2020高考数学 七大热点考点题型探析（分类专题 由基础巩固到综合拔高 附有试题 题题详解）

2020高考数学七大热点考点题型探析（分类专题 由基础巩固到综合拔高 附有试题 题题详解）一 正弦定理和余弦定理基础巩固训练1. 在中，若，则一定是( )A、等腰三角形B、直角三角形C、等腰直角三角形D、等腰或直角三角形解析： 2. 在中，且最大边长和最小边长是方程的两个根，则第三边的长为（）A2 B3 C4 D5解析： ，且最大边长和最小边长是方程的两个根，则第三边为 3.在ABC中，C=，则的最大值是_.解析 在ABC中，C=， ，时，取得最大值。4. 若中，则角C的大小是_解析 5.在ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边, ， =，则其外接圆的半径为_.解析,6.在ABC中，已知，A45，BC=，求角C。解：由正弦定理得,又BC时，故 sinC； 有两解 或120综合拔高训练7.在ABC中，已知，试判断ABC的形状。解：由正弦定理得：，。所以由可得：，即：。又已知，所以，所以，即，因而。故由得：，。所以，ABC为等边三角形。8.在锐角三角形中，边a、b是方程x22x+2=0的两根，角A、B满足：2sin(A+B)=0，求ABC的面积。解：由2sin(A+B)=0，得sin(A+B)=, ABC为锐角三角形 A+B=120, C=60, 又a、b是方程x22x+2=0的两根，a+b=2, ab=2, c2=a2+b22abcosC=(a+b)23ab=126=6, c=, =2= 。9. 在ABC中，若.(1)判断ABC的形状； (2)在上述ABC中，若角C的对边，求该三角形内切圆半径的取值范围。解：（1）由可得 即C90 ABC是以C为直角顶点得直角三角形 （2）内切圆半径 内切圆半径的取值范围是10. (汕头金山中学09届高三11月考)在中，内角对边的边长分别是，已知，（）若的面积等于，求；（）若，求的面积解：（）由余弦定理及已知条件得，又因为的面积等于，所以，得联立方程组解得，（）由题意得，即，当时，当时，得，由正弦定理得，联立方程组解得，所以的面积二 一元二次不等式及其解法考点1 一元二次不等式的解法题型1.解一元二次不等式例1 不等式的解集是( ) A B. C. D. 【解题思路】严格按解题步骤进行解析由得,所以解集为,故选D;别解:抓住选择题的特点,显然当时满足不等式,故选D.【名师指引】解一元二次不等式的关键在于求出相应的一元二次方程的根题型2.已知一元二次不等式的解集求系数.例2已知关于的不等式的解集为,求的解集.【解题思路】由韦达定理求系数解析 由的解集为知,为方程的两个根,由韦达定理得,解得,即,其解集为.【名师指引】已知一元二次不等式的解集求系数的基本思路是,由不等式的解集求出根,再由韦达定理求系数 【新题导练】1.不等式（2）2+2(2) -40,对一切R恒成立，则a的取值范围是（ ）A.（-,2 B.（-2,2 C.（-2,2） D.（-,2) 解析：可推知-2a2,另a=2时，原式化为-40，恒成立，-2a2. 选B 2. 关于的不等式(-1)( -2)0，若此不等式的解集为|x2，则的取值范围是A. 0 B.02 C. D. 0 解析：由不等式的解集形式知m0. 答案：D 考点2 含参数不等式的解法题型1：解含参数有理不等式例1：解关于的一元二次不等式【解题思路】比较根的大小确定解集解析：，当，不等式解集为； 当时，不等式为，解集为；当，不等式解集为【名师指引】解含参数的有理不等式时分以下几种情况讨论:根据二次项系数(大于0,小于0,等于0);根据根的判别式讨论().根据根的大小讨论().题型2：解简单的指数不等式和对数不等式例2. 解不等式loga(1)1 【解题思路】借助于单调性进行分类讨论解析(1)当a1时，原不等式等价于不等式组由此得1a.因为1a0，所以x0，x0.(2)当0a1时，原不等式等价于不等式组： 由 得x1或x0，由得0 x，1x.综上，当a1时，不等式的解集是x|x0，当0a1时，不等式的解集为x|1x.【名师指引】解指数不等式与对数不等式通常是由指数函数和对数函数的单调性转化为一般的不等式(组)来求解，当底数含参数时要进行分类讨论.【新题导练】3.关于的不等式的解集为( ) A. B. C. D.以上答案都不对解析:原不等式可化为,需对分三种情况讨论,即不等式的解集与有关.4.解关于的不等式：解析：当；当，当5.