导数求函数的单调性以及最值的问题，对于含参数问题，定义域以及对参数的分类讨论是解题的