考点3 分式不等式及高次不等式的解法例5 解不等式: 【解题思路】先分解因式,再标根求解解析原不等式,各因式根依次为-1,1,2,4,在数轴上标根如下:421-1x 所以不等式的解集为. 【名师指引】求解高次不等式或分式不等式一般用根轴法,要注意不等式的解集与不等式对应的方程的根的关系.【新题导练】5.若关于的不等式的解集是,则的值为_解析:原不等式,结合题意画出图可知.6. 解关于 解：若；若；若7.（ 广东省深圳中学2020学年度高三第一学段考试）解不等式解析：即得所以原不等式的解集为考点4 简单的恒成立问题题型1:由二次函数的性质求参数的取值范围例1.若关于的不等式在上恒成立,求实数的取值范围.【解题思路】结合二次函数的图象求解解析当时,不等式解集不为,故不满足题意;当时,要使原不等式解集为,只需,解得 综上,所求实数的取值范围为【名师指引】不等式对一切恒成立或不等式对任意恒成立或题型2.转化为二次函数的最值求参数的取值范围【解题思路】先分离系数,再由二次函数最值确定取值范围.解析 (1)设.由得,故. 即,所以,解得 (2)由(1)知在恒成立,即在恒成立.令,则在上单调递减.所以在上的最大值为.所以的取值范围是.【名师指引】对一切恒成立,则;对一切恒成立,则;【新题导练】8.不等式对一切R恒成立，则实数a的取值范围是_解析：不等式对一切R恒成立, 即 对一切R恒成立 若=0,显然不成立 若0，则 9.若不等式x2ax10对于一切x（0，）成立，则a的取值范围是（ ）A0 B 2 C- D-3解析：设f（x）x2ax1，则对称轴为x,若，即a1时，则f（x）在0，上是减函数，应有f（）0x1若0，即a0时，则f（x）在0，上是增函数，应有f（0）10恒成立，故a0若0，即1a0，则应有f（）恒成立，故1a0 综上，有a,故选C 基础巩固训练1. 不等式的解集是_解析:将不等式转化成，即.2. 若不等式的解集为,则不等式的解集为 _.解析:先由方程的两根为2和3求得后再解不等式.得3. (广东省五校2020年高三上期末联考) 若关于的不等式的解集为空集，则实数的取值范围是 解析： 的解集为空集，就是1= max所以4(08梅州)设命题P：函数的定义域为R；命题q：不等式对一切正实数均成立。如果命题p或q为真命题，命题p且q为假命题，求实数的取值范围。解：命题P为真命题函数定义域为R对任意实数均成立解集为R，或 命题P为真命题5.解关于x的不等式(k0，k1).原不等式即， 1若k=0，原不等式的解集为空集；2若1k0，即0k0，若0k1，由原不等式的解集为x|2x；3若1k1时，原不等式等价于此时恒有2，所以原不等式的解集为x|x2.综合拔高训练6. 已知，且，解关于x的不等式： 解：原不等式等价于原不等式同解于7分由得，由得从而1分当1时，原不等式解为当时，原不等式解为6.(广东省深圳外国语学校2020届第三次质检)据调查，某地区100万从事传统农业的农民，人均收入3000元，为了增加农民的收入，当地政府积极引进资本，建立各种加工企业，对当地的农产品进行深加工，同时吸收当地部分农民进入加工企业工作，据估计，如果有x(x0)万人进企业工作，那么剩下从事传统农业的农民的人均收入有望提高2x%，而进入企业工作的农民的人均收入为3000a元（a0）。（I）在建立加工企业后，要使从事传统农业的农民的年总收入不低于加工企业建立前的农民的年总收入，试求x的取值范围；（II）在（I）的条件下，当地政府应该如何引导农民（即x多大时），能使这100万农民的人均年收入达到最大。解：（I）由题意得（100-x）3000（1+2x%）1003000，即x250x0，解得0x50， 又x0 0x50； （II）设这100万农民的人均年收入为y元，则y= =x25(a+1)2+3000+475(a+1)2 (0x50) （i）当025(a+1)50，即0a1，当x=25(a+1)时，y最大； （ii）当25(a+1)50，即a 1，函数y在（0,50单调递增，当x=50时，y取最大值 答：在0a1时，安排25(a +1)万人进入企业工作，在a1时安排50万人进入企业工作，才能使这100万人的人均年收入最大 7.已知二次函数满足：对任意实数x，都有，且当（1，3）时，有成立。（1）证明：;（2）若的表达式;（3）设 ,，若图上的点都位于直线的上方，求实数m的取值范围。解析：（1）由条件知 恒成立又取x=2时，与恒成立,.（2） . 又 恒成立，即恒成立.，解出：,.（3）由分析条件知道，只要图象（在y轴右侧）总在直线 上方即可，也就是直线的斜率小于直线与抛物线相切时的斜率位置，于是： .解法2：必须恒成立,即 恒成立.0，即 4(1m)280，解得： ; 解出：. 总之，.三 导数的概念及运算基础巩固训练1. (广东省六校2020届高三第二次联考试卷)是的导函数，则的值是 解析: 故=32. (广东省2020届六校第二次联考)在处的导数值是_. 解析：故填3. 已知直线x+2y4=0与抛物线y2=4x相交于A、B两点，O是坐标原点，P是抛物线的弧上求一点P，当PAB面积最大时，P点坐标为 .解析：|AB|为定值，PAB面积最大，只要P到AB的距离最大，只要点P是抛物线的平行于AB的切线的切点，设P（x,y）.由图可知，点P在x轴下方的图象上y=2,y=,kAB=,x=4,代入y2=4x(y0，解得x=15当0x15时，y15时，y0当x=15时，y有最小值.答：当x为15千米时运费最省 .7. (广东省2020届六校第二次联考)设某物体一天中的温度T是时间t的函数，已知，其中温度的单位是，时间的单位是小时中午12:00相应的t=0，中午12:00以后相应的t取正数，中午12:00以前相应的t取负数（如早上8：00相应的t=-4，下午16：00相应的t=4）若测得该物体在早上8:00的温度为8，中午12:00的解：(1) 因为, 2分而, 故, 3分 . 6分 . 7分 (2) , 由 9分 当在上变化时，的变化情况如下表:-2（-2，-1）-1（-1，1）1（1，2）2+00+ 58增函数极大值62减函数极小值58增函数62 12分由上表知当，说明在上午11：00与下午14：00，该物体温度最高，最高温度是62.8.今有一块边长的正三角形的厚纸，从这块厚纸的三个角，按右图那样切下三个全等的四边形后，做成一个无盖的盒子，要使这个盒子容积最大，值应为多少？解：折成盒子后底面正三角形的边长为，高为设：容积为V，则a 令得（舍去）当时，；当时，时，答：为时，盒子的容积最大为七 不等关系与不等式考点1 不等关系及不等式题型1.建立不等关系例1 某钢铁厂要把长度为4000mm的钢管截成500mm和600mm两种，按照生产的要求，600mm钢管的数量不能超过500mm钢管的3倍。怎样写出满足上述所有不等关系的不等式呢？【解题思路】设出变量,将文字语言转化为数学符号.解析 假设截得500mm的钢管x根，截得600mm的钢管y根.根据题意，应有如下的不等关系：（1）解得两种钢管的总长度不能超过4000mm；（2）截得600mm钢管的数量不能超过500mm钢管数量的3倍；（3）解得两钟钢管的数量都不能为负。由以上不等关系，可得不等式组：【名师指引】建立不等关系关键在于文字语言与数学符号间的转换.它们之间的关系如下表.文字语言数学符号文字语言数学符号大于至多小于0，右边0。 原不等式成立。综合拔高训练6.某人乘坐出租车从A地到乙地，有两种方案：第一种方案，乘起步价为10元，每km价1.2元的出租车；第二种方案，乘起步价为8元，每km价1.4元的出租车，按出租车管理条例，在起步价内，不同型号的出租车行驶的里路是相等的，则此人从A地到B地选择哪一种方案比较适合？解：设A地到B地距离为mkm，起步价内行驶的路为akm显然，当ma时，选起步价为8元的出租车比较合适当ma时，设m=a+x（x0），乘坐起步价为10元的出租车费用为P(x)元，乘坐起步价为8元的出租车费用为Q(x)元，则P(x)=10+1.2x，Q(x)=8+1.4x P(x)-Q(x)=2-0.2x=0.2(10-x) 当x10时，P(x)Q(x)，此时起步价为10元的出租车比较合适当xQ(x)，此时选起步价为8元的出租车比较合适当x=10时，P(x)=Q(x)，此时两种出租车任选7.已知函数f（x）=|log2（x+1）|，实数m、n在其定义域内，且mn，f（m）=f（n）.求证：（1）m+n0；（2）f（m2）f（m+n）f（n2）.（1）证法一：由f（m）=f（n），得|log2（m+1）|=|log2（n+1）|，即log2（m+1）=log2（n+1），log2（m+1）=log2（n+1），或log2（m+1）=log2.由得m+1=n+1，与mn矛盾，舍去.由得m+1=，即（m+1）（n+1）=1.m+11n+1.m0n.mn0.由得mn+m+n=0，m+n=mn0.证法二：（同证法一得）（m+1）（n+1）=1.0m+1n+1，=1.m+n+